1.1.1 Không gian Banach lồi, trơn, lồi đều, trơn đều
ChoXlà không gian Banach và X∗là không gian đối ngẫu của X. Trong luận án này, để đơn giản, ta dùng chung một kí hiệu ||.|| cho chuẩn trong cả hai khơng gianXvàX∗. Với mỗix∗ ∈ X∗vàx ∈ X, ta viếtx∗(x)bởihx∗,xihoặchx,x∗i(tích đối ngẫu). Nếu X = H là khơng gian Hilbert thì tích đối ngẫu chính là tích vơ hướngh., .i và cảm sinh chuẩn tương ứng||.||. Cho{xn} là một dãy trongX, khi đó dãy{xn} được gọi là hội tụ (hội tụ mạnh hoặc hội tụ theo chuẩn) đến x ∈ X nếu||xn−x|| →0khin→ ∞và được viết làxn → x. Dãy{xn}được gọi là hội tụ yếu tớix, kí hiệu xn * x nếu hx∗,xn−xi → 0khin → ∞với mọi x∗ ∈ X∗. Mọi dãy hội tụ mạnh thì hội tụ yếu, điều ngược lại nói chung khơng đúng. Mọi dãy hội tụ yếu đều bị chặn. Không gian BanachXđược gọi là phản xạ nếu X∗∗ = X.
1) lồi chặt nếu mặt cầu đơn vịS(0, 1) = {x ∈ X : ||x|| = 1}lồi chặt, tức là với mọi x,y ∈ S(0, 1),x 6=ythì ||x+y|| <2.
2) lồi đều nếu với mọie > 0, tồn tại δ = δ(e) >0sao cho với mọix,y∈ X với
kxk ≤1,kyk ≤1,kx−yk =ethì kx+yk ≤ 2(1−δ). 3) trơn nếu giới hạn
lim
t→0
kx+tyk − kxk
t (1.1)
tồn tại với mọi x,y ∈ S(0, 1). Mô-đun lồi của Xđược xác định bởi
δX(e) = inf 1− kx−yk 2 :kxk =kyk =1,kx−yk =e . Mô-đun trơn củaX xác định bởi
ρX(τ) = sup
kx+yk+kx−yk
2 −1 : kxk =1,kyk = τ
.
Định nghĩa 1.2. Không gian BanachX được gọi là trơn đều nếu lim
τ→0hX(τ) := lim
τ→0
ρX(τ)
τ =0.
Chú ý rằng nếu X là không gian Banach thực trơn đều và lồi đều thì mơ-đun lồiδX là hàm tăng, liên tục trong đoạn [0, 2](xem, [11]). X lồi đều khi và chỉ khi
δX(e) > 0 với mọi 0 < e ≤ 2 và δX(0) = 0. Với p > 1, không gian Banach X được gọi là p-lồi đều nếu tồn tại hằng sốc >0sao choδX(e) ≥ cep. Ta biết rằng, các không gian Lp,lp và Wmp là p-lồi đều nếu p > 2và 2-lồi đều nếu1 < p ≤ 2. Không gian HilbertH là trơn đều và2-lồi đều.
1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu và một số tính chất
ChoXlà khơng gian Banach thực. Ánh xạ J : X → 2X∗ xác định bởi J(x) = nf ∈ X∗ :hf,xi = kxk2 = kfk2o
được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc. Sau đây là một số tính chất hình học Banach củaX và ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của nó [11]:
(ii) Nếu X là không gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn thì J : X → 2X∗ là đơn trị, đơn ánh;
(iii) NếuXlà khơng gian Banach trơn đều thì J liên tục trên mỗi tập bị chặn của X;
(iv) Không gian BanachX trơn đều khi và chỉ khiX∗ lồi đều.
(v) Không gian Banach X lồi đều có tính chất Kadec-Klee, tức là với mỗi dãy
{xn} ⊂ X, nếu xn * x ∈ Xvàkxnk → kxk thìxn → x.
Trong luận án này ta ln giả thiết ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : X → X∗,thỏa mãn điều kiện
hx,J(x)i =kxk2 =kJ(x)k2, ∀x ∈ X,
là đơn trị. Giả thiết này thỏa mãn nếuXlà không gian Banach trơn.
