đó biết, cỏi gỡ chƣa biết nhằm nhỡn ra hƣớng giải bài toỏn.
Muốn cú đƣợc lời giải một bài toỏn ta cần hiểu nội dung bài toỏn, phải hiểu rừ bài toỏn yờu cầu gỡ. Trả lời đƣợc cõu hỏi: “ khai thỏc được những gỡ từ
những yếu tố đó biết?” chớnh là đó phõn tớch và chọn lọc đƣợc cỏc kiến thức
liờn quan tới giả thiết của bài toỏn. Cần tỡm mối quan hệ giữa yếu tố đó biết và yếu tố chƣa biết thụng qua kiến thức đó học. Trong kho tàng kiến thức đó học ta khụng dễ dàng gỡ chỉ ra đƣợc những phần kiến thức liờn quan tới bài toỏn cần tỡm lời giải, vỡ vậy cần phải phõn tớch từng chi tiết cụ thể mà bài toỏn cho biết và những chi tiết mà bài toỏn yờu cầu nhằm thụng qua đú chọn ra những mảng kiến thức liờn quan. Và chỉ cú hiểu rừ yờu cầu của bài toỏn rồi mới cú thể phõn tớch, chon lọc đƣợc những mảng kiến thức liờn quan đƣợc vận dụng. Vớ dụ, nếu bài toỏn là chứng minh một bài toỏn hỡnh học thỡ ngƣời ta chỳ ý hƣớng tới một hỡnh vẽ và vận dụng cỏc định lý liờn quan tới phộp chứng minh nhƣ những phộp suy luận để hƣớng tới đớch, nếu bài toỏn là giải phƣơng trỡnh thỡ ngƣời ta sẽ chỳ ý hƣớng tới cỏc phộp biến đổi tƣơng đƣơng hoặc đƣa về phƣơng trỡnh hệ quả để giải phƣơng trỡnh…Ngƣời học sinh cú thể hết sức mự mờ, khụng biết phõn tớch kiến thức nào liờn quan tới bài toỏn, nờn khụng chọn lọc đƣợc cụng thức hay định lý nào sẽ vận dụng để giải bài toỏn và cuối cựng là học sinh này sẽ làm gỡ, ngồi chơi phỏ rối chăng? Vai trũ ngƣời thầy lỳc này hết sức quan trọng, cần giao việc phự hợp, vừa sức cho học sinh, và nhất thiết phải giỳp đỡ học sinh. Cần đặt những cõu hỏi gợi mở để cuốn học sinh đú vào cựng phõn tớch để tỡm ra lời giải, động viờn ngay khi học sinh đú làm đƣợc gỡ đú dự rất nhỏ, hoặc học sinh đú đó rất cố gắng để trả lời đƣợc một cõu hỏi dự là rất dễ. Giỳp đỡ học sinh khụng phải là một việc dễ dàng, nú đũi hỏi ngƣời thầy phải cú lũng tận tõm, cú kinh nghiệm và thời gian.
