Xạ thủ 1: Điểm (X) 96 97 98 99 100 Xỏc suất (P) 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1 Xạ thủ 2: Điểm (Y) 96 97 98 99 100 Xỏc suất (P) 0,0 0,3 0,4 0,2 0,1
a) Xạ thủ nào cú điểm trung bỡnh cao hơn.
b) Tớnh phương sai của cỏc biến ngẫu nhiờn X và Y. Nếu phải chọn một trong hai xạ thủ để đi thi đấu thỡ nờn chọn ai? Vỡ sao?
(Nguồn: Bài giảng của tỏc giả) 2.2.2. Biện phỏp 2: Tăng cường dạy học từ cỏc bài toỏn thực cú lời giải sai lầm hoặc chưa đầy đủ
Dạy học qua cỏc bài toỏn cú lời giải sai lầm hoặc chưa đầy đủ khụng là điều mới mẻ trong học hiện đại, đặc biệt là trong dạy học giải quyết vấn đề.
Trong luận ỏn “Rốn luyện năng lực giải toỏn cho học sinh phổ thụng trung học thụng qua việc phõn tớch và sửa chữa cỏc sai lầm của học sinh khi giải toỏn”, tỏc giả Lờ Thống Nhất đó nờu quan điểm:
Phương phỏp dạy học giải quyết vấn đề dựa trờn tỡnh huống cú vấn đề. Khi học sinh mắc sai lầm ở lời giải là xuất hiện những tỡnh huống cú vấn đề, khụng phải giỏo viờn tự ý đề ra mà tự nú nảy sinh từ lụgic bờn trong của việc giải toỏn. Sai lầm của học sinh tạo ra mõu thuẫn và mõu thuẫn này chớnh là động lực thỳc đẩy quỏ trỡnh nhận thức của học sinh. Sai lầm của học sinh làm nảy sinh nhu cầu cho tư duy mà tư duy sỏng tạo luụn bắt đầu bằng tỡnh huống gợi vấn đề.
Sai lầm của học sinh xuất hiện thỡ sẽ khờu gợi được hoạt động học tập mà học sinh sẽ được hướng đớch, gợi động cơ để tỡm ra sai lầm và đi tới lời giải đỳng. Tỡm ra cỏi sai của mỡnh hay của người khỏc đều là sự khỏm phỏ. Từ sự khỏm phỏ này, học sinh chiếm lĩnh được kiến thức một cỏch trọn vẹn hơn. Tuy nhiờn cần gõy cho học sinh niềm tin là bản thõn mỡnh cú thể tỡm ra được sai lầm trong một lời giải nào đú. Học sinh cú thể tự suy nghĩ hoặc trao đổi để tỡm ra sai lầm”[10, tr. 80].
Trờn thế giới nhiều nhà khoa học cũng đó nghiờn cứu vấn đề này. Chẳng hạn , I. A. Komensky, nhà văn, nhà giỏo dục người Cộng hũa Sộc cho rằng: “Bất kỡ một sai lầm nào cũng cú thể làm cho học sinh kộm đi nếu như giỏo viờn khụng chỳ ý ngay tới sai lầm đú bằng cỏch hướng dẫn học sinh tự nhận ra và sửa chữa, khắc phục sai lầm”. A. A. Stoliar nhấn mạnh: “Khụng tiếc thời gian để phõn tớch trờn giờ học cỏc sai lầm của học sinh”. G. Polya đó viết: “Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sút của mỡnh”… [10, tr. 5].
Suy cho cựng, bất cứ ai cũng cú thể mắc những sai lầm trong hoạt động học tập cũng như những hoạt động xó hội khỏc. Những bài học kinh nghiệm từ sai lầm hay thiếu sút là những bài học thấm thớa và sõu sắc, từ đú con người hỡnh thành và phỏt triển kĩ năng trỏnh sai lầm và năng lực giải quyết vấn đề
Cỏc bài toỏn cú lời giải sai lầm hoặc chưa đầy đủ cú thể nảy sinh trong
quỏ trỡnh hoạt động Toỏn của học sinh cú thể gọi là những sai lầm chủ quan
đối với học sinh. Ngoài ra giỏo viờn cũng cú thể đưa ra những bài toỏn cú lời
giải sẵn trong đú cú chứa đựng sai lầm hay thiếu sút và gọi là những sai lầm
khỏch quan đối với học sinh.