Định nghĩa 1.3. Không gian Banach X được gọi là có tính chất xấp xỉ nếu tồn tại một họ các không gian con hữu hạn chiều lồng nhau{Xn}và các phép chiếu Pn : X → Xn,sao cho||Pn||= 1với mọin ≥0và∪nXn trù mật trongX.
Dễ dàng thấy rằng, các không gian Lp, lp vàWmp đều có tính chất xấp xỉ [11]. Các kết quả sau đây được sử dụng để thiết lập sự hội tụ của các phương pháp chỉnh lặp song song hiện và ẩn trong phần đầu của Chương 2
Bổ đề 1.1. [11]Giả sử Xlà không gian Banach thực trơn đều. Khi đó, với mọi x,y ∈ X
sao chokxk ≤ R,kyk ≤ R, ta có
kJ(x)−J(y)k ≤8RhX 16Lkx−yk R , trong đóLlà hằng số Figiel,(1 < L< 1.7).
Bổ đề 1.2. [11]Giả sửXlà không gian Banach thực trơn đều. Khi đó, với mọix,y∈ X,
ta có
kxk2 ≤ kyk2+2hx−y,J(x)i
Bổ đề 1.3. [11] Giả sử X là không gian Banach trơn đều. Khi đó, với mọi x,y ∈ X, ta
có
hx−y,J(x)−J(y)i ≤ 8kx−yk2+C(kxk,kyk)ρX(kx−yk),
trong đóC(kxk,kyk) ≤ 4max {2L,kxk+kyk}.
Bổ đề 1.4. [11] Giả sử X là khơng gian Banach trơn đều. Khi đó, với mọi x,y ∈ X, ta
có hx−y,J(x)−J(y)i ≤ R2(kxk,kyk)ρX 4kx−yk R(kxk,kyk) , trong đóR(kxk,kyk) = q
2−1(kxk2+kyk2). Hơn nữa, nếukxk ≤ R,kyk ≤ Rthì
hx−y,J(x)−J(y)i ≤ 2LR2ρX 4kx−yk R .
Bổ đề 1.5. [84] Nếu Xlà khơng gian Banach 2-lồi đều thì
||x−y|| ≤ 2
c2||Jx−Jy||, ∀x,y ∈ X,
trong đó J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc củaX và0 <c ≤ 1. Hằng số1/ctốt nhất được gọi là hằng số2-lồi đều củaX.
1.1.3 Phép chiếu metric và phép chiếu tổng quát
Cho r là số thực dương, x0 ∈ X. Kí hiệu, B[x0,r] = {x ∈ X :||x−x0|| ≤ r} là hình cầu đóng tâmx0 và bán kính rvà B(x0,r) = {x ∈ X : ||x−x0|| <r}là hình cầu mở tâmx0 và bán kínhr. Tương tự,S(x0,r) = {x ∈ X : ||x−x0||= r}là mặt cầu tâmx0, bán kínhr.
TậpCtrong khơng gian Banach Xđược gọi là:
1) bị chặn (giới nội) nếu tồn tại hình cầu B[x0,r]chứaC;
2) đóng (tương ứng, đóng yếu) nếu mọi dãy{xn} ⊂Chội tụ (hội tụ yếu) tớix thì x ∈ C. Tập đóng bé nhất chứaC được gọi là bao đóng củaC, kí hiệu là
¯ C;
3) compact tương đối (tương ứng, tương đối yếu) nếu mọi dãy vô hạn{xn} ⊂
C đều chứa một dãy con hội tụ (tương ứng, hội tụ yếu). Trong không gian Banach phản xạ, mọi tập bị chặn là compact tương đối yếu;
4) lồi nếu với mọix,y∈ Cthì đoạn thẳng
[x,y]:={z= tx+ (1−t)y: t ∈ [0, 1]} ⊂ C.
ChoC là tập lồi đóng khác rỗng trong khơng gian Hilbert thực H. Ánh xạ PC : H → Cxác định bởi
PCx = arg min{ky−xk : y ∈ C}
được gọi là phép chiếu (metric) từ H lên C. Vì C lồi đóng và khác rỗng nên PCx tồn tại và duy nhất. Sau đây là một số tính chất hình học của phép chiếuPC.