Theo G. Polya, ngƣời học sinh với sự nỗ lực của bản thõn phải thu đƣợc càng nhiều càng tốt những kinh nghiệm độc lập làm bài. Nhƣng nếu HS đú một mỡnh đứng trƣớc một bài toỏn mà khụng cú sự giỳp đỡ nào, hay với một sự giỳp đỡ quỏ ớt, thỡ khụng cú gỡ tiến bộ đƣợc. Mặt khỏc nếu thầy giỏo giỳp đỡ quỏ nhiều thỡ học sinh sẽ chẳng cũn gỡ để làm. Thầy giỏo phải giỳp đỡ một cỏch vừa phải, khụng quỏ nhiều, cũng khụng ớt quỏ, và nhƣ vậy để lại cho học sinh một phần cụng việc hợp lý[22, tr.13]
Từ lỳc ta hiểu bài toỏn, phõn tớch và chọn lọc kiến thức liờn quan để đề ra đƣợc một hƣớng giải bài toỏn con đƣờng cú thể dài và mất nhiều thời gian. Mà bƣớc cơ bản trong giải toỏn là đề ra đƣợc cỏi hƣớng giải đú. í này cú thể hỡnh thành dần dần, hoặc là sau những lần thử mà vẫn chƣa đi tới kết quả và những do dự kộo dài, bỗng nhiờn HS cú đƣợc một sỏng kiến, cỏch tốt nhất là ngƣời thầy dẫn dắt hƣớng cho HS cú đƣợc sỏng kiến đú một cỏch khụng gũ bú. Những cõu hỏi ngƣời thầy đặt ra luụn phải nhằm mục đớch khơi gợi đƣợc sỏng kiến của trũ, kớch thớch đƣợc sự ham thớch học của trũ. Ngƣời thầy cần phải đặt mỡnh ở địa vị của trũ, phải nghĩ tới những kinh nghiệm của bản thõn mỡnh, nhớ lại những khú khăn và những thành cụng của bản thõn mỡnh trong việc giải cỏc bài toỏn và phải hiểu biết trỡnh độ của đối tƣợng mỡnh dạy[22, tr.22]. Một cố gắng đơn thuần của trớ nhớ khụng đủ để làm nảy sinh ra hƣớng giải bài toỏn, nhƣng cũng khụng thể nhỡn ra hƣớng giải một bài toỏn mà khụng nhớ tới thu thập những phần kiến thức liờn quan. Chỉ với riờng vật liệu khụng thể làm đƣợc một cỏi nhà, nhƣng khụng thể làm một cỏi nhà mà khụng thu thập những vật liệu cần thiết. Những vật liệu cần thiết cho việc giải một bài toỏn toỏn học là một số chi tiết đặc biệt của những kiến thức đó cú từ trƣớc nhƣ những bài toỏn đó giải, những định lý đó chứng minh. Vỡ thế cõu hỏi mà ngƣời thầy đặt ra rất thớch đỏng là: Em đó gặp bài toỏn nào tương tự chưa?Em khai thỏc được gỡ
từ giả thiết? Em đó sử dụng hết cỏc yếu tố đó biết trong giả thiết chưa? Nếu
trọn vẹn, chọn lọc đỳng những kiến thức sẽ sử dụng và cú thể giỳp cho quỏ trỡnh nhỡn ra hƣớng giải bài toỏn nhanh hơn [22, tr. 23].
1.2.3.3. Trỡnh bày lời giải một bài toỏn
Thƣờng thỡ học sinh tỏ ra rất thớch thỳ khi phỏt hiện đƣợc lời giải một bài toỏn, cậu ta dƣờng nhƣ rất sung sƣớng vỡ coi nhƣ thế đó là xong. Nhƣng thực tế khụng kiểm tra, xem xột lại lời giải đú lại chớnh là nhƣợc điểm lớn nhất là của học trũ. Trong quỏ trỡnh thực hiện lời giải cú thể cũn gặp những khú khăn ngoài sự phõn tớch, hoặc cũn cú những nhầm lẫn trong tớnh toỏn…nờn nếu khụng giải thực sự hoặc khụng kiểm tra lại lời giải thỡ xem nhƣ bài toỏn vẫn chƣa đƣợc giải. Rừ ràng nếu anh cú hƣớng giải, nhƣng trong quỏ trỡnh thực hiện lời giải anh tớnh toỏn nhầm lẫn sẽ dẫn tới sai lệch kết quả. Cũng cú thể