Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
2.3. Các biện pháp tổ chức hoạt động dạy học giải bài tập Hình học 11 theo hướng khai thác nguyên lý về sự phát triển
2.3.1. Dạy học đảm bảo vừa sức và phù hợp với yêu cầu phát triển Theo quan điểm của triết học duy vật biện chứng thì: Mọi sự vật, hiện
tượng đều nằm trong quá trình vận động và phát triển và khi xem xét sự vật theo quan điểm phát triển còn phải biết phân chia quá trình phát triển của sự vật ấy thành những giai đoạn. Trên cơ sở ấy để tìm ra phương pháp nhận thức, cách tác động phù hợp nhằm thúc đẩy sự vật tiến triển nhanh hơn hoặc kìm hãm sự phát triển đó.([8; tr.221])
Theo Nguyễn Bá Kim: “Việc dạy học một mặt đảm bảo vừa sức để HS có thể chiếm lĩnh được tri thức, rèn luyện được kĩ năng, kĩ xảo, nhưng mặt khác lại đòi hỏi không ngừng nâng cao yêu cầu để thúc đẩy sự phát triển của HS. Hai
mặt này tưởng chừng mâu thuẫn nhưng thực ra lại rất thống nhất. Vừa sức không phải là quá khó nhưng cũng không phải là quá dễ. “Sức” học sinh, tức là trình độ, năng lực của họ, không phải là bất biến mà thay đổi trong quá trình học tập, nói chung là theo chiều hướng tăng lên. Vì vậy, sự vừa sức ở những thời điểm khác nhau có nghĩa là sự không ngừng nâng cao yêu cầu. Như thế, không ngừng nâng cao yêu cầu chính là đảm bảo sự vừa sức trong điều kiện trình độ, năng lực của HS ngày một nâng cao trong quá trình học tập.”([14; tr.
84])
Nếu người GV dạy toán không xác định được tầm quan trọng của nguyên tắc tính vừa sức thì dễ diễn ra tình trạng là:
+) Ra bài toán quá khó, vượt xa trình độ của HS, điều này sẽ gây khó khăn cho các em trong việc lĩnh hội tri thức. Có thể dẫn lời của J.Dewey:
“Không gán ép sơ đồ lôgic của một trí óc đã hiểu môn học cho một trí óc đang đấu tranh để chiếm lĩnh nó.”
+) Ra bài toán quá dễ thì sẽ gây nhàm chán và triệt tiêu cơ hội được suy nghĩ của HS, dẫn tới nhận thức không được phát triển.
Việc đảm bảo sự thống nhất giữa tính vừa sức với yêu cầu phát triển được thực hiện dựa trên lí thuyết về vùng phát triển gần nhất của Vưgôtxki. Theo lí thuyết này, những yêu cầu phải hướng vào vùng phát triển gần nhất, tức là phải phù hợp với trình độ mà HS đã đạt tới ở thời điểm đó, không thoát li cánh xa trình độ này, nhưng họ vẫn còn phải tích cực suy nghĩ, phấn đấu vươn lên thì mới thực hiện được nhiệm vụ đặt ra. Nhờ những hoạt động đa dạng với yêu cầu thuộc về vùng phát triển gần nhất, vùng này chuyển hóa dần dần thành trình độ hiện tại, tri thức kĩ năng, năng lực lĩnh hội được trở thành vốn trí tuệ của HS và những vùng trước kia còn ở xa nay được kéo lại gần nhất mới. Cứ như vậy, HS leo hết nấc thang này đến nấc thang khác, phát triển qua hết bước này tới bước khác.
Trong quá trình dạy học giải bài tập, để đảm bảo sự thống nhất giữa tính “vừa sức” và yêu cầu “phát triển”, GV cần thực hiện một số phương pháp sau đây:
1) Xây dựng hệ thống bài tập từ đơn giản đến phức tạp
Khi dạy học một chủ đề nào đó, GV cần có kế hoạch xây dựng hệ thống bài tập thích hợp liên quan từ đơn giản đến phức tạp. Hệ thống bài tập từ đơn giản đến phức tạp là tập hợp các bài toán từ dễ đến khó, từ bài toán gốc đến những bài toán phức tạp, liên hệ với nhau về cấu trúc hay về tri thức phương pháp giải các bài toán, có tác dụng khắc sâu một nội dung, phát triển bài toán.
Thông qua đó mà phát triển được ở HS khả năng liên tưởng, thói quen so sánh, phân tích, huy động kiến thức, quy lạ về quen, khả năng xây dựng bài toán mới.
Quy một bài toán khó về bài toán gốc đơn giản, ngoài giúp HS giải được bài toán khó một cách dễ dàng, còn làm cho các em cảm thấy hứng thú và tự tin hơn để sáng tạo.
Song song với việc giải và tìm ra hệ thống các bài toán từ dễ đến khó, mỗi HS vừa được rèn luyện được kĩ năng, kĩ xảo, chiếm lĩnh tri thức của cùng một nội dung (vừa sức với khả năng của mình) đồng thời được phát triển năng lực giải toán.
Ví dụ 2.1: Khi dạy về phép đối xứng trục, ta có hệ thống bài toán cực trị sau:
Bài toán 1 : (Hình 2.1) Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm về hai phía đường thẳng đó. Tìm trên d điểm M sao cho MA + MB bé nhất.
M d
A
B
Hình 2.1
Học sinh dễ dàng nhận xét: MA + MB AB và kết luận: M = ABd Bài toán 2 : (Hình 2.2) Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm về một phía đối với d. Tìm điểm M thuộc d sao cho AM + MB bé nhất.
Hướng dẫn học sinh tìm lời giải qua các câu hỏi gợi vấn đề như sau:
GV: Bài toán này có gì giống bài toán 1 không?
HS: Tìm điểm M thuộc sao cho AM + MB bé nhất
GV: Vậy cần biến đổi bài toán như thế nào để sử dụng được kết quả đó?
HS: Tìm một điểm thỏa mãn khác phía đối với điểm A đồng thời có khoảng cách đến điểm M bằng MA. Và đó là điểm A1 đối xứng với A qua d
M d
A
A1
B
Hình 2.2
Khi đó học sinh sẽ dễ dàng tìm được: AM + MB bé nhất A1M + MB bé nhất.
Vậy giải bài toán 2 được qui về giải bài toán 1.
Bài toán 3 : (Hình 2.3) Cho đường thẳng d, hai điểm A, B cùng phía đối với đường thẳng d. Hãy tìm trên d hai điểm M, N sao cho MN = a > 0 và AM + MN + NB bé nhất.
Giáo viên hướng dẫn như sau để học sinh tự mình tìm lời giải:
GV: So sánh giả thiết và kết luận của bài toán 2 và bài toán 3?
Chuyển biểu thức AM + MN + NB về biểu thức tương đương?
M
d
A A1
B
N
Hình 2.3
Khi đó học sinh sẽ tìm được: AM + MN + NB bé nhất A1N + NB bé nhất với A1 là điểm thỏa mãn tứ giác AMNA1 là hình bình hành.Vậy giải bài toán 3 quy về bài toán 2.
Tương tự như cách hỏi ở bài 2 và 3, GV hướng dẫn HS quy các bài toán sau về bài toán quen thuộc.
Bài toán 4: (Hình 2.4) Cho hai đường thẳng a, b song song với nhau. Hai điểm A, B nằm khác phía đối với cả hai đường thẳng đó. Tìm trên a điểm M và trên b điểm N sao cho MN vuông góc với a và b đồng thời AM + MN + NB có giá trị bé nhất.
Hướng dẫn giải:
Do khoảng cách MN giữa hai đường thẳng a và b bằng h không đổi. Vậy AM + MN + NB bé nhất khi và chỉ khi AM + NB bé nhất. Nếu thực hiện phép tịnh tiến theo véctơ v
(véc tơ nằm trên đường thẳng vuông góc với a, b có độ dài bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng a, b và có hướng từ b đến a).
Hình 2.4
Khi đó:TV : B B1 ; N M. Như vậy AM + NB nhỏ nhất AM + MB1 nhỏ nhất. Từ đó việc tìm M quy về bài toán 1.