Bổ đề 1.6. Giả sử PC là phép chiếu metric từH lên tập con lồi đóng khác rỗngC. Khi đó (i) Với mọix,y∈ H, ta có
hPCx−PCy,x−yi ≥ kPCx−PCyk2. (1.2) (ii) Với mọiy ∈ H,x ∈ C, ta có
kx−PCyk2+kPCy−yk2 ≤ kx−yk2. (1.3) (iii) z = PCxkhi và chỉ khi
hx−z,z−yi ≥ 0, ∀y∈ C. (1.4)
Phép chiếu metric PC trong không gian Hilbert là đơn điệu và không giãn. Trong Chương 3 khi nghiên cứu các phương pháp lai ghép trong không gian Ba- nach, chúng ta cần một số khái niệm và kết quả [11, 41] về phiếm hàm Lyapunov
φ(x,y)và phép chiếu tổng quátΠC. Giả sửClà tập lồi đóng khác rỗng của khơng gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn. Phiếm hàm Lyapunov φ : X×X → <+
được xác định bởi
φ(x,y) = kxk2 −2hx,Jyi+kyk2,∀x,y ∈ X. Từ định nghĩa của phiếm hàmφ, ta có
Hơn nữa, phiếm hàm Lyapunov thỏa mãn đẳng thức
φ(x,y) = φ(x,z) +φ(z,y) +2hz−x,Jy−Jzi, x, y, z ∈ X. (1.6) Phép chiếu tổng quátΠC : X → Cđược xác định bởi
ΠC(x) = arg min
y∈C φ(x,y).
Trong khơng gian Hilbert, ta cóφ(x,y) = ||x−y||2 vàΠC = PC. Ta có một số kết quả sau đây.
Bổ đề 1.7. [9] Cho C là tập lồi đóng và khác rỗng của khơng gian Banach X và ΠC : X → C là phép chiếu tổng quát từXlênC. Khi đó
(i) φ(x,ΠC(y)) +φ(ΠC(y),y) ≤ φ(x,y),∀x ∈ C,y ∈ X;
(ii) z =ΠC(x)khi và chỉ khihz−y,Jx−Jzi ≥ 0,∀y∈ C; (iii) φ(x,y) = 0khi và chỉ khi x= y.
Bổ đề 1.8. [9] Cho X là không gian Banach trơn đều và lồi đều, {xn} và {yn} là hai dãy trong X. Nếu φ(xn,yn) → 0và ít nhất một trong hai dãy {xn} hoặc {yn} bị chặn thìkxn−ynk → 0khin→ ∞.
Bổ đề 1.9. [37] Cho X là không gian Banach lồi đều, r là số thực dương. Giả sử dãy
{x1,x2, . . . ,xN} ⊂ B[0,r]và dãy số thực dươngλ1,λ2, . . . ,λN thỏa mãn∑N
i=1λi = 1.
Khi đó, tồn tại hàm lồi, tăng chặt và liên tục g : [0, 2r) → [0,∞)với g(0) = 0sao cho mọii,j ∈ {1, 2, . . . ,N},i < j, N ∑ k=1 λkxk 2 ≤ N ∑ k=1 λkkxkk2 −λiλjg(||xi−xj||).
Bổ đề 1.10. [55] Cho C là tập lồi đóng khác rỗng của khơng gian Banach trơn X, x, y, z∈ Xvà λ∈ [0, 1]. Khi đó, với mỗi số thựcacho trước,
D := {v ∈ C : φ(v,z) ≤λφ(v,x) + (1−λ)φ(v,y) +a}
ChoX là không gian Banach thực. Xét phiếm hàmV : X×X∗ → < xác định bởi
V(x,x∗) = ||x||2−2hx,x∗i+||x∗||2. Rõ ràngV(x,x∗) = φ(x,J−1x∗). Ta có đánh giá sau.
Bổ đề 1.11. [9] Cho X là không gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn với khơng gian đối ngẫuX∗. Khi đó
V(x,x∗) +2DJ−1x−x∗,y∗E ≤ V(x,x∗+y∗), ∀x ∈ X và ∀x∗,y∗ ∈ X∗.
