Tiết 25: BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG I. Mục tiêu
2.3.6. Rèn luyện cho học sinh phương pháp tự học
“Chúng ta đều biết rằng xã hội không ngừng biến đổi và ngày càng phát triển. Cuộc sống đòi hỏi con người không ngừng mở rộng sự hiểu biết. Không có một trường học nào có thể cung cấp cho người học tất cả tri thức để có thể làm việc suốt đời. Để thực hiện một hoạt động đạt hiệu quả, không phải lúc nào cũng chỉ có tái hiện tri thức sẵn có, mà còn cần những tri thức mới, kĩ năng mới, nên cần phải biết tự học. Quá trình sống và hoạt động của con người là quá trình con người dần dần bước lên những bậc thang mới của sự hiểu biết.
Bước đi này dễ hay khó, cao hay thấp phụ thuộc vào khả năng tự học của mỗi người. Khả năng này có thể và cần được rèn luyện ngay khi còn ngồi trên ghế nhà trường phổ thông. Muốn vậy, quá trình dạy học phải bao hàm cả dạy tự học, phải biến quá trình dạy học thành quá trình tự học.” ([19; tr.176-177])
Như vậy, việc rèn luyện cho HS phương pháp tự học trong quá trình dạy học nói chung và hoạt động dạy học giải bài tập nói riêng là điều vô cùng cần thiết, không những phát triển được năng lực giải toán, đảm bảo thành công trong học tập mà còn hình thành ở HS những phẩm chất để thích ứng tốt với xã hội ngày càng tiến bộ.
Cách để hình thành cho HS phương pháp tự học rất phong phú, nhưng xét riêng trong phạm vi các hoạt động giải bài tập Hình học 11 thì GV có thể thực hiện các biện pháp sau đây:
1) Hình thành phương pháp tự học thông qua hoạt động tìm kiếm lời giải bài toán
a) Rèn luyện kĩ năng phân tích và khả năng xác định hướng giải bài toán
Định hướng giải bài toán là khâu rất quan trọng và cần được tiến hành xuyên suốt trong quá trình giải bài toán, bởi vì:
+ Khâu tìm được hướng giải bài Toán có ý nghĩa quyết định trong tiến trình giải toán, chất lượng giải bài toán phụ thuộc phần lớn ở khâu này.
+ Dù có nắm vững lý thuyết giải toán cũng như phương pháp thực hành, thành thạo trong các quy trình...song nếu không có hướng giải (hoặc có nhưng không thích hợp) thì chưa thể có lời giải (hoặc lời giải chưa tốt).
Quá trình giải toán gồm nhiều bước, trong đó việc tìm ra hướng giải bài toán huy động nhiều trí lực và mang tính sáng tạo nhất mà ở đó tư duy logic và phép biện chứng phối hợp chặt chẽ với logic hình thức giúp HS phát hiện những vấn đề phải giải quyết trong bài toán. Bằng việc phân tích giả thiết và kết luận của bài toán cũng như mối liên hệ giữa chúng, người GV tạo cho HS thói quen nhìn nhận một vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau. Từ đó các em áp dụng không chỉ là giải được bài toán dưới sự điều khiển của GV mà còn tự lực giải quyết các vấn đề khác trong học tập. Đồng thời, bản thân người học sẽ có sự hứng thú khi tìm kiếm được lời giải bài toán, và sự hứng thú đó là động lực giúp họ tự mình tìm kiếm những điều khác mới hơn.
Ví dụ 2.28: (Hình 2.43) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. I, J lần lượt là trung điểm của AB và C D . M, N lần lượt thuộc cạnh AD, BB' sao cho AM=BN=x. Chứng minh M, N, I, J đồng phẳng
Khi giải bài toán này, trước hết GV cho HS thực hiện các hoạt động sau
* Hoạt động tìm hiểu kết luận của bài toán:
HS cần biết bài toán yêu cầu chúng ta làm gì, tức là trả lời được câu hỏi Cái gì là chưa biết?. Chưa cần xem giả thiết có những gì, ta hãy tạo cho các em thói quen suy nghĩ xem với kết luận đó có những hướng giải quyết nào và cái
nào có thể vận dụng. Để hoạt động này hiệu quả cần tăng cường tổ chức cho học sinh phát hiện và hệ thống các phương thức giải quyết vấn đề, tạo cơ sở để định hướng quá trình huy động kiến thức liên quan.
