Trong chương 1 chúng ta đã để cập kỹ đến lý thuyết bất biến, ở đây nhắc lại những khẳng định là ứng suất pháp có hiệu trên mặt bát diện ơ¿„ và ứng suất tiếp trên mặt bát điện r¿„ là các bất biến và được xác định như sau:
, dư Q2 2
Cre = GG, + Oy +02) (2.11)
Tà = gle - 95) +, 01)? + (0, - 04)" + 6(x2, + t3 + x3] (9.19)
hoặc trình bày theo ứng suất chính:
Sees = FOG} + 9 + 05) (2.18)
tine = 5 (04 — 04)? + (04 -05)* + (05-0?) (2.44)
Tương tự, ứng suất tổng trên mặt bát điện:
Soct = s66: + Og + 6g) (2.15)
|? (2.16)
Toot = ai —ứ)? + (oy - ứ}? + (63 -9,)"
Dé dang nhận thấy mối quan hệ giữa ứng suất tổng và ứng suất có hiệu trên mặt bát diện như sau:
Toot = Tao * (2.17)
Soee = Soot ~U (2.18)
Trong hệ trục ứng suất chính có hiệu, sau này chúng ta sẽ gọi là không gian ứng suất chính, với các trục là ơi, ơ¿, ơ¿ trạng thái ứng suất có hiệu tại một điểm được biểu thị bằng điểm M’. Nếu phân vectơ OM’ thành vectơ ƠN' nằm trên đường chéo không gian và vecto M’N’
thẳng góc với đường chéo thì có thể chứng minh độ dài của yecto O'N’
bằng V3 ơ¿„ và độ dài cla vecto N’M’ bing X8 t;„. Góc Lode 9 giữa vectơ N'M' và mặt phân giác OPRS (H.2.5), cũng là một bất biến như đã để cập ở chương 1. Trạng thái ứng suất tổng tại M tương ứng với trạng thái ứng suất có hiệu tại M' cộng với áp lực lỗ rỗng u; vectd MM có độ đài là V3 u va song song với đường chéo không gian.
Trong trường hợp đặc biệt ơ¿ = ơ¿ thì điểm M và M nằm trong mặt phẳng OPRS và lúc đó góc Lode 9 = 0. Cũng trong trường hợp
này thì:
Ole = A +204) (2.19)
The = Bee - A) - (2.20)
Để tránh số hạng J2/3, chúng ta có thể định nghĩa những bất biến mới như sau:
pe s01 + 2g) = đầy (2.21)
bit atv. By
q' = (6, — 93) = 1ã Tọey (2.22)
Trong trường hợp tổng quát đối với trạng thái ứng suất ba trục thì hai bất biến q’ va p’ sé là:
pie 506} +04 +04) (2.23)
ằ_ Af, eat + yg] v2
7 = Fg hes — on) + 4 ~ 047 + (04 - 047] (2.24)
và bất biến thứ ba là góc Lode 6 z 0. Tương tự đối với ứng suất tổng:
p= 2(o, +0, +03) : ằ (2.25)
1 . |”
qe Fle ~ ứg)ấ + (G; —ơg)ấ + (gạ — 04)? (2.26)
và bất biến thứ ba là góc Lode 6 # 0.
Ngoài việc sử dụng các bất biến ở trên để diễn tả trạng thái ứng suất tại một điểm trong dat nén, Roscoe va Burland (1968) da thay bất biến ạ bằng bất biến J. Chúng ta sẽ gặp lại bất biến này ở
các chương sau, đặc biệt là chương 9. l
J= Ty = agli =o)? + (04 - 04)? + (04 — 04)" |? (2.27)
LO TRINH UNG SUẤT, LỘ TRÌNH BIEN DẠNG VÀ CÁC BẤT BIẾN 51
Chúng ta có thể nhận biết mối quan hệ giữa các bất biến ứng suất có hiệu và bất biến ứng suất tổng như sau:
p=p-u (2.28)
g=q (2.29)
Chúng ta cần phân biệt sự khác nhau giữa g' và g; giữa £ và t; di nhiên g = g” và £ = ¿, nhưng khi nào đề cập đến ứng suất có hiệu thì ding q’ hoac # và khi nào để cập đến ứng suất tổng thì dùng g hoặc ¿.
