tỡm hướng giải bài toỏn:
Muốn giải 1 bài toỏn, trƣớc tiờn cần phõn tớch để hiểu đƣợc bài toỏn vỡ chƣa hiểu bài toỏn dẫn đến định hƣớng giải lệch lạc, vận dụng sai kiến thức và khụng cú kết quả. Trong thực tế giảng dạy bộ mụn Toỏn cú nhiều cỏch hƣớng dẫn HS tỡm hiểu bài toỏn. Sau đõy là những vớ dụ tỡnh huống dạy học hợp tỏc nhằm hƣớng dẫn HS tỡm hiểu bài toỏn.
Vớ dụ 1: Hƣớng dẫn HS lớp 10 tỡm hiểu về giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm
số bậc hai trờn khoảng cho trƣớc.
a) Phiếu học tập: Em cú nhận xột gỡ về sự giống nhau và khỏc nhau giữa cỏc bài tập sau:
BT1: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của hàm số: y = x2 - 2x – 3
BT2: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của hàm số y = x2 - 2x - 3 trờn ( - ∞; -2] BT3: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của hàm số y = x2 - 2x - 3 trờn ( - ∞; 2)
BT4: Tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = x2 - 2x - 3 trờn ( - 2; 2] BT5: Tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = x2 - 2x - 3 trờn [ - 2; 2) BT6: Tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = x2 - 2x - 3 trờn [- 2; 2] BT7: Tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = x2 - 2x - 3 trờn [2; 3) BT8: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của hàm số y = x2 - 2x - 3 trờn (-2; +∞) BT9: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của hàm số y = x2 - 2x - 3 trờn [3; +∞)
Phiếu học tập nhằm mục tiờu: Hƣớng dẫn HS hiểu và phõn biệt cỏc dạng bài tập tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bậc hai trờn R; trờn khoảng (a;b); trờn đoạn [a; b]; trờn nửa khoảng [a;b); (a; b]; (a; + ∞); (- ∞; a); [a; + ∞); (- ∞; a].
b) Hoạt động của nhúm
Bƣớc 1: HS nhận phiếu học tập, tự suy nghĩ và tỡm hiểu. Bƣớc 2: Thảo luận trong nhúm,
Dự kiến cỏc ý kiến HS thảo luận:
í kiến về sự giống nhau: Cỏc bài tập trờn đều tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của cựng một hàm số bậc hai: y = x2 - 2x – 3
í kiến về sự khỏc nhau:
+ í kiến 1: Tập xỏc định của hàm số y = x2 - 2x - 3 trong mỗi bài tập là khỏc nhau.
+ í kiến 2: Nờu cụ thể sự khỏc nhau về tập xỏc định của hàm số y = x2 - 2x - 3 trong mỗi bài tập đó cho là cỏc khoảng đúng, khoảng mở, hoặc nửa khoảng.
+ í kiến 3: Nờụ rừ sự khỏc nhau của cỏc khoảng ( - ∞; -2); ( - ∞; -2]; ( - 2; 2]; [ - 2; 2); [- 2; 2]; [2; 3); (3; +∞); [3; +∞)
Bƣớc 3: Trỡnh bày và lắng nghe. Cỏc thành viờn trong nhúm lắng nghe, so sỏnh, đối chiếu cỏc ý kiến của cỏc nhúm khỏc và tự hoàn thành phiếu học tập của mỡnh.
c) Hỡnh thức học và tiờu chớ thi đua:
Ghộp nhúm theo bàn (3 hoặc 4 HS), khuyến khớch nhúm nào giơ tay trƣớc đƣợc trả lời.
Vớ dụ 2: Hƣớng dẫn HS lớp 10 tỡm hiểu về phƣơng trỡnh chớnh tắc của Parabol
(P) (Bài tập Hỡnh học 10 nõng cao) a) Phiếu học tập:
Cho cỏc Parabol (P) lần lƣợt cú phƣơng trỡnh sau:
a) y = 6x2 (P1) b) y= - 6x2 (P2) c) y2 = 6x (P3) d) y2 = - 6x (P4)
Nhận xột về sự giống nhau và khỏc nhau của cỏc (P) đó cho? Cú phải tất cả cỏc phƣơng trỡnh trờn đều là phƣơng trỡnh chớnh tắc của (P) hay khụng?
Dụng ý của phiếu học tập là giỳp HS hiểu về phƣơng trỡnh của (P), phõn biệt phƣơng trỡnh chớnh tắc của (P) với cỏc phƣơng trỡnh (P) khỏc.
b) Cỏc bƣớc hoạt động thảo luận nhúm:
Bƣớc 1: GV chiếu phiếu học tập trờn màn hỡnh để HS theo dừi. Mỗi HS tự nghiờn cứu, suy nghĩ cõu trả lời.
Bƣớc 2: Thảo luận trong nhúm
Dự kiến cỏc ý kiến thảo luận:
í kiến về sự giống nhau giữa cỏc (P):
+ í kiến 1: Cỏc (P) đó cho đều cú hỡnh dạng là một Parabol nhận O(0; 0) là đỉnh
+ í kiến 2: Cỏc (P) đều cú tiờu điểm F và đƣờng chuẩn
+ í kiến 3: Cỏc (P) ở trờn đều cú tham số tiờu p = 3( tham số tiờu p = d(F; )) í kiến về sự khỏc nhau giữa cỏc (P):
+ í kiến 1: Khỏc nhau về vị trớ, cụ thể (P1) nằm về bờn phải Oy, (P2) nằm về bờn trỏi trục Oy…
+ í kiến 2: Khỏc nhau về trục đối xứng
+ í kiến 3: Tọa độ tiờu điểm của cỏc (P) khỏc nhau
+ í kiến 4: Phƣơng trỡnh đƣờng chuẩn của cỏc (P) cũng khỏc nhau
Nếu cú ý kiến HS cho rằng tất cả cỏc phƣơng trỡnh (P) đó cho đều là phƣơng trỡnh chớnh tắc của Parabol (P) thỡ sẽ dẫn đến sự tranh luận. Bởi vỡ những HS
đó nắm vững kiến thức thỡ chắc chắn chỉ cú phƣơng trỡnh (P1) là phƣơng trỡnh chớnh tắc của Parabol nờn đõy là cơ hội để HS khỏ giảng kiến thức cho bạn. Tuy nhiờn GV cũng cần dự kiến cõu hỏi để khuyến khớch HS tiếp tục thảo luận và sử dụng nếu cần thiết
Cõu hỏi dự kiến:
Phƣơng trỡnh chớnh tắc của (P) đƣợc xõy dựng trờn cơ sở cú tiờu điểm F(p/2; 0) và phƣơng trỡnh đƣờng chuẩn là x = - p/2. Vậy phƣơng trỡnh chớnh tắc của (P) cú dạng nhƣ thế nào?
Bƣớc 3: Lắng nghe, phản hồi và đặt cõu hỏi. Chuẩn kiến thức cho chớnh mỡnh. c) Hỡnh thức tổ chức và tiờu chớ thi đua:
Mỗi nhúm khoảng từ 6 đến 8 HS, ngồi ở 2 bàn liền nhau. GV kiểm tra thành viờn bất kỳ của nhúm. Nếu thành viờn bất kỳ của nhúm khụng trả lời đƣợc thỡ cả nhúm bị trừ điểm.
Vớ dụ 3: Để HS cú thể tỡm nhanh hƣớng giải và làm đỳng bài tập dạng: “ tỡm tham số để bất phƣơng trỡnh ax2 + bx + c > 0 (1) cú nghiệm”, thỡ trƣớc hết HS cần hiểu và phõn biệt những dạng bài tập về BPT dạng (1) cú chứa tham số. Vỡ vậy GV thiết kế phiếu học tập sau đõy nhằm giỳp HS tỡm hiểu và phõn biệt cỏc bài toỏn loại này.
a) Phiếu học tập: Em hóy nhận xột sự giống nhau và khỏc nhau của cỏc bài toỏn sau và nờu ý nghĩa của mỗi cõu hỏi trong mỗi bài toỏn:
1. Tỡm m để bất phƣơng trỡnh: mx2 - 2(m + 1)x + m > 0 cú nghiệm
2. Tỡm m để bất phƣơng trỡnh: m x2 - 2(m + 1) x + m > 0 cú nghiệm với x 3. Tỡm m để bất phƣơng trỡnh: m x2 - 2(m + 1) x + m > 0 cú nghiệm x [-1; 1]
4. Tỡm m để bất phƣơng trỡnh: m x2 - 2(m + 1) x + m > 0 vụ nghiệm
Mục tiờu của phiếu học tập: HS so sỏnh đƣợc sự giống nhau và khỏc nhau của cỏc bài toỏn trờn. Thụng qua cỏc bài toỏn này rốn luyện cho HS lớp 10 hiểu và phõn biệt cỏc cỏch hỏi trờn khi gặp dạng toỏn này.
b) Hoạt động của nhúm
Bƣớc 1: HS nhận phiếu học tập, tự suy nghĩ và tỡm hiểu. Bƣớc 2: Thảo luận trong nhúm,
Dự kiến cỏc ý kiến HS thảo luận:
í kiến về sự giống nhau:
+ í kiến 1: Cỏc bất phƣơng trỡnh trong cỏc bài toỏn đó cho đều là bất phƣơng trỡnh cú dạng ax2 + bx +c > 0
+ í kiến 2: Cỏc bất phƣơng trỡnh đó cho đều chứa tham số.
+ í kiến 3: Yờu cầu của cỏc bất phƣơng trỡnh đó cho đều là tỡm tham số thoả món điều kiện cho trƣớc.
í kiến về sự khỏc nhau:
+ í kiến 1: Điều kiện cho trƣớc trong mỗi bài tập là khỏc nhau.
+ í kiến 2: Cỏc điều kiện “cú nghiệm”, “cú nghiệm với mọi x”, “cú nghiệm với x [-1; 1]”, “khụng cú nghiệm” cú ý nghĩa hoàn toàn khỏc nhau.
í nghĩa của từ:
+ “cú nghiệm”: cú ớt nhất 1 giỏ trị của x thoả món bất phƣơng trỡnh + “cú nghiệm với x”: mọi giỏ trị x đều thoả món bất phƣơng trỡnh
+ “cú nghiệm x [-1; 1]”: tất cả giỏ trị của x [-1; 1] đều thoả món bất phƣơng trỡnh
+ “vụ nghiệm”: khụng cú giỏ trị x nào thoả món bất phƣơng trỡnh
Dự kiến cõu hỏi thảo luận:
Em hiểu ý nghĩa của cỏc từ “cú nghiệm”, “cú nghiệm với mọi x”, “cú nghiệm với x [-1; 1]”, “ vụ nghiệm” nhƣ thế nào?
c) Hỡnh thức tổ chức và tiờu chớ đỏnh giỏ: Học cỏ nhõn kết hợp thảo luận nhúm để xỏc nhận kiến thức của mỡnh. GV chỉ định một thành viờn bất kỳ trong mỗi nhúm trỡnh bày ý kiến của nhúm(ƣu tiờn nhúm giơ tay trƣớc). Cỏc nhúm khỏc lắng nghe rồi chỉnh sửa và bổ sung.
HS muốn so sỏnh đƣợc cỏc dạng bài tập trờn phải đọc kỹ đề bài, phõn tớch cỏch hỏi trong mỗi bài, trao đổi với bạn bố. Cỏch học nhƣ trờn đó tạo cho HS mụi trƣờng học tập lẫn nhau, bổ sung kiến thức cho nhau, qua đú tạo cho HS sự nhạy bộn, linh hoạt trong hoạt động tƣ duy, tạo nờn năng lực riờng của mỗi ngƣời.