Hướng 1: Chứng minh M, N, I, J đồng phẳng qui về chứng minh ba vectơ IM,IJ, IN
đồng phẳng (điều kiện để ba vectơ a, b, c
đồng phẳng trong đó a, b không cùng phương là tồn tại các số m, n sao cho c ma nb
)
Hướng 2: Chứng minh M, N, I, J đồng phẳng quy về chứng minh M thuộc mp (NIJ)
* Hoạt động phân tích biến đổi giả thiết của bài toán:
Quay ngược lại xem bài toán đã cho những yếu tố nào tức là trả lời câu hỏi Những cái gì đã biết? Đồng thời, tạo điều kiện phát hiện xem với những giả thiết ấy thì vận dụng với những quy trình nào để dẫn đến kết luận. Từ đó, ta phân tích xem giả thiết có những đối tượng nào, mối quan hệ giữa những đối tượng đó là gì
Bài toán đã cho:
+ ABCD.A B C D là hình lập phương: cho ta các tính chất của hình lập phương + AM=BN, M nằm trên AD, N nằm trên BB AM k.AD;BN k.BB
+ I, J là trung điểm của AB và C D : ta có IA IB 0;IC ID0
Hình 2.43
* Hoạt động tìm mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận:
A M M
L
D
J
C B K
B I
A
C
D
N
HS tiến hành phân tích xem với những thể hiện của giả thiết và những hướng giải quyết chung của kết luận thì chúng có mối liên hệ như thế nào và có thể giải quyết bài toán theo cách nào.
Hướng 1: Để chứng minh ba vectơ IM,IJ, IN
đồng phẳng, phải biểu diễn một vectơ qua hai vectơ còn lại.
BB AD a
IJ BC BB B C BN AM BN AM
BN AM x
a BN AM IB IA
x
a IN IM
x
. Do đó MN, IJ đồng phẳng.
Hướng 2: M thuộc mp (NIJ) thì MN và IJ đồng phẳng
Mặt phẳng (NIJ) cắt hình lập phương theo thiết diện NKJLM I . Ta có: NK // BC'// IJ // AD'// M 'L nênBN KC' BN C'K 1
BB' C'B
AIM C JK g.c.g C K AM 2
.
Từ (1) và (2) ta có BN AM M M .Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (NIJ) với hình lập phương đi qua M nên MN, IJ đồng phẳng.
b) Rèn luyện một số phương pháp chứng minh
Thực tế cho thấy HS thường ngại học Hình, việc giải toán trên hình vẽ gây không ít khó khăn, do vậy cần rèn luyện cho các em một số phương pháp chứng minh đặc thù sau đây:
* Phương pháp loại trừ: Là một phương pháp được sử dụng nhiều trong chứng minh toán học ( nếu có nhiều khả năng xảy ra với A thì bằng cách xét lần lượt từng khả năng một và tìm ra phương án đúng). Sử dụng phương pháp này ngoài việc rèn luyện cho HS thói quen xem xét bài toán một cách đầy đủ còn là phương pháp chứng minh rất có hiệu quả trong toán học. Chẳng hạn, ta xét ví dụ 2.28, nếu thay kết luận “M, N, I, J đồng phẳng” bởi “xét vị trí tương đối của MN và IJ” thì ta có thể chứng minh theo cách “MN, IJ chéo nhau là vô lí và
dùng phương pháp loại trừ để kết luận”. Tiếp tục như vậy, ta có thể xét xem là MN, IJ có song song, cắt nhau, vuông góc hay không
* Phương pháp chứng minh phản chứng: Ta xét điều ngược lại với kết luận và chứng minh điều đó sẽ dẫn đến một kết quả sai
Ví dụ 2.29: Xét mệnh đề: “Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b cùng vuông góc với một mặt phẳng (P) thì chúng song song với nhau”.
Ta có thể chứng minh mệnh đề này như sau: Giả sử a không song song với b, khi đó xảy ra 2 trường hợp:
+ Nếu a cắt b tại M: Như vậy, qua một điểm có 2 đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với mp (P), điều này vô lí.
+ Nếu a và b chéo nhau: Qua điểm B b ta dựng b1// a và b1 không trùng b. Khi đó ta có: b1và a cùng thuộc một mặt phẳng còn b và a không cùng thuộc một mặt phẳng. Như vậy qua điểm B có 2 đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng (P), điều này vô lí. Vậy a // b.
Như vậy, khi dùng phép chứng minh phản chứng ta thường phải dựa vào các tiên đề hoặc định lí về tính duy nhất của những đối tượng thoả mãn các điều kiện đó.
