CHÂY DẺO VÀ TIÊU CHUẨN DEO 67
3.2 CAC TIEU CHUAN DEO KHONG PHỤ THUỘC VÀO AP LỰC THỦY TINH
3.2.1 Khai niém chung
'Tiêu chuẩn chảy dễo xác định giới hạn đàn hổi của vật liệu ở trạng thái ứng suất hỗn hợp. Chúng ta đã biết giới hạn đàn hồi trong thí nghiệm kéo đơn là ứng suất chảy dẻo ơo, trong khi đó trong thí nghiệm cắt đơn là ứng suất chảy đẻo tạ. Một cách tổng quát, giới hạn đàn hồi hoặc ứng suất chảy dẻo là một hàm số theo trạng thái ứng suất cụ. Vì vậy điều kiện mye dẻo có thể điễn tả như sau:
ƒ(oy,u,l„..) = (3.1)
trong dé ky, #; là các hằng số vật liệu giống nhữ ơo và rọ, được xác định bằng thí nghiệm.
Đối với vật liệu đẳng hướng thì phương của ứng suất chính không phụ thuộc vào vật liệu và giá trị của ba ứng suất chính đủ để
mô tả duy nhất một trạng thái ứng suất. Vì vậy tiêu chuẩn đẻo có thể viết dưới dạng sau:
f(Gi,ơa,ơa, Ra, hy...) = 0 (3.2)
Chúng ta cũng biết rằng, ba ứng suất chính ơ;, œ;, 03 c6 thé được điễn tả qua ba bất biến ứng suất ùĂ, dạ, và djỞ; trong đú 1Ă là bất biến thứ nhất của tensơ ứng suất ơy; ‹; và ¿¿ là bất biến thứ hai và thứ ba của tensơ ứng suất lệch s„. Vì vậy người ta có thể thay thế phương trình (3.2) bởi:
fdI,d;,dJ;, kị,kạ...) = 0 (3.3)
Ngoài ra, ba bất biến trên lại có mối quan hệ với các trục tọa độ š, p, 60 trong không gian ứng suất Haigh-Westergaard. Vì vậy (3.8) có thể viết lại như sau:
fŒ,p,8, bị, kạ...)'= 0 (3.4)
"Tiêu chuẩn chảy dẻo của vật liệu cân phải được thí nghiệm.
Bridgman và các tác giả khác đã tiến hành thí nghiệm trên thép và cho thấy ảnh hưởng của áp lực thủy tĩnh lên chảy dẻo là không đáng kể. Trong trường hợp như vậy thì tiêu chuẩn chảy dẻo có thể viết lại như sau:
f(J;,d2;,kị, kạ...) = 0 (3.5)
3.2.2 Tiéu chuẩn chảy đẻo theo Tresea
Đối tượng nghiên cứu của chúng ta là cơ học đất, vật liệu nghiên cứu là đất. Tuy nhiên, lịch sử phát triển lý thuyết đẻo thì dựa trên các thí nghiệm trên thép. Năm 1864, Tresca là người đầu tiên đã đề nghị tiêu chuẩn chây dảo cho thép trên cơ sở trạng thái ứng suất hỗn hợp. Tiêu chuẩn đó cho rằng chảy đềo sẽ xảy ra khi ứng suất cắt tối đa tại một điểm đạt đến giá trị tới hạn &. Có nghĩa là theo (1.1.4), một nửa giỏ trị tuyệt đối lớn nhất của cỏc cặp ứng ứ suất chớnh phải bằng È lúc xảy ra chảy đẻo.
Me lm - 64), Foe — |, sịt -siÌ =k 1 (3.6)
trong đó k là hằng số vật liệu được xác định từ thí nghiệm kéo. Lúc đó:
= 20 (3.7)
trong 46 op 1a ting su&t chay déo trong thi nghiém kéo.
cHAY DEO VA TiEU CHUAN DEO 69
Như vậy sẽ có sáu biểu thức khác nhau để điễn tả tiêu chuẩn chảy đềo trong các miễn thay đổi của mặt phẳng ơ— ơ; tùy vào giá trị tuyệt đối và đấu của ơi và ơ; (xem H.3.8). Trong một phần tư thứ nhất.
giữa trục ơ: và đường phân giác giữa hai trục, ơy > ơ; dĩ nhiên là o3= 0 cho nén:
Tee = oy Tiêu chuẩn dẻo trong miễn này trở thành 6, = op va xAc định đường AB. Cũng trong một phân tư thứ nhất này, giữa đường phân giác và trục ơa có ơa> ơi cho nên:
Tex _ 2
Tiêu chuẩn déo trong mién này trở thành ơa = ơo và xác định đường BC. Trong phân tư thứ hai vì ơ; < 0 và ơ; > 0 cho nên Ơa > Ơi và chúng ta có:
— 52~%
Tmax 2
Vì vậy trong một phần tư thứ hai, tiêu chudn déo tré thanh o. — ỉĂ = ơo và xỏc định đường CD. Tương tự cho một phần tư thứ ba và thứ tư, chúng ta xác định đường cong đềo cho trường hợp ứng suất phẳng là lục giác không đều ABCDEF như hình 3.3.
%
S40, su) NBớử,, ứ,)
A(o,, 0)
Hình 3.3 Tiêu chuẩn chdy déo khi kéo trong mdt phdng ơy = 0
Để biểu diễn mặt chảy đếo trong không gian ứng suất chính, phương trình (1.73) được sử dụng cho ứng suất chính. Giả thiết ơi > ơ;
> og, chúng ta có thể viết lại (3.6) dưới dạng như sau:
1 1 2 2
3g, 04) = 4, Jdn|c0s0 coo 03x) = (0<0<60°) (3.8)
Khai triển phương trình trên và kết hợp với (3.7) chúng ta rút ra được tiêu chuẩn Tresca theo các bất biến:
ƒ(J,,9)= 2xj7; s9 tận) -ứ,=0 (0<8<60) — (38)
hoặc theo các biến š, p, 0 như sau:
Fl0,0) = Jp si9 + 5 ) -oy = 0 (3.10)
Vì áp lực thủy tĩnh không ảnh hưởng lên mặt chảy dẻo cho nên phương trình (3.9) hoặc (3.10) đều không chứa 1; hoặc š. Trong không gian ứng suất chính, các phương trình trên vẽ nên một mặt trụ có đường sinh song song với đường áp lực thủy tĩnh. Trên mặt phẳng lệch, phương trình (3.9) và (3.10) là đường thẳng đi qua điểm A (với 9
=0 và p= ơgý2/3) và điểm B (với @ = 60” và p = ơạv/2/3) như hình
3.4. Đây chỉ là một phần của đường cong dẻo trong mặt phẳng ứng suất lệch, còn năm phần khác của đường cong dẻo tùy thuộc vào sự lớn nhổ giữa các ứng suất chính cũng có những đường tương tự của đường cong dẻo trong mặt phẳng lệch; sau cùng sáu phần của đường cong đếo tạo nên một hình lục giác đều ABCDEEF. Bây giờ chúng ta có thé hinh dung mặt chảy đếo trong không gian ứng suất chính là một mặt trụ đứng có đáy là hình lục giác đều như hình 3.5. Đường cong ˆ dộo trong mặt phẳng ơi - ứ; như hỡnh 3.3 là giao tuyến giữa mặt trụ với mặt phẳng 9; = 0.