anh biết giải một bài toỏn lớn nhƣng trong quỏ trỡnh thực hiện sẽ cũn gặp những bài toỏn phụ mà anh khụng thực hiện đƣợc nờn nếu khụng bắt tay vào trỡnh bày lời giải thực sự thỡ anh khụng thể phỏt hiện ra bài toỏn phụ đú. Đọc hiểu đƣợc bài toỏn, phõn tớch, chọn lọc kiến thức liờn quan nhằm nhỡn ra hƣớng giải bài toỏn sẽ giỳp chỳng ta biết trỡnh bày lời giải. Nhƣng vấn đề ở chỗ khụng phải HS nào cũng biết cỏch trỡnh bày lời giải, cú những HS hiểu bài toỏn rồi, biết cỏch giải rồi, nhƣng chỉ vỡ nhầm một tớnh toỏn nhỏ hay một suy luận sai cũng dẫn tới kết quả sai lệch và mọi cụng sức coi nhƣ đó bỏ đi, vậy ngƣời thầy cần giỳp đỡ những HS đú nhƣ thế nào? Yờu cầu HS đú tự viết ra những ý vừa phõn tớch, sắp xếp lại theo một trỡnh tự theo hƣớng dẫn của thầy, viết lại những cụng thức hay những định lý sẽ vận dụng, tự tỡm ra chỗ sai lầm và tự sửa chữa lại dƣới sự giỏm sỏt chặt chẽ của giỏo viờn. Cú rất nhiều nguyờn nhõn làm HS khụng cú lời giải đỳng, trong đú nguyờn nhõn chủ yếu dẫn tới lời giải sai là do nhầm lẫn trong tớnh toỏn, cũn nguyờn nhõn khỏc là chƣa hiểu bài toỏn, chƣa thấm bài toỏn, chƣa biết cỏch vận dụng cụng thức hay định lý vào để trỡnh bày lời giải, suy luận chƣa đỳng chƣa hợp logic…Cú điều HS đú cú thực sự chăm chỳ vào sự hƣớng dẫn của giỏo viờn hay khụng? Cú nhớ dạng bài tƣơng tự đó gặp hay khụng? Cú ham thớch vui sƣớng khi tự mỡnh làm đƣợc hay
khụng? Những điều đú hoàn toàn phụ thuộc vào quỏ trỡnh giảng dạy của thầy cú cuốn hỳt đƣợc trũ hay khụng? Nếu bản thõn học trũ chăm chỳ và cú ý thức tự mỡnh tỡm ra chỗ trỡnh bày sai để sửa thỡ sẽ in đậm trong trớ nhớ của cậu ta và cú lẽ cậu học trũ ấy khú mà mắc lại sai lầm ấy lần khỏc nữa. Nhƣng nếu ỉ lại trụng chờ vào sự giỳp đỡ thỡ chắc chắn lần sau cậu ta khụng làm đƣợc gỡ cả, vỡ vậy ngƣời thầy cần giỳp học trũ tự phỏt hiện thấy chỗ sai của mỡnh thụng qua những cõu hỏi hƣớng cho HS tự tỡm thấy sai lầm đó mắc phải, đồng thời tự khắc phục sai lầm, tự sửa chữa sai lầm cho nhau. Cần thiết phải đi dần từ việc dễ đến việc mỗi lỳc một khú hơn để HS làm đƣợc ngày càng nhiều việc hơn. Hƣớng tới mục tiờu HS trỡnh bày đỳng đƣợc lời giải.
Khi trỡnh bày lời giải một bài toỏn cần bắt đầu từ đõu? Theo G.Polya thỡ hóy bắt đầu từ những ý chớnh và đó cảm thấy tự mỡnh cú khả năng phõn tớch đƣợc mọi chi tiết cú thể cần đến. Rồi thực hiện một cỏch chi tiết những phộp tớnh đại số hay hỡnh học mà đó gặp trƣớc đõy. Kiểm tra lại mỗi bƣớc bằng những suy luận logic hay bằng trực giỏc. Nếu bài toỏn quỏ phức tạp thỡ cú thể chia thành những bƣớc “lớn” và những bƣớc “nhỏ” . Trƣớc hết xột những bƣớc lớn rồi tiếp đến những bƣớc nhỏ. Làm nhƣ vậy ta đó trỡnh bày một cỏch giải trong đú mỗi bƣớc cú đƣợc chắc chắn là đỳng, [22, tr. 52] . GV cũng cần hƣớng dẫn HS hiểu kỹ về yờu cầu của một lời giải tốt[21](đƣợc trỡnh bày ở chƣơng 2).
1.2.3.4. Nghiờn cứu sõu lời giải bài toỏn
Trỡnh bày xong lời giải là xong khõu cần thiết trong quỏ trỡnh giải toỏn, tuy nhiờn nếu lỳc này anh vui sƣúng quỏ mà gấp sỏch lại ngay sẽ thật lóng phớ cụng sức của mỡnh, vỡ nếu trong quỏ trỡnh thực hiện lời giải mà anh cú một sự nhầm lẫn nào đú thỡ coi nhƣ mọi cụng sức của anh đó bị bỏ đi do kết quả của bài toỏn bị sai lệch. Do đú sau khi đó trỡnh bày xong lời giải một bài toỏn bao giờ cũng phải nhỡn lại, kiểm tra lại lời giải của mỡnh. Và phải kiểm tra lại mới thấy đƣợc:
Lời giải đó đầy đủ chƣa?
Lời giải đó thực sự ngắn gọn chƣa? Liệu cú cũn cỏch giải nào khỏc khụng?
Sự liờn quan với nhau hay sự phụ thuộc lẫn nhau của cỏc bài toỏn
Học sinh cú thể trỏnh đƣợc những sai lầm bằng cỏch thử lại từng bƣớc khi thực hiện quỏ trỡnh giải.
Vậy học sinh phải bắt đầu từ đõu? Học sinh cú thể làm gỡ và làm nhƣ vậy đƣợc lợi gỡ? Theo G,Polya thỡ cần phải bắt đầu với cỏch giải đầy đủ và đỳng trong mọi chi tiết. Hóy xột những chi tiết của cỏch giải và cố làm cho chỳng thật đơn giản, chỳ ý tới những phần lớn trong cỏch giải và thử làm cho chỳng đƣợc gọn hơn, cố gắng nhỡn bao quỏt toàn bộ bài toỏn. Cố gắng hoàn thiện những phần nhỏ và những phần lớn trong cỏch giải và cuối cựng tỡm cỏch hoàn thiện toàn bộ cỏch giải làm cho cỏch giải đầy đủ, chớnh xỏc, ngắn gọn, sỏng sủa. Hóy xột kỹ lƣỡng phƣơng phỏp đó theo và kết quả của bài toỏn để cú thể mang ỏp dụng vào những bài toỏn khỏc[23, tr.52]. Làm nhƣ vậy ta cú thể tỡm thấy một cỏch giải khỏc tốt hơn, phỏt hiện ra những sự kiện mới và bổ ớch đặc biệt là trỏnh đƣợc những nhầm lẫn. Nếu tạo cho mỡnh đƣợc thúi quen kiểm tra lại lời giải sẽ hệ thống lại đƣợc kiến thức toỏn, sẵn sàng đem ứng dụng thực hành vào giải bài tập tƣơng tự, mới rốn luyện đƣợc năng lực giải toỏn của bản thõn, phỏt triển khả năng giải cỏc bài toỏn khỏc.
Nhƣ vậy, giải một bài toỏn là một nghệ thuật do thực hành mà cú. Khi giải cỏc bài toỏn cũng phải quan sỏt và bắt chƣớc những cỏi mà ngƣời khỏc đó làm và cuối cựng thỡ nắm đƣợc nghệ thuật đú bằng cỏch làm những bài tập. Thầy giỏo muốn phỏt triển khả năng giải cỏc bài toỏn của học sinh thỡ phải khiến cho họ thớch thỳ những bài toỏn và đảm bảo cho họ thật nhiều điều kiện học hỏi và thực hành[22, tr. 17].
Túm lại. Bốn bƣớc trờn cú quan hệ biện chứng với nhau, khụng thể thiếu nhau trong quỏ trỡnh giải toỏn. Bốn bƣớc giải toỏn đú đƣợc ỏp dụng cho tất cả cỏc bài toỏn đang xột. Chỳng gúp phần rốn luyện năng lực giải toỏn cho học
sinh, tạo tiền đề phỏt triển những khả năng giải toỏn của học sinh chứ khụng phải chỉ một kỹ xảo riờng biệt nào đú.