2.6 LO TRINH ỨNG SUẤT TR0N8 HỆ TRỤC q’:p’ VA q:p
Trường Cambridge sử dụng các bất biến ợ và p` làm hệ trục để
mô tả lộ trình ứng suất có biệu. Hình 2.6 trình bày lộ trình ứng suất có hiệu của hình 2.1 trong hệ trục g' và p'. Để xác định độ đốc của lộ trình A'B' và BC chúng ta viết lại phương trình 2.1 và 2.2 dưới dạng gia số cho trường hợp đặc biệt ứ¿ = ơ¿ như sau:
Bp! = 285i +2805)] (2.30)
8q’ = (80, — 804) ằ (2.31)
di véi A'B’ thi 8a, = 503 = 0 và dg/dp’ = 3. Đối với BC' thì
Bo] = 0, 8a) = Se} va dq/dp’ = -3/2. Diém B biéu thj cho trang thai ứng suất tổng tương ứng với trạng thái ứng suất có hiệu tại B có áp lực lỗ rỗng là u.
9 pp’
Hình 2.6 Lé6 trinh ung suétt trong hé truc q’, p’ va q, p
Bang 3.1 Mối liên hệ giữa các lộ trinh ting sudt theo MIT,
Cambridge vd ung suất chính
Thông số
hoặc hàm số theo:
Theo ứng suất
chính Theo Viện MIT Theo trường Cambrdge
Ứng suất
tổng 1 ỉ; =Gi + s=4(o, +o,)=6' +n P=4(6,+205)= psu
Ứng suất
có hiệu 1 OL =o,-u sat, +og)=s+u P'= F(a} + 205)= p—u
Ứng suất
tổng 2 Og = Og +u #=4$)-95)
Ứng suất
cú hiệu 2 đạ =Ơỉạ-H tra (1 ơn)
Ứng suất
có hiệu cực
đại % o,=s'+t
Ứng suất
có hiệu cực
tiểu
Đường
Mohr- Coulomb trong miền nén
‘cos p' + ứ gin$
tea'+s'tanga’
q = Mp’ +4,
6cos 9”
8~sine'
__6sing,
3—sing’
Lộ trình
ứng suất trong cố kết Ko
93 = Koo}
Lộ trình
ứng suất trong cố kết đẳng hướng
£=0
Lộ trình
ứng suất
trong thí nghiệm thoát nước
U=sp+s' Pp=p+‡q
LỘ TRÌNH ỨNG SUẤT, LỘ TRÌNH BIẾN DANG VÀ CÁC BẤT BIẾN 53
2.7 CAC BAT BIEN CUA BIEN DANG
Lịch sử biến dạng của một phân tố có thể được mô tả trong hệ trục biến dạng chính s, s; và sạ bằng cách nối các trạng thái biến dạng xảy ra liên tiếp. Lộ trình biến dạng vẽ theo cách này cũng tương tự như lộ trình ứng suất có biệu trong hình 3.1, Một cách khác, chúng ta có thể tìm những bất biến của biến dạng và sử dụng những bất biến này làm hệ trục để mô tả lộ trình biến dạng. Tuy nhiên, cần phải chú ý chọn lựa những bất biến của biến dạng sao cho tương ứng những bất biến của ứng suất đã chọn.