Nội dung biện phỏp 2: Trong quỏ trỡnh dạy học cỏc bài toỏn thực, giỏo
viờn tăng cường đưa ra những tỡnh huống bài toỏn thực mắc sai lầm chủ quan cũng như khỏch quan, từ đú học sinh tự phỏt hiện hoặc phỏt hiện dưới sự trợ giỳp của giỏo viờn và khắc phục sai lầm, thiếu sút, gúp phần nõng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh.
Một số lưu ý:
Đối với sai lầm chủ quan, giỏo viờn cần đưa ra những bài toỏn thực mà cú thể dự bỏo được sai lầm của học sinh. Cần cú thỏi độ bỡnh tĩnh khi học sinh mắc sai lầm. Khụng nờn quy kết lỗi lầm cho học sinh mà thấy được đú là cơ hội để giỏo dục học sinh.
Giỏo viờn cần phỏt hiện kịp thời khi học sinh mắc sai lầm để cú phương ỏn cho học sinh phỏt hiện và sửa chữa sai lầm. Trỏnh tỡnh trạng sai lầm liờn tiếp kộo theo.
Đối với sai lầm khỏch quan, giỏo viờn thiết kế những tỡnh huống bài toỏn thực cú lời giải sai nhưng “cú vẻ như đỳng” đối với những học sinh nhỡn nhận phiến diện, chưa suy xột kĩ càng. Cú thể đưa ra bài toỏn thực cú nhiều lời giải cả đỳng và sai, hoặc những cõu hỏi trắc nghiệm khỏch quan.
Sau đõy là một số vớ dụ về tỡnh huống bài toỏn thực sai lầm chủ quan: Sai lầm do học sinh khụng hiểu hoặc hiểu sai cỏc định nghĩa, định lớ toỏn học.
Vớ dụ 2.13. Gieo lần lượt hai con sỳc sắc cõn đối đồng chất. Gọi A là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện là số nhỏ hơn 5”.
a) Mụ tả khụng gian mẫu. Tỡm số phần tử của khụng gian mẫu.
b) Liệt kờ cỏc kết quả thuận lợi cho biến cố A. Tớnh xỏc suất của biến cố A.
Hỡnh 2.7. Hai con sỳc sắc
Trong vớ dụ trờn, giỏo viờn đưa biến cố A vào ngay đề bài để tạo ra một cỏi “bẫy” mà học sinh cú thể mắc sai lầm. Đú là sự nhầm lẫn về khụng gian mẫu. Giỏo viờn cú thể sự bỏo một số học sinh đưa ra khụng gian mẫu là
2;3;...;12
gồm 11 phần tử. Để giỳp học sinh phỏt hiện ra sai lầm của mỡnh, giỏo viờn cú thể dựng cỏc cõu hỏi gợi ý như:
Hoạt động của giỏo viờn Hoạt động của học sinh Đặt cỏc cõu hỏi:
Mỗi lần thực hiện một phộp thử ta phải thực hiện bao nhiờu cụng đoạn?
Em cú liờn hệ với quy tắc nào đó học?
Hóy đối chiếu với khỏi niệm khụng gian mẫu xem cú phự hợp khụng?
Học sinh phỏt hiện thực hiện hai cụng đoạn.
Học sinh liờn hệ đến quy tắc nhõn. Học sinh xem lại khỏi niệm khụng gian mẫu, phỏt hiện và sửa chữa sai lầm.
Giỏo viờn cần phỏt hiện kịp thời sai lầm của học sinh, gợi ý để học sinh sửa chữa sai lầm. Nếu khụng, học sinh sẽ tiếp tục mắc sai lầm ở những cõu hỏi tiếp theo.
Sai lầm trong quỏ trỡnh khỏi quỏt húa.