Có thể dùng phương pháp này để kiểm tra cho các dự đoán có đúng không, đây là điều cần thiết nhất là đối với phần hình học không gian. Chẳng hạn, khi nhìn vào hình vẽ các em nhầm rằng hai đường thẳng cắt nhau nhưng thực chất là không nên dẫn đến sẽ chứng minh sai. Do vậy, cần tạo cho HS thói quen kiểm tra lại xem dự đoán có đúng không bằng phương pháp phản chứng
* Phương pháp suy luận ngược: Giả sử đã chứng minh được “kết luận” từ đó suy luận ngược lại xem “giả thiết” còn thiếu cái gì từ đó suy ra yêu cầu của bài toán tương ứng phải chứng minh với điều gì. Các bước của lời giải được trình bày ngược lại với trình tự suy luận trên. Điều này sẽ tạo nên sự linh hoạt trong việc nhìn nhận những vấn đề ẩn chứa trong bài toán
Ví dụ 2.30: (Hình 2.44) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, O là giao của AC và BD. Chứng minh: SAC SBD
Bước suy luận ngược: Giả sử đã có SAC SBD phải tồn tại một đường thẳng thuộc (SAC) và vuông góc với (SBD)
Do AC cùng vuông góc với BD và SO nên ta dự đoán đó là AC
O
B C
D S
A
Hình 2.44 Hướng dẫn giải:
Do SABCD hình chóp tứ giác đều nên:
+ ABCD là hình vuông ACBD (1) + SO (ABCD) SO AC (2)
Từ (1) và (2) ta có ACABCD SAC SBD. Đối với những bài tập khó hơn cũng làm tương tự
2) Hình thành phương pháp tự học bằng cách tạo cơ hội cho học sinh tương tác trao đổi
Từ xa xưa, trong dân gian ta đã có câu “Học thầy không tày học bạn”, nói lên vai trò của việc học thông qua tương tác trao đổi. Hoạt động dạy học không chỉ diễn ra riêng lẻ giữa GV và từng HS mà điều quan trọng hơn là có cả sự tương tác giữa cá nhân HS này và các HS khác, giữa nhóm HS này và nhóm HS khác. Mối quan hệ tương tác tam giác giữa GV-HS-HS tạo nên một môi trường, một bầu không khí học tập bình đẳng, thân thiện, mọi cá nhân được bày tỏ ý kiến, cùng nhau chia sẻ quan điểm, hiểu biết. Bài học trở thành quá trình học hỏi lẫn nhau chứ không phải là sự tiếp nhận thụ động. Theo cách này, các em có có hội biểu hiện, trải nghiệm bản thân và lĩnh hội được những kinh nghiệm từ thầy,
từ các bạn một cách tự nhiên. Vưgôtxki cho rằng “Quá trình chuyển vào trong và hoạt động bên trong của đứa trẻ chỉ xảy ra trong phạm vi mối quan hệ với những người xung quanh và sự hợp tác với bạn bè; các quá trình nội tại này sẽ tạo nên những kết quả bên trong của bản thân đứa trẻ. Nhiệm vụ của người GV là làm sao để kích thích và làm thức tỉnh quá trình chuyển vào trong và hoạt động bên trong của HS với quan điểm: điều trẻ em làm cùng với nhau hôm nay, chúng sẽ tự làm được vào ngày mai.”([19; tr. 58])
Có thể tạo cơ hội cho HS tương tác trao đổi bằng cách chia thành các nhóm nhỏ thông qua các hình thức sau:
+ Thi trò chơi theo đội, chẳng hạn thi giải nhanh câu hỏi trắc nghiệm về các cách giải một số dạng toán cơ bản
+ Thi kiến thức theo đội, chẳng hạn thi giải nhanh cách xác định hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng
+ Học ghép (mỗi người, mỗi nhóm), chẳng hạn mỗi nhóm HS nghiên cứu một số phương pháp tìm thiết diện và ví dụ minh họa, sau đó ghép lại thành hệ thống phương pháp hoàn chỉnh
+ Kiểm tra theo nhóm: HS tự kiểm tra kiến thức lẫn nhau
+ Chia sẻ theo cặp: Ghép thành những “đôi bạn cùng tiến” để giúp đỡ lẫn nhau
Việc chia nhóm cần đảm bảo có cả những em khá giỏi và cả những em trung bình, yếu kém. Quá trình làm việc theo nhóm bao gồm các bước quan trọng sau
+ Phần giới thiệu chung cho cả lớp (phần này thường do GV làm) nhằm nói qua nội dung bài mới, liên hệ các kiến thức đã học và giao nhiệm vụ cho các nhóm.
+ Hoạt động của các nhóm, HS trong mỗi nhóm hợp tác với nhau, trao đổi các ý kiến nhằm giải quyết nhiệm vụ được giao và viết báo cáo.
+ Tổng kết toàn lớp, các nhóm báo cáo kết quả của mình, GV tóm tắt bài học và kết quả của mỗi nhóm, so sánh và chấm điểm quá trình thực hiện nhiệm
vụ của mỗi nhóm và kiểm tra quá trình tư duy và các giải pháp mà HS đã sử dụng để tạo ra các sản phẩm của nhóm.