Những bất biến thích hợp của biến dạng, khi một phân tố đất chịu biến dạng dưới sự tác dụng của tải trọng, sẽ được xác định trên cơ sở công do tải trọng ngoài thực hiện cũng là một bất biến (có nghĩa giá trị của công không phụ thuộc vào cách chọn hệ trục) và tích số giữa ứng suất và biến dạng tương ứng phải bằng với công do tải trọng ngoài thực hiện. Trước tiên chúng ta chọn những bất biến của biến dang dé mô tả lộ trình biến dạng rồi sau chúng ta sẽ thực hiện những kiếm tra cần thiết để xem việc chọn lựa này có tương ứng với những bất biến của ứng suất đã chọn hay không.
2.8 LỘ TRÌNH BIẾN DẠNG
Một phân tố đất chịu biến dạng phẳng thì một thành phân biến dạng chính bằng zero, chúng ta chỉ còn xét đến biến dạng pháp tuyến và biến dạng trượt thuộc bài toán phẳng. Trạng thái biến đạng của phân tố đất được biểu diễn bằng vòng tròn Mohr biến dạng như hình 2.7. Chúng ta cần nhớ rằng, vòng Mohr biến dạng được vẽ trong hệ . trục với một trục là phương của biến đạng pháp tuyến và một trục là là biến dạng trượt thuần túy và s„ = 1⁄2 y„, trong đó y„ là biến dạng trượt kỹ thuật,
Vị trí và kích thước của vòng tròn Mohr hoàn toàn có thể xác định khi biết tọa độ M, đỉnh của vòng tròn Mohr. Chúng ta định nghĩa các thông số s, = 2.NM và s, = 2.ON; và từ hình 2.7:
a = le, —e,)?+ 402, |”? . (2.82)
€, =(e, + £,) 2.33)
Vi e, va s, 14 toa dé cua diém M trong hình 2.7 cho nên giá trị của chúng không thay đổi khi các trục (, z) xoay.
Các thông số ey và s„ được viết theo biến đạng chính như sau:
Sy =(Eq ~Eg} _ (2.34)
&, = (6, + €3) (2.35)
Khi định nghĩa s, và s„ ở trên chúng ta đã nhân thém 2 vao NM cũng như ON là nhằm mục đích để các thông số biến dạng này tương ứng với các thông số ứng suất (, s3). Việc nhân thêm 2 trở nên thuận lợi vì e, và su lại có ý nghĩa vật lý quen thuộc như đã biết. Chúng ta có thể viết lại như sau để thấy rõ ý nghĩa vật lý đó.
By = Yrax (2.36)
6, =-AV/V (2.37)
trong đú yaô là giỏ trị lớn nhất của biến dạng trượt kỹ thuật và AV là độ
gia tăng của thể tớch V. Vậy ô, chỉ đơn giản là biến dạng (nộn) thể tớch.
Có thể sử dụng các thông số c, và s, làm hệ trục phẳng để vẽ các lộ trình biến dạng. Các lộ trình biến đạng như thế sẽ tương tự như các lộ trình ứng suất vẽ trong hệ trục (, s?} như hình 2.4. Khi s; = 0 việc sử dụng các thông số e, và s„ sẽ rất thuận lợi. Tuy nhiên, cẩn phải nhận thấy rằng trong trường hợp tổng quát s„ và s, không phải là những bất biến vì giá trị của chúng phải phụ thuộc vào cách chọn hệ trục sao cho một trục có biến đạng bằng zero. Cho nên chúng ta cần phải xác định những bất biến của biến dạng tương ứng với những bất biến của ứng suất g' và p”.
Trong trường hợp tổng quát, trạng thái biến dạng của một phân tố đất hoàn toàn có thể xác định được bởi ba biến dạng trục (sz, ey, £;}
và ba biến dạng trượt (s„, tc, s„). Chúng ta kết hợp các thành phần biến đạng trên để có được những bất biến. Ở đây không biến đổi giải tích nhưng có thể phát biểu rằng biến đạng pháp tuyến s„„ và biến dang trugt You trén cdc mat bat dién 1a những bất biến và chúng được
>> viết như sau: