Tiết 25: BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG I. Mục tiêu
2.3.3. Tổ chức hoạt động dạy học giải bài tập theo hướng phát triển tiềm năng sách giáo khoa
Trong dạy học toán phổ thông theo xu hướng dạy học tích cực, nếu GV có ý thức luyện tập cho HS đào sâu, tìm kiếm kiến thức mới trên cơ sở những vấn đề quen thuộc thì năng lực giải toán của các em sẽ có sự chuyển biến tích cực.
SGK là một phương tiện dạy học hết sức quan trọng. GV cần có thái độ tôn trọng SGKvà làm thế nào để giúp HS sử dụng một cách tốt nhất. Không phải HS nào cũng nhìn thấy tiềm năng của SGK vừa giải được có thể mở rộng thành tri thức mới cao hơn. Để HS có thói quen và năng lực đó thì người GV cần quan tâm đúng mức việc luyện tập cho họ thói quen khai thác tiềm năng sách giáo khoa, khắc sâu mở rộng kiến thức, phát triển các bài toán từ nền kiến thức chuẩn đã được quy định thông qua các hoạt động:
+ Hoàn thiện kiến thức cũ
+ Phát triển các kiến thức và kĩ năng mới
+ Củng cố lí tuyết, ôn tập hệ thống hóa các kiến thức đã có
Các hoạt động này có ý nghĩa rất quan trọng trong việc giúp HS biết khai thác sâu thêm những kiến thức đã có. Khắc sâu và mở rộng kiến thức sách giáo khoa làm cho trí tuệ của học sinh phát triển, hình thành một sự kích thích bên trong đối với việc học tập, “Các em cảm thấy hài lòng vì lao động trí tuệ căng thẳng, sung sướng vì hoàn thành được những bài tập khó; dường như các các em đang tiến về phía một cái gì mới mẻ mà mình phải nhận ra.” ([5; tr.95]) Thông qua khắc sâu và mở rộng kiến thức SGK mà các phẩm chất tư duy của học sinh được hình thành và phát triển, giúp HS có thể độc lập và sáng tạo trong học tập.
Hệ thống kiến thức SGK là nguồn quan trọng cần được khai thác để làm tốt nhiệm vụ giáo dục, đặc biệt là bồi dưỡng năng lực giải toán cho HS. GV có thể khai thác theo các hướng sau đây:
1) Xây dựng hệ thống bài toán gốc cho từng dạng toán
“Đối với các dạng toán cần quan tâm đến các trình tự sau: Khái niệm, quy tắc, định lý dạng toán ứng dụng quy trình giải xây dựng các bài tập gốc vận dụng quy trình các bài toán nâng cao. Vận dụng lược đồ trên trong dạy học sẽ giúp việc dạy học đạt hiệu quả tích cực, đồng thời thực hiện được mục đích kép: vừa để khắc sâu khái niệm, định lý; vừa phát triển năng lực huy động kiến thức cho HS khi giải các bài toán nâng cao.” ([31; tr.22]). Tạo ra bài toán gốc (những bài toán vận dụng trực tiếp quy trình) sẽ giúp HS huy động tiềm lực tri thức. Trong quá trình giải các bài toán bằng hoạt động phân tích có định hướng, thông qua tổng hợp cần làm cho HS thấy mối liên hệ giữa các bài toán không những về tính chất của kết luận, về công cụ giải mà cần phát hiện được mối liên hệ về cấu trúc của bài toán là một bộ phận của bài toán khác hay kết luận của bài toán cần chứng minh suy ra từ bài toán đã biết.
Mặt khác, GV cũng cần quan tâm cho HS biết kiến thức nào là cơ sở và kiến thức nào có thể để HS tự học hoặc tự suy luận được trên cơ sở kiến thức đã được lựa chọn truyền thụ cho các em. Hoặc GV cũng có thể hướng dẫn HS xây dựng các bài toán gốc để củng cố các khái niệm, định lý. Hệ thống bài toán gốc đóng vai trò hết sức quan trọng vì ngoài chức năng củng cố kiến thức cho người học còn góp phần định hướng tìm tòi lời giải cho các dạng toán, nhất là các dạng toán có quy trình giải. Việc thực hiện quy trình trong dạy học Toán không những hướng cho HS tới tư tưởng thuật toán mà còn tạo điều kiện cho sử dụng mềm mại, uyển chuyển các phương pháp dạy học khác nhau, dựa vào những kiến thức cần truyền đạt để dạy các em tưởng tượng, phát triển trực giác Toán học, giúp họ phát triển tư duy tích cực, độc lập sáng tạo.
Ví dụ 2.12: Dạng toán xác định giao điểm của một đường thẳng với một mặt phẳng.
Trước tiên giả thiết rằng đường thẳng a cắt mặt phẳng (P) (a và (P) chỉ có một điểm chung I).
a) Quy trình xác định điểm I
Trường hợp 1: Trong (P) có sẵn đường thẳng cắt a tại I. Khi đó I là giao điểm của a và (P)
Trường hợp 2: Trong (P) không có sẵn đường thẳng cắt a. Khi đó, ta dựng I theo quy trình:
1. Xác định mặt phẳng (Q) chứa a thỏa mãn (Q) và (P) có điểm chung 2. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
3. Trong mặt phẳng (Q) xác định I là giao của đường thẳng a và .
Khi đó I là giao điểm của a và (P)
(Trường hợp 1 là trường hợp riêng của trường hợp 2 nhưng GV cũng cần đưa ra để nếu HS gặp phải cũng biết cách lựa chọn cách giải ngắn hơn.)
b) Bài toán gốc vận dụng quy trình
Bài toán 1: (Hình 2.17) Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là các điểm lần lượt
nằm trên các cạnh AB, AD với 1
AI IB
2 và 3
AJ JD
2 . Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với (BCD)
Thực hiện các bước quy trình:
+) Do
AI 1IB 2 AJ 3JD
2
nên IJ kéo dài sẽ cắt BD. Gọi giao điểm của IJ và BD
là K
+) Ta có: K = IJ (BCD)
B
C
D K
J I
A
Hình 2.17
Bài toán 2: (Hình 2.18) Cho tam giác ABC và điểm O nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên các đoạn thẳng OA, OB, OC lần lượt lấy các điểm A,B,C không trùng với các đầu mút của đoạn thẳng đó. Gọi M là một điểm thuộc mặt phẳng (ABC) và nằm trong tam giác ABC. Tìm giao điểm của đường thẳng OM với mặt phẳng (A B C )
Hình 2.18 Thực hiện các bước quy trình:
1. Mặt phẳng (AOM) chứa OM và cắt mp(A B C ) 2. Giao tuyến của (OAM) và (A B C ) là A, K.
3. Trong mặt phẳng (OAM), OM và A K cắt nhau tại I.
Ta có I là điểm cần tìm.
c) Bài toán nâng cao: Bài toán 3: (Hình 2.19) Cho tam giác ABC và điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Gọi I là trung điểm cạnh BC. Các điểm M, N lần lượt thuộc các tia AB, SC nhưng không thuộc các đoạn AB, SC. Hãy xác định giao điểm H của đường thẳng MN và mặt phẳng (SAI).
O
A' C'
C
B A
M B'
K'
K I
A
B
C S
N
M
I K H
Hình 2.19
Trong mặt phẳng (ABC) AI cắt MC tại K; K là điểm chung của (SMC) và (SAI).
Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAI) và (SMC) là đoạn thẳng SK.
Trong (SMC), đường thẳng MN cắt SK tại H là điểm cần tìm.
Ví dụ 2.13: Dạng toán ứng dụng của phép biến hình a) Quy trình giải bài toán ứng dụng của phép biến hình
1. Xác định các bất biến của phép biến hình từ điều kiện đã cho và từ kết luận của bài toán.
2. Lựa chọn phép biến hình thích hợp cho lời giải bài toán
3. Dịch từ ngôn ngữ bài toán đã cho sang ngôn ngữ biến hình đã chọn 4. Giải bài toán theo ngôn ngữ phép biến hình được chọn.
b) Bài toán gốc vận dụng quy trình
Bài toán 1: (Hình 2.20) Chứng minh trong một tam giác bất kỳ, trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp thẳng hàng.
Dựa vào quy trình trên để tìm lời giải
Gọi G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
1. Ta biết trực tâm, trọng tâm, tam giác, đường tròn, thẳng hàng là các bất biến
của phép vị tự. Thêm vào đó: 1
GM GA
2
; 1
GN GB
2
; 1
GP GC
2
với M, N, P là trung điểm của các cạnh BC, AB, AC
2. Vì vậy gợi ý cho ta sử dụng phép vị tự tâm G tỉ số (-
2 1)
3. Dịch sang ngôn ngữ vị tự: H, O, G thẳng hàng khi và chỉ khi có phép vị tự tâm G biến H thành O.
4. Bài giải: Ta có (G, 1) 2
V
: ABC MNP nên (G, 1) 2
V
biến trực tâm H của tam giác ABC thành trực tâm H1 của tam giác MNP.
Mặt khác, trực tâm của tam giác MNP thuộc các đường trung trực của tam giác ABC.
Từ đó ta có H1 O. Vậy (G, 1) 2
V
: H O, suy ra 3 điểm H, G, O thẳng hàng
G H O
M C
B
A
P N
Hình 2.20
Bài toán 2: (Hình 2.21) Cho tam giác ABC. Dựng phía ngoài tam giác đó các tam giác BAE và CAF vuông cân tại A. Gọi I, M và J theo thứ tự là trung điểm của EB, BC và CF. Chứng minh:
a) CE BF, EC = BF b) Tam giác IMJ là tam giác vuông cân Hướng dẫn giải:
a) Xét phép quay tâm A, góc quay 900. Phép quay này biến E và C lần lượt thành B và F. Từ đó suy ra EC BF và CE = BF.
I
F E
J
M C
A
B
Hình 2.21
b) IM là đường trung bình của BCE nên: IM// EC và IM=
2
1EC. Tương tự MJ//
BF và MJ=
2
1BF. Theo câu a): IM=MJ và IM MJ điều phải chứng minh.
c) Bài toán nâng cao
Bài toán 3: (Hình 2.22) Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài của tam giác đó các hình vuông BAEH và CAFK. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và EF; I, J lần lượt là tâm của hình vuông BAEH và CAFK. Chứng minh:
a) AM EF và AM=
2
1EF. b) Tứ giác MINJ là hình vuông Hướng dẫn giải:
a) Bài toán yêu cầu chứng minh 2AM=EF nên ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2 lần AM và khả năng vuông góc với EF.
Thật vậy, gọi D là điểm đối xứng với B qua A. Khi đó: AM//CD; AM=
2 1
CD (tính chất đường trung bình trong tam giác BCD). Xét phép quay tâm A góc quay 900 biến đoạn thẳng CD thành FE.
Do đó: CD = FE và CD FE, suy ra AM FE và AM =
2 1EF.
b) Tương tự bài toán 2 ta có: CE BF và CE = BF.
Mặt khác, IN//MJ//BF và IN=MJ=
2
1BF; MI//NJ//CE và MI=NJ=
2
1CE suy ra MINJ là hình thoi có MI NJ nên MINJ là hình vuông.
A
B C
H
F
K
E D
I
N
J
M
Hình 2.22
* GV cũng có thể xây dựng hệ thống bài toán bắt đầu từ một bài toán gốc Ví dụ 2.14:
Bài toán 1: (bài toán gốc) (Hình 2.23) Cho tam diện vuông O.ABC đỉnh O, có OA = a, OB = b, OC = c. Tính khoảng cách từ O đến (ABC)
Hướng dẫn giải:
A
B
C H
O
Hình 2.23
Gọi H là hình chiếu của O trên (ABC). Áp dụng tính chất của tam diện vuông ta có: 1 2 1 2 12 12
OH OA OB OC 12 12 12
a b c
OH = 2 2 abc2 2 2 2 a b b c c a
Bài toán 2: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng 1. Lấy M trên cạnh CC1 sao cho độ dài MC = 3
5.Trên cạnh A1D1 lấy N sao cho độ dài A1N = 1
3, O là tâm hình lập phương. Tính khoảng cách từ D đến (MNO)
Khó khăn của bài toán này chính là việc khi tìm hình chiếu của D lên (MNO), do vậy GV cần gợi ý để các em tìm cách đưa được về bài toán gốc.
Vậy làm thế nào để đưa về bài toán gốc?
Nếu HS chưa trả lời được, GV có thể gợi ý: mp(ABC) trong bài toán gốc cắt 3 cạnh của góc tam diện tại A, B, C và độ dài OA, OB, OC đã biết.
Hướng dẫn giải:
Gọi E = MO AA1,P = NE AD,Q = NE DD1 và R = MQ DC
Nhận thấy hai mặt phẳng (OMN) và (PQR) trùng nhau, tức là khoảng cách cần tìm chính bằng khoảng cách từ D đến tam diện vuông D.PQR đỉnh D
Hình 2.24
Bài toán tương tự: Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 cạnh bằng 1.
Trên AA1 lấy E sao cho AE = 1
3. Trên BC lấy F sao cho độ dài BF = 1 4 .
C1
D1
B1
d m
A1
a b c
o
r
p
n e
q
Gọi O là tâm hình lập phương. Tìm khoảng cách từ B1 đến (EFO).
2) Khai thác thêm các ứng dụng của khái niệm, định lí, quy tắc, phương pháp
Trong dạy học thì việc truyền thụ cho học sinh kiến thức cơ bản là rất quan trọng, đó là những khái niệm, định lí hay các quy tắc, phương pháp. Nhưng HS nắm vững khái niệm, định lí hay quy tắc, phương pháp mà không biết vận dụng chúng thì cũng không có kết quả gì. Vì vậy, khi dạy cho HS một nội dung mới thỡ song song với việc truyền đạt kiến thức, người GV cần làm rừ những ứng dụng đi kèm với nó bằng những ví dụ cụ thể, sinh động. Qua đó các em không những nắm được kiến thức cơ bản mà còn được đào sâu suy nghĩ những vấn đề liên quan, hình thành nên tư duy linh hoạt, chủ động, sáng tạo.
Ví dụ 2.15: Khai thác ứng dụng các phép biến hình Ứng dụng của các phép biến hình:
+ Chứng minh các hình bằng nhau.
+ Giải các bài toán dựng hình.
+ Giải các bài toán quỹ tích.
+ Các bài toán cực trị.
+ Các bài toán chứng minh tính vuông góc, song song, đồng quy.
+ Lớp các bài toán về hình đồng dạng, tỉ số các đoạn thẳng.
Đây là vấn đề mà với HS và một số GV khi học và dạy thường coi nhẹ bởi nó rất ít khi sử dụng trong các kì thi đại học. Hơn nữa, để áp dụng được các tính chất của phép biến hình vào việc giải toán là điều không dễ dàng. Tuy nhiên nếu biết cách khai thác thì đây là vấn đề khá thú vị. Do vậy, GV là người có trách nhiệm tìm ra phương pháp tối ưu nhất để hướng dẫn cho HS định hướng được cách giải và giải đúng đồng thời dẫn dắt để các em tư duy mở rộng bài toán, giải được các bài toán ở cấp độ khó hơn. Qua đó, các em thấy được những ứng dụng quan trọng của nội dung phép biến hình.
Bài toán 1: (Hình 2.25) Cho hình vuông ABCD. Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB, BC sao cho AM=BN. Chứng minh rằng CM DN.
Ta biết qua phép quay góc 900, góc giữa đường thẳng ảnh và tạo ảnh bằng 900 nên cần xác định phép quay góc 900 biến CM thành DN hoặc ngược lại.
Từ đó ta có định hướng giải sau: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD Ta có:Q(O,90 )0 : B A; C B nên Q(O,90 )0 : BC AB
Do bảo toàn tỉ số các đoạn thẳng nên: Q(O,90 )0 : N M và Q(O,90 )0 : D C. Do vậy: Q(O,90 )0 : DN CM. Suy ra CM DN và CM = DN
N M B
O
D C
A
Hình 2.25
Bài toán 2: (Hình 2.26) Cho góc xOy và một điểm M nằm trong góc đó.