1.2 Phương trình tốn tử trong khơng gian Banach
1.2.1 Các khái niệm liên tục của toán tử phi tuyến
Trong mục này, chúng ta nhắc lại một số khái niệm về tính liên tục và khả vi của toán tử. ChoX vàY là các khơng gian Banach. Xét tốn tử A : X → Y, miền xác định của tốn tử A, kí hiệu D(A)hoặc Dom(A), xác định bởi
D(A) = {x ∈ X : A(x)6=Ø}, và miền giá trị củaA là
R(A) = {A(x) : x∈ D(A)}.
Tốn tử Ađược gọi là tuyến tính nếu 1) A(x+y) = A(x) +A(y) và 2) A(αx) =
αA(x)với mọix,y∈ D(A),α ∈ <.
Định nghĩa 1.4. Toán tử A : X →Y được gọi là
1) liên tục tại x0 ∈ D(A)nếu A(x)→ A(x0)khix → x0;
2) liên tục yếu theo tia hayh-liên tục (hemicontinuous) tạix0nếu A(x0+th) *
A(x0)khit → 0+ với mọih ∈ D(A)và x0+th ∈ D(A);
3) bán liên tục (demicontinuos) tạix0 ∈ D(A)nếu A(x) * A(x0)khix → x0; 4) liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số dương L sao cho ||A(x)−A(y)|| ≤
5) compact trên tập Ω ⊂ D(A) nếu A biến mỗi tập giới nội của Ω thành tập compact tương đối trongY;
6) hoàn toàn liên tục trên tậpΩ ⊂ D(A)nếu Aliên tục và compact trongΩ; 7) liên tục yếu theo dãy (sequentially weakly continuous) tại x0 ∈ D(A) nếu
với mọi dãy{xn} ⊂ D(A)sao cho xn * x0 thì A(xn) * A(x0)khin→ ∞. Ta nói tốn tử A có tính chất trên nếu nó thỏa mãn tính chất này tại mọi x0 ∈ D(A). Hiển nhiên, nếu Aliên tục Lipschitz thì nó liên tục, nếu Aliên tục thì bán liên tục, nếu A bán liên tục thì liên tục yếu theo tia. Chú ý rằng điều ngược lại nói chung là khơng đúng. Tốn tử A được gọi là khơng giãn nếu nó liên tục Lipschitz với hằng sốL =1. Nếu Aliên tục Lipschitz với hằng số L∈ (0, 1)thì ta nóiAlà toán tử (ánh xạ) co.
Định nghĩa 1.5. Toán tử A : X →Y được gọi là
1) đóng trên D(A)nếu với mọi dãy{xn} ⊂ D(A)sao choxn → x,A(xn) → y khin → ∞thì x ∈ D(A)và y= A(x);
2) đóng yếu trênD(A)nếu với mọi dãy{xn} ⊂ D(A)sao choxn * x,A(xn) *
ykhin → ∞thìx ∈ D(A)vày= A(x);
3) bán đóng yếu trên D(A) nếu với mọi dãy {xn} ⊂ D(A) sao cho xn *
x,A(xn) → y hoặc xn → x,A(xn) * y khi n → ∞ thì x ∈ D(A) và y = A(x).
1.2.2 Tốn tử khả vi
Toán tử Ađược gọi là khả vi Gˆateaux tạixnếu với mọih ∈ Xtồn tại giới hạn lim
t→0
A(x+th)−A(x)
t =dA(x,h).
Biểu thức dA(x,h) gọi là vi phân Gˆateaux của A tại x. Nếu tồn tại một tốn tử tuyến tính A0(x) : X → Y sao cho dA(x,h) = A0(x)h thì A0(x) gọi là đạo hàm Gˆateaux của toán tử A tại điểm x. Toán tử A được gọi là khả vi Fr´echet tại x ∈ D(A) nếu tồn tại một tốn tử tuyến tính liên tục A0(x) : X → Y sao cho với mọih ∈ X, ta có
trong đóx+h ∈ D(A)và
lim
||h||→0
||w(x,h)||
||h|| = 0.