Vớ dụ 2.14. Một thầy giỏo cú 2 đề thi khỏc nhau và muốn phõn cụng 10 học sinh thành 2 nhúm, một nhúm làm đề số 1, nhúm cũn lại làm đề số 2. Hỏi thầy giỏo cú bao nhiờu cỏch phõn cụng nếu:
b) Một nhúm 4 học sinh nhúm kia 6 học sinh c) Mỗi nhúm 5 học sinh.
Ở vớ dụ này học sinh cú thể giải bài toỏn a) như sau: Bước 1: Phõn 10 học sinh thành hai nhúm theo đề bài. Cú C cỏch phõn 3 trong 10 học sinh vào một nhúm. 103
Với mỗi cỏch phõn như vậy cúC phõn 7 học sinh cũn lại vào nhúm kia. 77
Vậy cú tất cả C C103. 77 cỏch phõn 10 học sinh thành hai nhúm theo đề bài. Bước 2: Hai nhúm trờn cú thể hoỏn vị cho nhau nờn cú P cỏch. 2
Vậy cú tất cả C C P103. 77. 2 cỏch.
Cỏch giải trờn là hoàn toàn đỳng và dự đoỏn rằng bằng cỏch lập luận tương tự, học sinh cho đỏp sụ của phần b) là C C P và của phần c) là 104. 66. 2
5 5
10. 5. 2
C C P .
Tuy nhiờn, trong quỏ trỡnh khỏi quỏt húa học sinh đó mắc sai lầm là hai nhúm ở cõu c) cú số lượng bằng nhau nờn sự hoỏn vị khụng đúng vai trũ gỡ. Để minh họa nhằm cho học sinh phỏt hiện và sửa chữa sai lầm, giỏo viờn cú thể lấy trường hợp đơn giản như cú hai học sinh và hai đề. Kết quả số cỏch phõn cụng chỉ là 2.
Sai lầm trong quỏ trỡnh tương tự húa (xem xột tương tự). Vớ dụ 2.15. Trở lại vớ dụ 2.12 a) ta xột bài toỏn sau:
Một tổ cú 10 học sinh. Thầy giỏo chủ nhiệm phõn thành 2 nhúm để đi chỳc mừng hai thầy cụ giỏo bụn mụn Văn và Toỏn nhõn dịp ngày 20-11, nhúm thứ nhất gồm 7 học sinh đi chỳc mừng cụ dạy Văn, nhúm thứ hai gồm 3 học sinh đi chỳc mừng thầy dạy Toỏn. Hỏi thầy giỏo chủ nhiệm cú tối đa bao nhiờu cỏch phõn cụng như thế.
Thoạt tiờn, bài toỏn này cú vẻ chẳng khỏc bài toỏn ở vớ dụ 2.12. Học sinh dự đoỏn cỏch giải và kết quả tương tự như nhau. Tuy nhiờn nếu xem xột kĩ thỡ sai lầm sẽ được phỏt hiện ở ý nghĩa biểu thức P2, nú là sự hoỏn vị cỏc
nhúm. Trong trường hợp này bài toỏn ở vớ dụ 2.12. cỏc nhúm cú thể đổi chỗ, nhưng bài toỏn ở vớ dụ 2.13 cỏc nhúm khụng thể đổi chỗ được.
Sai lầm khi lật ngược vấn đề.
Vớ dụ. 2.16. Một người tổ chức một bữa tiệc và mời thờm 5 người bạn nữa (như vậy cú tất cả 6 người dự tiệc) và trong số này cú hai người bạn rất thõn. Hỏi cú bao nhiờu cỏch xếp 6 người này vào một bàn hỡnh chữ U với 8 cỏi ghế sao cho hai người bạn rất thõn đú ngồi cạnh nhau.
Học sinh cú thể giải bài toỏn này như sau:
Bước 1: Coi hai người bạn thõn đú là một “phần tử ghộp”, cú tất cả 7 cỏch xếp “phần tử ghộp” này. Nhưng hai người cú thể hoỏn vị cho nhau. Vậy cú tất cả 7.P2 cỏch xếp sao cho hai người bạn thõn ngồi cạnh nhau.
Bước 2: Xếp 4 người cũn lại vào 6 ghế cũn lại cú tất cả A46 cỏch. Vậy cú tất cả 7.P . 2 A cỏch xếp thỏa món yờu cầu. 46
Trước đú học sinh đó biết rằng việc xếp người vào ghế và gỏn ghế cho người là như nhau. Vậy ta lật ngược bài toỏn như sau: “Cú bao nhiờu cỏch xếp 8 người vào 6 cỏi ghế sao cho cú hai người bạn thõn và hai người này ngồi cạnh nhau (sau khi xếp xong thỡ hai người khụng được xếp sẽ bị loại ra khỏi bàn này).
Nếu học sinh hấp tấp sẽ cho ngay kết quả như bài toỏn trờn. Tuy nhiờn sai lầm sẽ xảy ra nếu học sinh khụng nghiờn cứu kĩ điều kiện là hai người bạn thõn phải cú mặt trong bàn này.
Thiếu sút khi chưa xột đủ cỏc điều kiện, chưa xột đủ cỏc trường hợp. Vớ dụ 2.17. Cho hai đường thẳng d và d’. Trờn d lấy điểm A và trờn d’ lấy 30 điểm phõn biệt.
a) Hỏi cú thể vẽ được tối đa bao nhiờu tam giỏc mà ba đỉnh là ba điểm trong cỏc điểm trờn.
b) Trờn d lấy thờm điểm B, hỏi cú thể vẽ được tối đa bao nhiờu tam giỏc mà ba đỉnh là ba điểm trong cỏc điểm trờn.
Phần a) học sinh cú thể giải được một cỏch dễ dàng. Tuy nhiờn trong phần b) học sinh cú thể bỏ sút trường hợp tam giỏc được tạo thành từ hai đỉnh A, B và một đỉnh nằm trờn đường thẳng d’. Nếu sai lầm đú xảy ra, giỏo viờn cần gợi ý để học sinh phỏt hiện và sửa chữa kịp thời.
Một số vớ dụ về sai lầm khỏch quan (sai lầm trong lời giải mà giỏo viờn đưa ra).
Vớ dụ 2.18. Một tổ cú 10 học sinh, trong đú cú 6 học sinh nữ. Cần chọn ra 4 học sinh để thành lập đội văn nghệ sao cho cú ớt nhất 2 học sinh nữ. Hỏi cú tối đa bao nhiờu cỏch chọn.
Sau đõy là hai lời giải cú kết quả khỏc nhau của hai bạn An, Bỡnh. Lời giải của An:
Vỡ ớt nhất cú 2 học sinh nữ nờn ta cú cỏc trường hợp sau: Trường hợp 1. Chọn 4 học sinh nữ cú C cỏch chọn. 64
Trường hợp 2. Chọn 3 học sinh nữ và 1 học sinh nam cú C C cỏch chọn 63. 14 Trường hợp 3. Chọn 2 học sinh nữ và 2 học sinh nam cú C C cỏch chọn. 62. 42
Theo quy tắc cộng, cú tất cả C64C C63. 14C C62. 42 185 cỏch chọn. Lời giải của Bỡnh:
Bước 1: Chọn 2 học sinh nữ, cú tất cả C cỏch chọn. 62
Bước 2: Chọn 1 học sinh bất kỳ trong 8 học sinh cũn lại, cú C cỏch chọn. 81
Vậy theo quy tắc nhõn, cú tất cả C C62. 81240 cỏch chọn.
Trong hai lời giải trờn, cú ớt nhất một lời giải sai lầm. Giỏo viờn tổ chức cho học sinh nghiờn cứu kĩ cỏc chiến lược giải trờn. Sau khi phỏt hiện sai lầm, học sinh cần đỏnh giỏ, tỡm hiểu nguyờn nhõn dẫn đến sai lầm, rỳt kinh nghiệm sõu sắc. Khụng chủ quan với những lời giải ngắn gọn và “cú vẻ hợp lớ” trong lời giải của Bỡnh. Qua đú học sinh học được tớnh suy xột kĩ càng, trỏnh những suy luận cảm tớnh, từ đú nõng cao năng lực đặt chiến lược giải bài toỏn.