Hãy dựng đoạn thẳng AB qua M với A thuộc tia Ox, B thuộc tia Oy sao cho MA
= k MB
Hướng dẫn giải:
x
y M
A
B O
Hình 2.26
Phân tích: Giả sử đã dựng được đoạn thẳng AB thoả mãn điều kiện bài toán. Ta có: MA = k MB và A, M, B thẳng hàng nên MA kMB. Suy ra, A là ảnh của B qua phép vị tự tâm M tỉ số (-k) nên ta chọn phép vị tự để dựng hình.
Cách dựng: Dựng b là ảnh của Oy qua phép vị tự tâm M tỉ số (-k), b cắt Ox tại A thì A là điểm cần dựng. Nối A với M kéo dài cắt Oy tại B cần dựng.
3) Rèn luyện cho học sinh tìm nhiều cách giải một bài toán
Rèn luyện khả năng tư duy toán học, chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, nhìn một đối tượng toán học, một vấn đề hay một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, nhìn trong mối tương quan với các hiện tượng khác, tìm ra cách giải mới sáng tạo - đó là ý nghĩa thiết thực của việc tìm nhiều cách giải cho một bài toán, đây cũng là biểu hiện của con người sáng tạo.
Tập hợp nhiều cách giải và tìm được cách giải tối ưu cho bài toán sẽ giúp HS:
+ Tổng hợp được nhiều phương pháp giải toán từ bài toán cụ thể
+ Mở rộng thành bài toán mới, bài toán tổng quát, bài toán tương tự từ những bài toán đã giải xong.
+ Khai thỏc kết quả của bài toỏn, giỳp HS thấy rừ ưu, khuyết điểm của từng phương pháp giải toán.
+ Tìm được nhiều mối liên quan giữa các yếu tố trong nội bộ môn Toán + Tìm nhiều lời giải cho một bài toán giúp học sinh có cách nhìn toàn diện, biết hệ thống hóa và sử dụng các kiến thức, các kỹ năng, phương pháp giải toán một cách chắc chắn, mềm dẻo, linh hoạt, từ đó phát triển năng lực giải toán cho bản thân.
GV có nhiệm vụ định hướng cho các em thông qua các hoạt động sau:
a) Xây dựng các phương pháp giải khác nhau cho các dạng toán cơ bản Muốn giải được một bài toán theo nhiều cách khác nhau thì trước hết phải nắm vững cách giải một số các dạng toán cơ bản trong chương trình SGK. Hoạt động này cần phải được rèn luyện thường xuyên trong mỗi tiết học với hệ thống câu hỏi kiểm tra và bài tập liên quan.
Ví dụ 2.16: Trong không gian cho hai đường thẳng a, b phân biệt; hai mặt phẳng ; phân biệt; a
* Chứng minh a // b:
+ Chứng minh a và b cùng song song với một đường thẳng thứ ba (tính chất bắc cầu).
+ Chứng minh a và b đồng phẳng, sau đó sử dụng tính chất của hình học phẳng để chứng minh a // b (như tính chất của đường trung bình trong tam giác, định lí Talét...).
+ Chứng minh a và b cùng vuông góc với một mặt phẳng.
+ Sử dụng tính chất về giao tuyến của các mặt phẳng.
+ Chứng minh tồn tại phép biến hình (phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép vị tự) biến a thành b.
* Chứng minh a //
+ Chứng minh a song song với một đường thẳng nằm trong
+ Chứng minh a và cùng vuông góc với một đường thẳng.
+ Chứng minh a mà //
* Chứng minh //
+ Chứng minh có hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng này thỏa mãn cùng song song với mặt phẳng kia.
+ Chứng minh hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng khác.
+ Chứng minh hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng.
* Chứng minh a b
+ Chứng minh góc giữa a và b bằng 900
+ Chứng minh có một đường thẳng (hoặc mặt phẳng) vuông góc với đường này và song song với đường kia.
+ Nếu a và b đồng phẳng thì dùng tính chất của hình học phẳng để chứng minh ab (như định lí Pitago, phép quay với góc quay 900biến a thành b)
* Chứng minh a
+ Chứng minh có một đường thẳng song song với a và vuông góc với