Vớ dụ 4: Để tỡm hiểu dạng bài tập: “Tỡm hỡnh chiếu của 1 điểm trờn 1 đƣờng thẳng” trong mặt phẳng tọa độ Oxy và trong khụng gian tọa độ Oxyz, GV cú thể thiết kế phiếu học tập nhƣ sau
a) Phiếu học tập: Em hóy cho ý kiến nhận xột về sự giống nhau và khỏc nhau của cỏc bài tập sau đõy.
BT1: Tỡm hỡnh chiếu của điểm A(2; 1) trờn đƣờng thẳng (d): 3x + y -2 = 0 BT2: Tỡm hỡnh chiếu của điểm A( 2; 1) trờn đƣờng thẳng (d):
BT3: Tỡm hỡnh chiếu của điểm A( 2; 1) trờn đƣờng thẳng (d): x =
BT4: Tỡm hỡnh chiếu của điểm A(1; -1; 2) trờn đƣờng thẳng (d’):
BT5: Tỡm hỡnh chiếu của điểm A(1; -1; 2) trờn đƣờng thẳng (d’): BT6: Tỡm hỡnh chiếu của điểm A(1; -1; 2) trờn đƣờng thẳng (d’):
= =
Phiếu học tập với dụng ý: Yờu cầu HS đọc kỹ đề bài và nhận biết đƣợc sự khỏc nhau và giống nhau của điểm và của đƣờng thẳng trong mặt phẳng tọa độ và trong khụng gian tọa độ. Phõn biệt cỏc loại phƣơng trỡnh đƣờng thẳng: PT tham số, PT tổng quỏt, PT chớnh tắc của đƣờng thẳng.
b) Dự kiến thảo luận nhúm:
Bƣớc 1: HS nhận phiếu học tập, độc lập suy nghĩ và tỡm hiểu. Bƣớc 2: Thảo luận trong nhúm,
+ í kiến 1: Cỏc bài tập đều yờu cầu tỡm hỡnh chiếu của điểm A trờn đƣờng thẳng (d)
+ í kiến 2: Cỏc bài tập: BT1, BT2, BT3 xột trong mặt phẳng tọa độ Oxy cũn BT4, BT5, BT6 xột trong khụng gian tọa độ Oxyz.
+ í kiến 3: Điểm A trong mặt phẳng cú tọa độ giống nhau. Điểm A trong khụng gian cũng cú tọa độ giống nhau.
+ í kiến 4: Đƣờng thẳng (d) trong mặt phẳng tọa độ và đƣờng thẳng (d’) trong khụng gian tọa độ đều đƣợc viết theo cỏc dạng tổng quỏt, tham số, chớnh tắc.
Nếu HS đó nhận ra cỏc đƣờng thẳng trờn tuy cú phƣơng trỡnh khỏc nhau nhƣng thực chất vẫn trựng nhau thỡ sẽ tiếp tục cũn ý kiến 5 nhƣ sau:
+ í kiến 5: Kết quả BT1, BT2, BT3 là giống nhau, kết quả BT4, BT5, BT6 cũng giống nhau.
Nếu HS dừng lại ở ý kiến 4 ở trờn thỡ GV cú thể tiếp tục đặt cõu hỏi để khuyến khớch sự thảo luận nhằm hƣớng dẫn HS tiếp tục phỏt hiện và dự đoỏn kết quả của cỏc bài toỏn trờn.
Dự kiến cõu hỏi khuyến khớch thảo luận:
1. Em cú nhận xột gỡ về kết quả của cỏc bài tập trờn?
2. Em cú nhận xột gỡ về đặc điểm của đƣờng thẳng (d) trong BT1, BT2, BT3 và đƣờng thẳng (d’) trong BT4, BT5, BT6?
Cõu hỏi hƣớng HS tiếp tục nhỡn nhận, suy nghĩ, phỏt hiện sự giống nhau và khỏc nhau để cú dự đoỏn về kết quả nhƣ ý kiến 5 ở trờn.
c) Hỡnh thức học và tiờu chớ đỏnh giỏ:
HS thảo luận theo nhúm 4 ngƣời. Mỗi nhúm cựng thảo luận và tỡm những đặc điểm giống nhau, khỏc nhau của cỏc bài tập trờn. Hợp tỏc trong nhúm và hợp tỏc cỏc nhúm để tổng hợp đầy đủ cỏc khớa cạnh về sự giống nhau và khỏc nhau của cỏc bài tập trờn.
Hiệu quả: Phiếu học tập giỳp HS phõn biệt cỏc bài tập trong mặt phẳng tọa độ và trong khụng gian tọa độ và bao quỏt cỏc loại phƣơng trỡnh tổng quỏt, tham số, chớnh tắc của đƣờng thẳng trong mặt phẳng, trong khụng gian. Điều này cú
tỏc dụng giỳp HS định hƣớng đỳng khi giải cỏc bài tập trờn. Cỏch học tập trờn gúp phần giỳp HS rốn luyện tƣ duy nhỡn nhận và bao quỏt vấn đề, nhỡn bài toỏn dƣới nhiều gúc độ khỏc nhau, nõng cao năng lực hiểu biết kiến thức.
Vớ dụ 5: Tỡm hiểu sự liờn quan giữa cỏc bài toỏn
a) Phiếu học tập: Xột 2 bài tập sau
BT1: Cỏc số thực dƣơng a, b, c thoả món điều kiện a + b + c = 1. CMR ta cú: (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8(1 – a)(1 –b)(1 –c) (1)
BT2: Cho x, y, z là cỏc số thực dƣơng, chứng minh bất đẳng thức: (x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz (2)
Viết giả thiết, kết luận của hai bài tập trờn và cho biết chỳng cú liờn quan với nhau nhƣ thế nào?
b) Hoạt động tƣ duy trong thảo luận nhúm
Bƣớc 1: Cỏ nhõn nghiờn cứu nhiệm vụ và suy nghĩ trả lời
Bƣớc 2: Thảo luận nhúm: Dự kiến cỏc tỡnh huống trong thảo luận nhúm
Khả năng 1: HS nhận xột 2 bất đẳng thức đó cho giúng nhau về hệ số và giống nhau về số lƣợng nhõn tử
Khả năng 2: HS sẽ chỉ ra nếu đặt x =1- a; y = 1 – b; z = 1 – c thỡ bất đẳng thức (1) đƣợc viết lại giống nhƣ bất đẳng thức (2)
Dự kiến cõu hỏi gợi ý khi cần thiết: Thay x, y, z nhƣ thế nào để 2 bất đẳng thức (1) và (2) là nhƣ nhau?
Bƣớc 3: Tập trỡnh bày kết quả của nhúm. Mỗi HS đều tự tập trỡnh bày kết quả của nhúm, trong quỏ trỡnh đú nếu khú khăn thỡ trao đổi với bạn khỏc để hiểu thấu đỏo kết luận của nhúm. Nhúm trƣởng cú thể chỉ định một thành viờn bất kỳ trong nhúm trỡnh bày thử để nhúm gúp ý.
Kết luận: Hai bất đẳng thức ở hai bài tập trờn cú sự liờn quan nhƣ sau: Nếu đặt x =1- a; y = 1 – b; z = 1 – c thỡ ta cú: x + y = 1 + a,
y + z = 1 + b;
z + x = 1 + c ( vỡ a + b + c = 1).
Do đú: (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8(1 – a)(1 –b)(1 –c) (1) chớnh là bất đẳng thức (2): (x +y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz
Tỡm hiểu sự liờn quan hai bài tập trờn cú tỏc dụng yờu cầu HS đọc kỹ đề bài, chỉ ra sự giống nhau, khỏc nhau, sự liờn quan phụ thuộc lẫn nhau giữa cỏc bài toỏn. Điều đú giỳp HS dễ dàng hơn trong việc tỡm hƣớng giải những bài tập này.