Hạn chế lớn nhất của nhóm các phương pháp này là sự xuất hiện của các hành vi nổi trội của một số HS, do vậy có thể gây ra tính thụ động của một số HS khác trong nhóm nên vai trò tổ chức và điều khiển của GV là cực kì quan trọng.
Một số tình huống có thể áp dụng trong giải bài tập toán:
+ Hoàn thiện kiến thức cũ: Khi gặp bài tập khó thì GV có thể tổ chức trao đổi để thảo luận tìm ra phương án
+ Phát triển các kiến thức và kĩ năng mới của bài học: Khi cần hình thành kiến thức và kĩ năng mới, GV có thể cung cấp kiến thức tới một mức độ nhất định sau đú yờu cầu HS thảo luận để làm rừ mối quan hệ giữa cỏc kiến thức cũ và mới, giữa các kĩ năng đã có và kĩ năng cần hình thành.
+ Luyện tập thực hành, ôn tập hệ thống hóa các kiến thức đã có: Trong quá trình ôn tập sau khi HS thực hành giải bài tập thì thay cho việc chữa bài và đưa ra đáp án, GV có thể cùng HS thảo luận về những kết quả của bài làm hoặc về các cách giải khác nhau, từ đó tìm ra đáp án hay nhất.
3) Hình thành phương pháp tự học thông qua hướng dẫn học tập ở nhà
Ngay trong tiết học, GV giao nhiệm vụ học tập ở nhà cho HS với mục đích thông qua đó mà rèn luyện cho các em một số kĩ năng sau đây:
a) Kĩ năng làm việc với sách
Trước hết, GV cần làm cho HS hiểu tầm quan trọng sách giáo khoa vì đây là nguồn thông tin tập trung và có chọn lọc các giá trị cơ bản. GV có thể yêu cầu các em chuẩn bị bài học ở nhà với nội dung liên quan đến SGK. Sau tiết học cần dành thời gian để hướng dẫn HS đọc trước nội dung trong sách giáo khoa chuẩn bị cho tiết học sau. Cần hướng dẫn HS nội dung trọng tâm cần đọc, những lưu ý khi đọc, những yêu cầu về kiến thức cần phải nắm được, đồng thời lường trước
những khó khăn mà HS có thể gặp phải khi đọc mỗi nội dung để HS nghiên cứu trước.
Mặt khác, để có thể tự học tốt môn Toán cũng như các môn học khác thì ngoài việc sử dụng SGK là vấn đề quan trọng hàng đầu, HS còn phải sử dụng những cuốn sách tham khảo khác trong quá trình học tập của mình. Hiện nay, tài liệu tham khảo môn toán rất nhiều và phong phú, điều này một phần đáp ứng được nhu cầu đa dạng của đông đảo HS, nhưng lại làm cho các em hoang mang trong việc chọn lựa. Để việc đọc tài liệu tham khảo có hiệu quả, GV cần phải hướng dẫn để HS:
+ Chọn đúng tài liệu cần đọc phù hợp với năng lực của mình: Có tài liệu cơ bản bổ sung cho SGK, có tài liệu nâng cao cho HS khá, có tài liệu chuyên sâu cho HS giỏi, trong mỗi loại đó lại hướng dẫn để HS đọc những quyển nào là đủ.
+ Chọn được các tài liệu tham khảo sao cho vừa đảm bảo được chiều sâu, vừa đảm bảo được chiều rộng khi nghiên cứu
GV cần hướng dẫn HS một số quy trình đơn giản về kỹ năng đọc sách bắt đầu từ việc làm quen với họ tên tác giả, tên sách, sau đó đọc mục lục rồi đọc lời nói đầu, lướt qua cuốn sách, rồi đọc kỹ tóm tắt nội dung, ghi lại những điều lý thú, nêu câu hỏi và đề xuất những ý mới trong quá trình đọc, tìm trọng điểm, ghi lại những chỗ khó, chưa hiểu, kết hợp làm một số bài tập.
b) Kĩ năng sử dụng môi trường đa phương tiện, công nghệ truyền thông Sự bùng nổ công nghệ thông tin trong những năm gần đây đã tạo cơ hội cho HS thu nhận kiến thức theo nhiều nguồn, đây cũng có thể xem như là sách tham khảo dạng mở nhưng nếu không biết sử dụng hợp lí cũng sẽ dẫn đến quá tải. Do vậy, GV cũng cần có hướng dẫn để các em sử dụng một cách có hiệu quả.
Một số tình huống mà có thể áp dụng trong giải bài tập:
+ Sử dụng các phần mềm cho toán học như Cabri3D, GeoGebra, Maple,…hỗ trợ trong việc dự đoán tìm phương án giải quyết bài toán