sõu lời giải bài toỏn.
Nghiờn cứu sõu lời giải bài toỏn giỳp HS kiểm tra rà soỏt kỹ lời giải đó thực sự chớnh xỏc chƣa, đó ngắn gọn và đầy đủ chƣa? Liệu cú cỏch giải nào khỏc khụng? Khai thỏc thờm dạng bài tập nào khỏc khụng? Cỏc bài toỏn cú liờn quan hay phụ thuộc gỡ vào nhau khụng? Khi làm tốt bƣớc nghiờn cứu sõu lời giải thỡ năng lực giải bài tập toỏn của HS sẽ nõng lờn ở cấp độ cao hơn. Sau đõy là một số vớ dụ về tỡnh huống dạy học hợp tỏc nhằm rốn luyện năng lực nghiờn cứu sõu lời giải bài toỏn.
Vớ dụ 1: Tỡm nhiều cỏch giải khỏc nhau của 1 bài toỏn thụng qua hoạt động
nghiờn cứu sõu lời giải bài toỏn. a) Nhiệm vụ học tập hợp tỏc:
Cho hỡnh lập phƣơng ABCD. A’B’C’D’ cạnh a.
1) Tỡm cỏc cỏch cú thể xỏc định và tớnh khoảng cỏch giữa cỏc đƣờng thẳng sau: 1.a) AB và A’D’ 1.b) AC và DD’ 1.c) A’B và DC’ 2) Khi xỏc định khoảng cỏch giữa hai đƣờng thẳng chộo nhau, em cú thể làm theo những cỏch nào?
Dụng ý của phiếu học tập là yờu cầu HS tỡm nhiều cỏch xỏc định khoảng cỏch giữa 2 đƣờng thẳng chộo nhau và tổng kết cỏc cỏch đú.
b) Hoạt động thảo luận nhúm:
HĐ1: HS nhận phiếu học, độc lập suy nghĩ tỡm hƣớng giải
HĐ2: Thảo luận trong nhúm, hợp tỏc nhúm tỡm cỏc cỏch giải khỏc nhau
Dự kiến cỏc tỡnh huống trong thảo luận nhúm
- Nếu trong nhúm cú nhiều cỏch làm khỏc nhau thỡ hoạt động hợp tỏc tạo mụi trƣờng thuận lợi để HS học tập nhau.
- Nếu trong nhúm đều làm theo 1 cỏch vỡ chỉ dựa vào định nghĩa trong SGK nờn khụng để ý cỏc cỏch khỏc thỡ hoạt động hợp tỏc cỏc nhúm thụng qua việc kiểm tra chộo và lắng nghe cỏc nhúm khỏc trỡnh bày là cơ sở định hƣớng tỡm cỏch khỏc..
HĐ3: Thảo luận và thống nhất giữa cỏc ý kiến để tỡm ra nhiều cỏch giải. Lời giải Hỡnh 2.3 1.a) Xỏc định và tớnh khoảng cỏch giữa AB và A’D’
Cỏch 1: Nhận dạng AA’ là độ dài đƣờng vuụng gúc chung của AB và A’D’. Nờn khoảng cỏch (AB; A’D’) = AA’ = a
Cỏch 2: AB mp(ABCD), A’D’ mp(A’B’C’D’) Mà mp(ABCD) // mp(A’B’C’D’)
Nờn d(AB; A’D’) = d(mpABCD; mpA’B’C’D’)= AA’= BB’= CC’ = DD’= a Cỏch 3: AB // mp A’B’C’D’ và A’D’ mp(A’B’C’D’)
Nờn d(AB; A’D’) = d(AB; mpA’B’C’D’) = AA’= BB’ = a
1b) Xỏc định và tớnh khoảng cỏch giữa AC và DD’ Hỡnh 2.4
Nối BD cắt AC tại O, B’D’ cắt A’C’ tại O’ Cỏch 1: Nhận dạng DO là độ dài đƣờng vuụng A A’ B B ’’ ’’ D’ D C C’ A D B C
gúc chung của AC và DD’. Nờn d(AC; DD’) = DO = a Cỏch 2: AC mp(ACC’A’)
Mà DD’ // CC’ nờn DD’ // mp(ACC’A’)
Nờn d(AC; DD’) = d(DD’; mpACC’A’) = d(D; mp ACC’A’) = DO = D’O’ = a Hỡnh 2.5
1.c) Xỏc định và tớnh khoảng cỏch giữa A’B và DC’ Cỏch 1: Nhận xột A’B mp(ABB’A’), DC’ mp(DCC’D’). Mà mp(ABB’A’) // mp(DCC’D’) Nờn d(A’B; DC’) = d( mpABB’A’; mp DCC’D’) = = AD = BC = B’C’ = A’D’ = a Cỏch 2: Cú A’B // CD’ nờn A’B // mp DCC’D’ và DC’ mp(DCC’D’) Nờn d(A’B; DC’) = d(A’B; mp DCC’D’) = A’D’= BC = a
Cỏch 3: Gọi P là giao điểm của AB’ và A’B, P’ là giao điểm của DC’ và D’C. Dễ thấy PP’ là đƣờng vuụng gúc chung của A’B và DC’ ( vỡ PP’// BC và PP’ // B’C’nờn PP’ vuụng gúc A’B tại P, PP’ vuụng gúc DC’ tại P’)
Ta cú d(A’B; DC’) = PP’ = B’C’ = a
c) Hỡnh thức tổ chức học và tiờu chớ thi đua: Mỗi nhúm từ 8 đến 10 HS. Cỏc nhúm trỡnh bày lời giải trờn bảng theo hỡnh thức thi tiếp sức.
d) Kết luận vấn đề: Cỏc cỏch xỏc định khoảng cỏch giữa 2 đƣờng d và d’ thẳng chộo nhau:
Cỏch 1: Tỡm độ dài đƣờng vuụng gúc chung của d và d’
Cỏch 2: Tỡm khoảng cỏch từ một điểm bất kỳ trờn d tới mặt phẳng (P) // d và (P) chứa đƣờng thẳng d’
Cỏch 3: Tỡm khoảng cỏch từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng (P) chứa d đến mặt phẳng (Q) chứa d’ và (P) // (Q) A B ’’ ’’ D C’ A’ B ’’ ’’ D’ C’ B C A’ D’
Qua vớ dụ HS tỡm đƣợc nhiều cỏch xỏc định khoảng cỏch giữa 2 đƣờng thẳng chộo nhau. Cỏch thiết kế phiếu học tập đũi hỏi HS phải đào sõu suy nghĩ, nghiờn cứu sõu bài toỏn để tỡm ra nhiều cỏch giải. Qua thực nghiệm, chỳng tụi thấy đạt mục tiờu đề ra.
Vớ dụ 2: Thụng qua lời giải 1 bài toỏn, phỏt hiện hƣớng giải nhiều bài toỏn khỏc.
Nghiờn cứu sõu lời giải dạng bài toỏn tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số phỏt hiện hƣớng giải nhiều bài toỏn khỏc. GV thiết kế phiếu học tập sau:
a) Phiếu học tập:
Cho y = 2 - x. Tỡm giỏ trị lớn nhất của y?
Một HS trỡnh bày lời giải nhƣ sau: Coi y là biểu thức biểu thị một hàm số. Tập xỏc định của hàm số là D = [2; + ∞) Ta cú y’= ; y’> 0 1 - > 0 0 ≤ x -2 < 1 2 ≤ x < 3 Ta cú bảng biến thiờn : x 2 3 +∞ y’ + 0 - y -1 (-2) (-∞) Từ bảng biến thiờn ta thấy maxy = - 1 đạt khi x = 3
1. Em kiểm tra và đỏnh giỏ lời giải bài tập trờn của bạn? 2. Bài toỏn trờn cũn cú cỏch giải khỏc khụng?
3. Bài toỏn trờn cú liờn quan tới cỏc bài toỏn sau nhƣ thế nào? a. Chứng minh bất đẳng thức 2 – x ≤ - 1
b. Tỡm m để phƣơng trỡnh sau cú nghiệm: 2 – x – m + 2 = 0 cú nghiệm
d. Tỡm m để bất phƣơng trỡnh: 2 – x ≤ m + 2 cú nghiệm đỳng với x [2; + ∞)
3. Kết quả bài tập trờn cú thể ứng dụng giải cỏc bài tập nào? 4. Cú thể giải cỏc bài tƣơng tự nhƣ thế nào?
b) Hoạt động hợp tỏc thảo luận nhúm
Bƣớc 1: HS độc lập nghiờn cứu lời giải bài tập đó cho và tỡm hƣớng giải cỏc bài tập trờn.
Bƣớc 2: Thảo luận trong nhúm, thống nhất cỏch trả lời và tỡm hƣớng giải khỏc. Dự kiến cỏc tỡnh huống thảo luận như sau:
TH1: Nếu HS đỏnh giỏ lời giải trờn là đỳng thỡ yờu cầu HS kiểm tra kỹ lời giải 1 lần nữa, trỏnh hiện tƣợng cẩu thả, khụng kiểm tra kỹ lời giải, vội vàng kết luận.
TH2: Nếu HS đỏnh giỏ lời giải trờn là sai thỡ GV yờu cầu HS chỉ ra lời giải sai nhƣ thế nào? Nguyờn nhõn dẫn đến sai lầm? Khắc phục sai lầm đú nhƣ thế nào?
Sai bƣớc tớnh y’. Sửa lại: y’=
y’ > 0 1 - > 0 0 ≤ x -2 < 1 2 ≤ x < 3
Cỏc ý kiến về hƣớng giải khỏc nhƣ sau: Đặt ẩn phụ t = (t ≥ 0), hàm số đó cho đƣợc viết là y = y = - t2 + 2t – 2 trờn [2; + ∞),
+ í kiến 1: lập bảng biến thiờn của hàm số y = - t2 + 2t – 2 trờn [2; + ∞), y’ = 2 – 2t
+ í kiến 2: Biến đổi y = - 1 – (t - 1)2 ≤ -1 t
+ í kiến 3: Vẽ parabol y = - t2 + 2t – 2(P) . Vỡ t [2; + ∞) nờn tỡm giỏ trị lớn nhất của y chỉ dựa vào một phần của (P).
Lời giải bài toỏn trờn chỉ ra hƣớng giải cỏc bài toỏn cú dạng sau đõy: + í kiến 1: Chứng minh bất đẳng thức (1.a)
+ í kiến 2: Tỡm m để phƣơng trỡnh cú nghiệm (1.b)
(dựa vào bảng biến thiờn cú ngay cõu trả lời bài toỏn 1.b: vỡ maxy = -1 với x [2; + ∞) nờn phƣơng trỡnh 2 – x – m + 2 = 0 cú nghiệm m – 2 ≤ maxy m – 2 ≤ - 1 m ≤ 1)
+ í kiến 3: Đếm số nghiệm của 1 phƣơng trỡnh (1.c)
(dựa vào bảng biến thiờn cú ngay cõu trả lời bài toỏn (1.c): phƣơng trỡnh 2 – x – m + 2 = 0 cú đỳng 1 nghiệm m – 2 ≤ - 2 hoặc m – 2 = - 1 m ≤ 0 hoặc m = 1)
+ í kiến 4: Tỡm m để bất phƣơng trỡnh cú nghiệm đỳng với x [2; + ∞) (1.d)
bất phƣơng trỡnh: 2 – x ≤ m + 2 cú nghiệm đỳng với x [2; + ∞)
maxy ≤ m + 2 m + 2 ≥ - 1 m ≥ - 3
Cũn cú thể tỡm đƣợc hƣớng giải cỏc bài tập tƣơng tự sau:
+ í kiến 1: Tỡm m để phƣơng trỡnh 2 – x – m + 2 = 0 cú đỳng 1 nghiệm khoảng (2; 3)
+ í kiến 2: Tỡm m để phƣơng trỡnh 2 – x – m + 2 = 0 cú đỳng 2 nghiệm phõn biệt.
+ í kiến 3: Tỡm m để bất phƣơng trỡnh sau vụ nghiệm: 2 – x ≤ m + 2 c) Hỡnh thức học và tiờu chớ đỏnh giỏ:
Mỗi nhúm từ 8 đến 12 HS, trao đổi thảo luận để tỡm ra cõu trả lời đỳng. Mọi thành viờn đều phải nỗ lực vỡ GV sẽ gọi và kiểm tra thành viờn bất kỳ của nhúm. Nhúm cú nhiều ý kiến đỳng sẽ đƣợc đỏnh giỏ cao hơn.
d) Kết luận: Hoạt động rốn luyện năng lực nghiờn cứu sõu lời giải giỳp HS nhỡn bài toỏn theo nhiều gúc độ khỏc nhau, nhỡn ra hƣớng giải của nhiều bài toỏn khỏc làm cơ sở cho việc trỡnh bày tốt lời giải 1 bài tập toỏn. Song song với việc rốn
luyện năng lực nghiờn cứu sõu lời giải là tạo cơ hội để HS hoạt động tƣ duy, hoạt động ngụn ngữ, gúp phần nõng cao năng lực giải toỏn và kỹ năng giao tiếp.
Vớ dụ 3: Nghiờn cứu sõu bài toỏn theo hƣớng mở rộng bài toỏn, phỏt biểu bài toỏn theo nhiều cỏch khỏc nhau.
a) Phiếu học tập: Giải bài toỏn sau:
Trong khụng gian tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(2;-4;3) B(2;-1;2) C(0; 2;1). Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuụng gúc BC. H là giao điểm của BC với (P). Tỡm tọa độ của điểm H.