Bài toán 5: (Hình 2.5) Cho góc xOy và một điểm C cố định nằm trong góc đó. Hãy tìm điểm A thuộc Ox và B thuộc Oy sao cho chu vi của tam giác ABC là nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
A a M
b
B B1 N
y x
O C
C1
C2
A
B
Hình 2.5
Từ bài toán cơ bản trên gợi ý cho ta lấy C1, C2 đối xứng với C lần lượt qua tia Ox, Oy. Khi đó chu vi ABC là 2p = CA +CB+AB=C1A+AB+BC2 nhỏ nhất khi và chỉ khi A, B, C1, C2 thẳng hàng.
Vậy A, B cần tìm là giao điểm của C1 C2 với tia Ox và Oy.
Bài toán 6: (Hình 2.6)
a) Cho tam giác ABC, P là một điểm cố định trên cạnh BC. Hãy tìm điểm E thuộc cạnh AB, F thuộc AC sao cho chu vi của PEF là nhỏ nhất.
b) Khi P di động trên BC, dựng PEF có chu vi nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải:
a) Khi P cố định trên BC thì lập luận tương tự bài 5, ta có E, F lần lượt là giao điểm của MN với AB và AC (trong đó M, N là điểm đối xứng của P qua AB, AC)
E
F N
M
P C
B
A
Hình 2.6 b) Khi P di động trên BC, theo câu a):
Chu vi tam giác PEF bằng PE+PF+EF = ME+FN+EF = MN. Do vậy chu vi tam giác PEF nhỏ nhất khi độ dài MN nhỏ nhất. Xét tam giác AMN có
MAN 2BAC (không đổi), AM = AN = AP. Để đáy của tam giác cân AMN (là MN) nhỏ nhất thì AM = AN nhỏ nhất hay AP nhỏ nhất, suy ra P là hình chiếu của A lên BC. Khi đó E, F được dựng như ở câu a (nếu để ý, ta sẽ thấy P, E, F chính là các chân đường cao của tam giác ABC).
Tất cả những bài tập trên đây đều nhằm vào mục đích rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo cho HS thông qua khai thác các ứng dụng của phép đối xứng trục vào giải toán, các bài tập được sắp xếp từ dễ đến khó đã giúp các em từng bước chiếm lĩnh tri thức, vừa phù hợp với khả năng vừa phát triển được năng lực trí tuệ của bản thân. Trong quá tình dạy học, tùy vào từng đối tượng HS, từng lớp, từng trường mà GV lựa chọn bài tập thích hợp.
2) Sử dụng linh hoạt hệ thống bài tập trong dạy học
Việc xây dựng hệ thống bài tập từ dễ đến khó cho từng nội dung cụ thể là điều quan trọng nhưng việc sử dụng chúng như thế nào lại là điều quyết định;
điều này phụ thuộc vào năng lực sư phạm, khả năng ứng biến linh hoạt của GV với từng hoạt động, từng học sinh trong những hoàn cảnh cụ thể. GV có thể điều khiển quá trình dạy học bằng những cách sau:
a) Tuần tự nâng cao yêu cầu phù hợp với nhận thức của học sinh
Trong dạy học, cần làm cho HS hiểu rằng việc giải toán chưa dừng lại khi làm xong bài toán đó, mà đây mới chỉ là điểm khởi đầu cho một quá trình tìm tòi, suy nghĩ cho những điều mới mẻ hơn, sâu sắc hơn xung quanh nó. Để tập luyện cho HS thói quen tích cực, tự giác thì GV cần cho các em được suy nghĩ và không ngừng suy nghĩ bằng những yêu cầu ngày một nâng cao một cách phù hợp.
Ví dụ 2.2: Khi củng cố kiến thức của phép đối xứng tâm (Hình học cơ bản 11), có thể cho HS làm một số bài tập nâng dần mức độ khó khăn theo các mức sau:
Mức 1: Yêu cầu tìm ảnh của điểm A(1; 1), đường thẳng d:x y 2 0 , đường tròn (C):x 1 2y 1 2 4 qua phép đối xứng tâm O(0; 0) ( ĐO)
Đây là yêu cầu cơ bản nhất nhằm củng cố biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O (ĐO: A(x; y) A(x; y) với x - x ; x - y). Trong bài tập này đã thể hiện sự phân bậc hoạt động, sau khi tìm ảnh của A, sẽ tiếp tục tìm ảnh của d là dvà ảnh của (C) là (C) với nhận xét dựa vào tính chất của phép đối xứng tâm:
+ dđi qua hai điểm là ảnh của hai điểm thuộc d hoặc dsong song với d và đi qua một điểm là ảnh của điểm thuộc d.
+ (C) có tâm là ảnh của tâm của (C) và có bán kính bằng bán kính của (C) Mức 2 : Thay tâm O bởi tâm I khác O, lúc này HS cần phải sử dụng định nghĩa của phép đối xứng tâm (phép đối xứng tâm I biến điểm A thành A thỏa mãn I là trung điểm của AA) và vận dụng các phép toán trên véc tơ để giải quyết
Ví dụ 2.3: Khi luyện tập về cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng bằng phương pháp tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng đó (sau khi học xong bài
“Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian”), GV cho HS làm bài tập sau:
Bài toán 1: (Hình 2.7) Trong mặt phẳng (P), cho tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối không song song với nhau. Gọi S là một điểm nằm ngoài (P) và O là giao của AC và BD. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng:
a) (SAC) và (SDB) b) (SAB) và (SCD)
Hướng dẫn giải:
a) Ta có S là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SDB). Vì O thuộc AC nên O thuộc (SAC); O thuộc BD nên O thuộc (SDB)
Vậy O là điểm chung của (SAC) và (SDB). Suy ra giao tuyến của (SAC) và (SBD) là đường thẳng SO.
O C
B S
A
I D
Hình 2.7
b) Gọi I là giao của AB và CD. Ta chứng minh rằng I là điểm chung thứ 2 của (SAB) và (SCD) sau điểm S. Thật vậy, I thuộc AB nên I thuộc (SAB); I thuộc CD nên I thuộc (SCD). Vậy I là điểm chung của 2 mặt phẳng (SAB) và (SDC) và giao tuyến là đường thẳng SI.
Như vậy, từ việc tìm hai điểm chung là S và O mà học sinh có thể thấy được ngay ở câu a, đến câu b thì nhiệm vụ đã khó khăn hơn bởi cần phải tinh ý phát hiện ra giả thiết hai cạnh AB, CD không song song và việc tồn tại I là hợp lí. Tất nhiên, hệ thống bài tập tìm giao tuyến của hai mặt phẳng rất phong phú và có nhiều ứng dụng, GV có thể tạo nên nhiều lớp bài tập phù hợp với khả năng của các em mà vẫn đảm bảo nâng dần được mức độ khó khăn.
Ví dụ như bài tập này:
Bài toán 2: (Hình 2.8) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB và CD. Hãy dựng thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP).
Bài toán tìm thiết diện được xem là khó, cụ thể đối với bài này, trước hết HS phải tìm tất cả các giao tuyến của mặt cắt với các mặt của hình chóp, chưa kể là việc tìm nhiều giao điểm khiến hình vẽ rất khó nhìn, cho nên các em bắt buộc phải thành thạo việc tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Do vậy, đây nên là hệ thống bài tập đưa vào sau cùng khi mà các em đã nắm khá vững cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.
Hướng dẫn giải:
D C
A B
S
I
J
E P
N M F
Hình 2.8
Giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với (ABCD) là NP. Kéo dài NP cắt AD tại J, cắt AB tại I mặt phẳng (MIJ) trùng với mặt phẳng (MNP).
Do IM và SB đồng phẳng và không song song nên MI SB = E.
Ta có: E SB, E (MNP) ME là giao tuyến của (MNP) với (SAB).
Tương tự MF, FD, EN là giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt bên (SAD), (SDC), (SBC).Vậy thiết diện là ngũ giác MENPF.
b) Tạm thời hạ thấp yêu cầu khi cần thiết
Trường hợp HS gặp khó khăn khi hoạt động, ta có thể tạm thời hạ thấp yêu cầu. Sau khi họ đã đạt được nấc thấp này, yêu cầu lại được tuần tự nâng cao. Điều này hoàn toàn phù hợp với lý thuyết của Vưgôtxki về vùng phát triển gần nhất. Thật vậy, khi HS gặp khó khăn có nghĩa là yêu cầu đề ra còn ở những vùng phát triển quá xa. Tạm thời hạ thấp yêu cầu tức là đã điều chỉnh yêu cầu hướng về vùng phát triển gần nhất.