Túm lại, cỏc tỡnh huống học tập trờn vừa rốn luyện cho HS thúi quen đọc kỹ đề bài, vừa tạo mụi trƣờng học tập để HS đƣợc rốn luyện tƣ duy so sỏnh, biết phõn biệt sự giống nhau và khỏc nhau của mỗi bài tập toỏn. Đú là một trong những tỡnh huống dạy học hợp tỏc nhằm rốn luyện cho HS năng lực tỡm hiểu bài toỏn. Hoạt động ngụn ngữ trong cỏc tỡnh huống trờn giỳp HS đƣợc rốn luyện tƣ duy phõn tớch và tƣ duy hội thoại cú phờ phỏn, đú là những hoạt động tƣ duy rất cần thiết cho mỗi con ngƣời.
Khi HS cú thúi quen tỡm hiểu bài toỏn thỡ việc định hƣớng giải bài toỏn sẽ dễ dàng hơn. Tỡm hiểu kỹ bài toỏn sẽ là cơ sở để HS xỏc định đỳng hƣớng giải. Cỏc vớ dụ sau đõy là những tỡnh huống dạy học hợp tỏc nhằm rốn luyện năng lực tỡm hƣớng giải bài tập toỏn:
Vớ dụ 6: Tỡm hƣớng giải thụng qua một hệ thống cỏc bài tập cú cựng PP giải
Để rốn luyện cho HS năng lực tỡm hƣớng giải cỏc phƣơng trỡnh lƣợng giỏc bằng PP đặt ẩn phụ, GV đƣa ra phiếu học tập và dự kiến cỏc hoạt động thảo luận nhúm nhƣ sau:
a) Phiếu học tập: Xột cỏc phƣơng trỡnh sau: 1) cos2x + cosx – 2 = 0
2) cos2x + 2sinx – 2 = 0 3) cos22x + 2 sin2x – 3 = 0 4) sinx + cosx + sin2x = 1
5) sinx – cosx – sinxcosx – 2 = 0 6) cotx + 2tanx – 3 = 0
7) cos2x + cos4x – 1 = 0 8) tan = tanx
Bạn Hà lớp 11A núi rằng: “Cỏc phƣơng trỡnh trờn đều cú thể giải theo cựng 1 cỏch”. Bạn Hà núi đỳng hay sai? Vỡ sao?
Mục tiờu: HS biết cỏch đặt ẩn phụ và đặt đỳng điều kiện của ẩn phụ cho mỗi phƣơng trỡnh lƣợng giỏc ở trờn. Biết PP “đặt ẩn phụ” là một trong những PP giải phƣơng trỡnh lƣợng giỏc.
b) Cỏc bƣớc hoạt động thảo luận của nhúm:
Bƣớc 1: Mỗi thành viờn nhận phiếu học tập và độc lập suy nghĩ
Bƣớc 2: Hoạt động thảo luận trong nhúm, cỏc thành viờn trong nhúm trao đổi về cỏch làm bài của mỡnh
Dự kiến cỏc tỡnh huống thảo luận nhúm:
- Cú thể vỡ chƣa tỡm đƣợc hƣớng giải nờn cú ý kiến cho rằng bạn Hà núi sai. Đõy chớnh là cơ hội để những HS khỏ thể hiện kiến thức của mỡnh qua cỏch giảng bài cho bạn hiểu.
- Nếu khẳng định ý kiến của bạn Hà đỳng thỡ bạn hóy nờu cỏch giải đú của bạn Hà là cỏch nào. Để khẳng định đƣợc bạn Hà núi đỳng thỡ mỗi HS đều phải suy nghĩ kỹ từng phƣơng trỡnh, suy nghĩ xem cỏc biểu thức trong mỗi phƣơng trỡnh