Nghiờn cứu lời giải bài toỏn trờn để trả lời cỏc cõu hỏi sau
1. Nờu những đặc điểm khỏc nhau của điểm H ở bài tập trờn?
2. Em cú thể phỏt biểu bài toỏn trờn theo cỏch khỏc (khụng thay đổi giả thiết)?
3. Cú thể vận dụng kết quả của bài toỏn trờn để làm những dạng bài toỏn nào khỏc?
b) Cỏc bƣớc thảo luận nhúm:
Bƣớc 1: HS nhận phiếu học tập và độc lập suy nghĩ
Bƣớc 2: Thảo luận trong nhúm. Mỗi thành viờn trỡnh bày ý kiến của mỡnh, cỏc thành viờn khỏc lắng nghe, so sỏnh và đối chiếu cỏc ý kiến giống và khỏc nhau, sau đú thƣ ký tổng hợp cỏc ý kiến để thống nhất chung kết quả của nhúm.
Dự kiến cỏc ý kiến thảo luận:
Cú thể chỉ ra những đặc điểm khỏc nhau của điểm H nhƣ cỏc ý kiến sau: + H là chõn đƣờng vuụng gúc kẻ từ A tới BC
+ H là hỡnh chiếu của điểm A trờn mặt phẳng BC + H là hỡnh chiếu của B (và/ hoặc của C) trờn (P) + AH là khoảng cỏch từ A tới BC
+ BH, CH lần lƣợt là khoảng cỏch từ B và C tới mặt phẳng (P) + Nếu C’ đối xứng với C qua (P) thỡ H là trung điểm của + Nếu A’ đối xứng A qua BC thỡ H là trung điểm của AA’
Mục tiờu của việc nhận dạng đặc điểm khỏc nhau của điểm H là phỏt hiện cỏc cỏch hỏi khỏc của bài tập trờn. Cú thể phỏt biểu bài toỏn trờn(khụng thay đổi giả thiết) theo cỏch khỏc nhƣ cỏc ý kiến sau:
+ Tỡm tọa độ hỡnh chiếu của B trờn (P) + Tỡm tọa độ hỡnh chiếu của C trờn (P) + Tỡm tọa độ hỡnh chiếu của A trờn BC
Cú thể vận dụng kết quả của cỏc bài toỏn trờn để làm những bài tập sau:
BT1. Trong khụng gian tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(2;-4;3) B(2;-1;2) C(0; 2;1).
1. Tớnh khoảng cỏch từ A tới BC
2. Tỡm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua BC
BT2. Trong khụng gian tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(2;-4;3) B(2;-1;2) C(0; 2;1).
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuụng gúc BC 1. Tớnh khoảng cỏch từ B tới mặt phẳng (P) 2. Tỡm tọa độ điểm C’ đối xứng với C qua (P)
c) Hỡnh thức tổ chức học tập: Mỗi nhúm từ 4 đến 6 ngƣời. Cỏc nhúm thảo luận, trao đổi, tổng hợp cỏc ý kiến cỏ nhõn thành ý kiến tập thể. GV theo dừi hoạt động cỏc nhúm và chấm điểm sản phẩm của cỏc nhúm.
Thiết kế tỡnh huống nhƣ trờn cú tỏc dụng vừa bắt buộc HS cú lời giải, vừa phải phỏt triển bài toỏn theo nhiều hƣớng khỏc nhau qua lời giải đú. Nhƣ vậy tỏc dụng của nghiờn cứu sõu lời giải của 1 bài, HS tỡm đƣợc hƣớng giải của nhiều bài toỏn khỏc nhau, thụng qua đú rốn luyện nếp suy nghĩ sõu sắc và tƣ duy sỏng tạo.
Vớ dụ 4: Nghiờn cứu sõu lời giải bài toỏn, suy đoỏn kết quả của bài toỏn tƣơng
tự và phỏt biểu bài toỏn tƣơng tự. a) Phiếu học tập:
Chứng minh rằng: “Tam giỏc ABC cú cỏc cạnh thoả món a2 < b2 + c2 khi và chỉ khi gúc A nhọn” (Bài 18 trang SGK hỡnh học 10 nõng cao)
1. Em vận dụng kiến thức nào khi giải bài tập này?
2. Cú bạn núi rằng: “ Tam giỏc ABC cú cỏc cạnh thoả món a2 > b2 + c2 khi và chỉ khi gúc A tự”. Bạn đú núi đỳng hay sai ? Vỡ sao? Khi A = 1v thỡ cú hệ thức nào? 3. Em cú thể phỏt biểu những bài toỏn tƣơng tự và chứng minh bài toỏn đú hay khụng?
b) Hoạt động tƣ duy trong thảo luận nhúm:
Dự kiến cỏc tỡnh huống trong thảo luận nhúm:
- Một số HS sẽ giải bài tập trờn và dựa vào lời giải suy đoỏn kết quả
- Một số HS chỉ dựa vào kết quả của bài toỏn trờn để dự đoỏn kết quả mới. + Nếu cỏc cạnh của tam giỏc ABC thoả món a2 > b2 + c2 thỡ gúc A tự + Nếu cỏc cạnh của tam giỏc ABC thoả món a2 = b2 + c2 thỡ gúc A vuụng - Một số HS (đa số HS khỏ) phỏt biểu thành bài toỏn tƣơng tự rồi chứng minh. Nhƣ vậy tất cả cỏc ý kiến trờn đều cú tỏc dụng trong hợp tỏc nhúm. Thƣ ký sẽ tổng hợp tất cả cỏc ý kiến trờn và viết lại thành sản phẩm chung của nhúm. c) Tiờu chuẩn thi đua: GV phỏt phiếu học tập cho HS, từng nhúm làm việc và trả lời vào phiếu chung của nhúm để nộp cho GV chấm.
c) Kết luận vấn đề: Cả lớp cựng GV kết luận lại cỏc yờu cầu của phiếu học tập. 1. Vận dụng định lý cosin trong tam giỏc (Trỡnh bày lời giải BT1 để HS tự trỡnh bày lời giải cỏc bài tƣơng tự). Ta cú a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA.
Thay vào giả thiết ta cú a2 < b2 + c2 cosA > 0 gúc A nhọn 2. Bạn HS đú núi đỳng vỡ ta cú a2 > b2 + c2 cosA < 0 gúc A tự Nếu a2 = b2 + c2 thỡ gúc A = 1v (đõy chớnh là định lý Pitago đảo) 3. Cỏc bài tập tƣơng tự
BT1: Chứng minh rằng: cỏc cạnh của tam giỏc ABC thoả món a2 > b2 + c2 khi và chỉ khi gúc A tự
BT2: Chứng minh rằng: cỏc cạnh của tam giỏc ABC thoả món a2 = b2 + c2 khi và vhỉ khi gúc A vuụng
Nhƣ vậy nếu nghiờn cứu sõu lời giải 1 bài toỏn, ta cú thể khai thỏc tất cả cỏ khớa cạnh của nú để cú đƣợc những bài toỏn mới.
Vớ dụ 5: Kết quả cỏc bài tập cú thể phụ thuộc lẫn nhau. Tỡm cỏch giải nhanh thụng qua nghiờn cứu sõu lời giải.
a) Phiếu học tập: Xột bài tập sau
BT1. Tỡm m để bất phƣơng trỡnh: (m – 1)x2 –2(m + 1)x – (m +1) > 0 cú nghiệm?
BT2. Tỡm m để bất phƣơng trỡnh: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x – (m +1) > 0 vụ nghiệm?
1. Cú ý kiến cho rằng kết quả của 2 bài tập trờn là phần bự của nhau? Bạn cú nhất trớ khụng? Vỡ sao?
2. Nếu dựa vào kết quả BT1 cú suy ra đƣợc kết quả của BT2 khụng? Ngƣợc lại cú đƣợc khụng? Cho vớ dụ cụ thể.
3. Trong 2 bài tập trờn, bài tập nào giải nhanh hơn? Để tỡm kết quả của BT cũn lại em làm thế nào?
b) Hoạt động tƣ duy trong thảo luận nhúm
Bƣớc 1: Cỏ nhõn nghiờn cứu nhiệm vụ và trả lời vào phiếu học tập Bƣớc 2: Thảo luận nhúm: Dự kiến cỏc tỡnh huống trong thảo luận nhúm
HS sẽ suy đoỏn để trả lời cỏc cõu hỏi mà chƣa giải cụ thể.
Dự kiến cõu hỏi gợi ý khi cần thiết:
Tỡm phần bự của tập M = ( -1; 0) trong R?
Nờu điều kiện để bpt: ax2 + bx + c > 0 vụ nghiệm? Kết luận vấn đề:
1. Nhất trớ với ý kiến: “ Kết quả của 2 bài tập trờn là phần bự của nhau”. Vỡ 2 bất phƣơng trỡnh ở 2 bài tập giống nhau, nờn nếu bpt cú nghiệm với m (a; b) thỡ với m R\ (a; b) bpt sẽ vụ nghiệm