Vi vat liệu có tính đẳng hướng cho nên không cần thiết phải vẽ mặt chảy dẻo trong khụng gian ứng suất tổng quỏt (ứ¿). Tuy nhiờn một số giao tuyến của những mặt đặc biệt với mặt chảy đẻo cũng cần được đề cập đến chẳng hạn giao tuyến của mặt ơ,~ r„y với nó. Hay nói một cách đơn giản là đê cập đến đường cong đẻo theo cặp ứng suất pháp và tiếp (H.3.6). Giao tuyến là hinh ellipse:
of +412, = 0% (3.11)
CHÂY DEO VA TiEU CHUAN DEO 7
Vang tron Von mises JB - 2,2542 -K®
Lục giác Tresca
a
D
Hình 8.4 Tiêu chuẩn chảy dèo khi kéo trong mặt phẳng lệch
Cũng cân lưu ý rằng, các dạng bất biến trong (3.8) có thể được dién ta theo J, va J; nhuf sau:
ƒ(J;,J;) = 4JỆ — 21J ~ 362/7 + 96k°đJ, ~ 64k” = 0 (8.12)
Mat déo Von mises
Hình 3.5 Cae mdt chdy déo trong không gian ting sudt chinh
Euipse Von mises
Ellipse Tresca
ol,
Hình 3.6' Giao tuyến của mặt phẳng ơ,— ty uới mặt chãy dẻo
8.2.3 Tiêu chuẩn đẻo Von-Mises
Mặc dù. tiêu chuẩn đẻo Tresca đựa trên ứng suất cắt cực đại tương đối đơn giản nhưng nó lại không phần ánh được ảnh hưởng của ứng suất chính trung gian. Một cách khác hợp lý hơn là chọn ứng suất cắt bát điện hoặc năng lượng biến dạng làm biến số cơ bản gây nên chảy déo cho vật liệu không phụ thuộc vào áp lực thủy tĩnh. Năm 1918, Von-Mises đã đựa trên các chọn lựa này để đưa ra tiêu chuẩn đẻo. Theo tiêu chuẩn của Von~Mises thì vật liệu bắt đầu chảy đảo khi ứng suất cắt bát điện tiến đến giá trị tới hạn &. Từ (1.55) thì tiêu chuẩn trên có thể viết như sau:
Tọa = oJ, = [Pe (3.13)
Biểu thức trên có thể rút vé dạng đơn giản sau:
ƒ(J;) = ở; ~ k? =0 (3.14)
hoặc có thể theo ứng suất chính:
[(Ơ; — ứạ)? + (G; — ơạ)ấ + (ứa —ứy)?]— 6k? = 0 (8.15)
trong đó & là giá trị của ứng suất cắt thuần túy khi chảy đảo. Trong thí nghiệm kéo thuần túy điều kiện xảy ra chảy đẻo là ơi = ơạ, ơ; = S; = 0. Thay những giá trị này vào (3.15) người ta có được:
ket Ws (8.16)
cHAY DEO VA TiEU CHUAN DEO 73
Trong những phân trước chúng ta đã biết đối với loại vật liệu không phụ thuộc vào áp lực thủy tĩnh thì tiêu chuẩn chảy đẻo cho vật liệu đẳng hướng phải có dạng tổng quát của (3.5). Phương trình (3.14) là biểu thức toán đơn giản nhất thỏa mãn đòi hỏi trên. Trong không gian ứng suất chính tiêu chuẩn dẻo theo phương trình (3.14) biểu diễn một hình trụ tròn mà giao tuyến của nó với mặt phẳng lệch là một
vòng tròn có đường kính lã p = (/3)k.
"Trong mặt phẳng định bởi hai trục ơ; và ơ¿, tiêu chuẩn Von-Mises sẽ là giao tuyến của mặt trụ tròn với mặt phẳng ơa = 0, có nghĩa là:
0 +62 -0,0, = 93 (3.17)
Phương trình cho thấy giao tuyến là một ellip như hình 3.3. Giao tuyến của mặt Von—Mises trong không gian ứng suất tổng quát với mặt phẳng ơ,— r„ cũng là một ellip được xác định bởi phương trình:
ơ) + 8tr2, = 03 (3.18)
và có hình dang như hinh 3.6.