Trong cỏc cõu hỏi trắc nghiệm khỏch quan nhiều lựa chọn, mỗi cõu cú nhiều đỏp ỏn nhưng chỉ cú một đỏp ỏn đỳng, cỏc phương ỏn khỏc là những phương ỏn gõy nhiễu mà bản thõn nú là những kết luận sai lầm. Như vậy chứa đựng bờn trong cỏc cõu hỏi trắc nghiệm khỏch quan rất nhiều sai lầm, đõy là những sai lầm do người dạy tạo ra, là những sai lầm khỏch quan đối với học sinh.
Bờn cạnh những nhược điểm của cõu hỏi trắc nghiệm khỏch quan như khụng rốn được kĩ năng lập luận, diễn đạt của học sinh, hay học sinh khụng hiểu, khụng biết làm nhưng vẫn cú thể chọn đỏp ỏn đỳng… thỡ cú một ưu điểm mà đú đem lại, đú là sự kớch thớch tư duy, nhận biết sai lầm, tỡm hiểu nguyờn nhõn một số sự việc, tỡm hiểu tương quan nhõn – quả… Gúp phần nõng cao năng lực đỏnh giỏ quỏ trỡnh giải bài toỏn.
Vớ dụ 2.19. Xột cõu hỏi trắc nghiệm khỏch quan sau:
Một lụ 10 sản phẩm trong đú cú 4 sản phẩm loại I và 6 sản phẩm loại II. Lấy ngẫu nhiờn 4 sản phẩm, gọi M là biến cố “Cú đỳng 2 sản phẩm loại I được lấy”. Xỏc suất của biến cố M là:
A. 0 B. 2 2 4 6 4 10 C C C C. 2 2 4 6 4 10 . C C C D. 1
Sự tư duy của học sinh cú thể thể hiện ở chỗ họ biết loại trừ đi cỏc phương ỏn A và D, tức là cỏc sai lầm đó được nhận diện. Việc sử dụng cỏc kớ hiệu về số tổ hợp, cỏc phộp toỏn cộng, nhõn giỳp học sinh xỏc định được chiến lược của mỗi lời giải, từ đú nhận ra được đõu là kết luận đỳng.
Cỏc vớ dụ sau cũng cú thể được phõn tớch tương tự.
Vớ dụ 2.20. Một đoàn tàu cú 2 toa chở khỏch đỗ ở sõn ga. Cú 3 hành khỏch bước lờn tàu. Hỏi cú bao nhiờu trường hợp cú thể xảy ra về cỏch chọn toa của 3 hành khỏch sao cho mỗi toa cú ớt nhất một người.
A/ 32 B/ 23 C/ A32 D/ C32
Vớ dụ 2.21. Cú bao nhiờu số tự nhiờn gồm 5 chữ số sao cho hai chữ số đứng cạnh nhau thỡ khỏc nhau.
Vớ dụ 2.22. Trong khụng gian cho 13 cặp điểm một điểm màu xanh và một điểm màu đỏ. Nối cỏc điểm màu xanh với nhau và mỗi điểm màu xanh nối với cỏc điểm màu đỏ trừ điểm cựng cặp. Hỏi cú bao nhiờu đoạn thẳng.
A/ 2 2 26 13 C C B/ 2 2 26 13 13 C C C/ 2 13 2.A 13 D/ 2 2 26 13 13 A A
Vớ dụ 2.23. Gieo đồng thời hai con sỳc sắc cõn đối đồng chất, mỗi con cú 6 mặt được ghi từ 1 đến 6 chấm. Khi đú số phần tử của khụng gian mẫu là:
A/ 11 B/ 12 C/ 36 D/ 46656
2.2.3. Biện phỏp 3: Tổ chức cho học sinh đỏnh giỏ kết quả, đỏnh giỏ quỏ trỡnh giải toỏn thực và mở rộng khai thỏc ý nghĩa bài toỏn thực trỡnh giải toỏn thực và mở rộng khai thỏc ý nghĩa bài toỏn thực