Ví dụ 2.4: Để rèn luyện cho HS một trong những kỹ năng quan trọng của hình học không gian lớp 11 là kỹ năng tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, sau khi các em đã học xong chương quan hệ song song trong không gian, GV có thể đặt câu hỏi:
Câu hỏi 1: Hãy nêu một số phương pháp xác định giao tuyến của hai mặt phẳng? (Câu hỏi này yêu cầu HS phải tổng hợp được tri thức)
Nếu học sinh lúng túng để tìm ra câu trả lời, giáo viên có thể hạ thấp yêu cầu bằng cách gợi ý: Ta đã biết giao tuyến của hai mặt phẳng là một đường
thẳng, cách xác định một đường thẳng chính là cách xác định giao tuyến của hai mặt phẳng.
Câu trả lời : Có 2 cách xác định giao tuyến của hai mặt phẳng:
Cách 1: Xác định hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng.
Cách 2: Xác định một điểm chung của hai mặt phẳng và phương của giao tuyến.
Câu hỏi 2: Có những cách nào để xác định được phương của giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt và ?
Câu trả lời: +) Nếu và cắt nhau theo một giao tuyến, song song với đường thẳng d thì giao tuyến đó song song với d.
+) Nếu và cắt nhau theo một giao tuyến và lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì hoặc giao tuyến đó song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó
+) Nếu và cắt nhau theo một giao tuyến và cùng song song đường thẳng d thì giao tuyến ấy song song với d.
+) Nếu và song song, một mặt phẳng cắt mặt phẳng theo giao tuyến a, khi đó giao tuyến b của và phải song song với a.
Ví dụ 2.5: (Hình 2.9, Hình 2.10) Xét bài tập tổng hợp: “Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD cóAD // BC và AD 2BC . Gọi E là trung điểm của AD và O AC BE. I là điểm di động trên cạnh AC khác A và C. Qua I, ta vẽ mặt phẳng song song với (SBE).
Tìm thiết diện tạo bởi và hình chóp S.ABCD?”
Đây là bài tập khó nhưng nếu GV hạ thấp yêu cầu bằng những câu hỏi chia nhỏ hoạt động thì HS sẽ dễ tiếp thu hơn mà không bị “ khớp”.
Câu hỏi1: Nêu phương pháp xác định thiết diện?
Câu trả lời: Cho hình (K) và một mp (P). Nếu (P) cắt một số cạnh của (K) thì phần chung của (K) và (P) được gọi là thiết diện của (K) khi cắt bởi (P).
Câuhỏi 2: Để tìm thiết diện, cần tìm giao tuyến của với mặt nào trước tiên của hình chóp S.ABCD?
Câu trả lời: Là mặt có mối liên quan với (là mặt phẳng (ABCD) chứa BE; BE thuộc (SBE)).
Câu hỏi 3: Cần xét các vị trí của I trên AC như thế nào?
Câu trả lời: Dựa vào cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) và (ABCD) mà cụ thể là vị trí giao điểm của giao tuyến đó với các cạnh của tứ giác ABCD học sinh phân chia hai trường hợp:
+) I thuộc đoạn AO, khi đó thiết diện là JMN(Hình 2.9)
+) I thuộc đoạn CO, khi đó thiết diện là tứ giác MNPQ (Hình2.10)
Hình 2.9 Hình 2.10
3) Tổ chức dạy học phân hóa nội tại phù hợp với từng đối tượng học sinh Cùng một vấn đề nhưng phân ra nhiều cấp độ chính là thực hiện ý tưởng này. Trong một lớp học bao giờ cũng tồn tại em này học tốt hơn em kia và cũng vì lẽ đó nếu đặt ra nhiệm vụ riêng cho nhóm HS có năng lực tương đương sẽ là phương pháp dạy học hiệu quả. Kinh nghiệm, trình độ, thành công hoặc khả năng của HS trong cùng một lớp khác nhau tới mức bất kì ý muốn nào đặt ra những cách học chung (hoặc một tốc độ chung) trong suốt quá trình học cũng sẽ đều không có hiệu quả. Khi sự khác nhau là lớn, cần thiết phải dạy học phân hóa ngay trong tiết học đồng loạt để tránh tình trạng nếu GV chỉ quan tâm