Khi đó, A0(x)h và A0(x) tương ứng được gọi là vi phân Fr´echet và đạo hàm Fr´echet của toán tử A tại điểm x. Hiển nhiên, nếu A khả vi Fr´echet thì khả vi Gˆateaux, ngược lại nếu Akhả vi Gˆateaux tạixvà liên tục trong lân cậnU(x)nào đó củaxthì Akhả vi Fr´echet tạixvà đạo hàm Fr´echet và đạo hàm Gˆateaux trùng nhau.
1.2.3 Phiếm hàm lồi và dưới vi phân của phiếm hàm lồi
Phiếm hàm ϕ : X → <được gọi là lồi nếu
ϕ(tx+ (1−t)y) ≤ tϕ(x) + (1−t)ϕ(y), (1.7) với mọi x,y ∈ D(ϕ)và t ∈ [0, 1]. Nếu đẳng thức trong (1.7) chỉ xảy ra khi x = y thì ta nóiϕlà lồi chặt. Nếu tồn tại một hàm tăng, liên tụcγ: [0,∞) → <,γ(0) = 0
sao cho
ϕ(tx+ (1−t)y) ≤ tϕ(x) + (1−t)ϕ(y)−t(1−t)γ(||x−y||), ∀x,y ∈ D(ϕ), (1.8) thì ϕ gọi là lồi đều. Đặc biệt nếuγ(t) = ct2, c >0thì ϕ được gọi là lồi mạnh.
Phiếm hàm ϕ được gọi là chính thường (proper functional) nếu tập M(ϕ) := {x∈ D(ϕ) : ϕ(x)6= +∞} 6= ∅.
Phiếm hàm ϕ được gọi là nửa liên tục dưới (tương ứng, dưới yếu) tại x0 ∈ D(ϕ) nếu với mọi dãy {xn} ⊂ D(ϕ) và xn → x0 (tương ứng, xn * x0) thì ϕ(x0) ≤
limn→∞infϕ(xn). Trong khơng gian tuyến tính định chuẩn, ta có ϕ(x) = ||x||2 là phiếm hàm lồi và chuẩn||.||là phiếm hàm nửa liên tục yếu dưới.
Phần tửw ∈ X∗được gọi là dưới gradient (subgradient) của phiếm hàm lồi ϕ
tại điểmx∈ X nếu
ϕ(y) ≥ ϕ(x) +hw,y−xi, ∀y ∈ X. (1.9) Toán tử∂ϕ : X → 2X∗ được gọi là dưới vi phân của phiếm hàm lồi ϕ nếu và chỉ nếu(1.9)thỏa mãn vớiw ∈ ∂ϕ(x). Ta có một số kết quả sau [11].
Bổ đề 1.12. (i) Nếu ϕ(x)là phiếm hàm lồi, khả vi Gˆateaux, thì
ϕ0(x)−ϕ0(y),x−y ≥0, ∀x,y ∈ D(ϕ); (ii) Nếu ϕ(x)là phiếm hàm lồi đều, thì
ϕ0(x)−ϕ0(y),x−y ≥ 2γ(||x−y||), ∀x,y ∈ D(ϕ);
Đặc biệt, nếu ϕ(x)là phiếm hàm lồi mạnh, thì
ϕ0(x)−ϕ0(y),x−y
≥2c||x−y||2, ∀x,y∈ D(ϕ).
Bổ đề 1.13. Cho ϕ là phiếm hàm lồi chính thường trên X. Nếu ϕ khả vi Gateaux tạiˆ x ∈ X, thì tồn tại duy nhất dưới gradient của phiếm hàm ϕtại xvà∂ϕ(x) = {ϕ0(x)}.
Bổ đề 1.14. Phiếm hàm ϕ : X → < đạt cực tiểu tại x ∈ D(∂ϕ)khi và chỉ khi θX∗ ∈
∂ϕ(x).
Bổ đề 1.15. Giả sử phiếm hàm ϕ : X → <lồi chính thường và nửa liên tục dưới. Khi đó, ϕkhả dưới vi phân trênint(Domϕ).
Bổ đề 1.16. [40] Cho C là tập lồi, đóng và khác rỗng trong khơng gian Hilbert thựcH
và g : C → < là hàm lồi, khả dưới vi phân và nửa liên tục dưới trênC. Khi đó, x∗ là nghiệm của bài tốn tối ưu lồimin{g(x): x ∈ C}khi và chỉ khi0∈ ∂g(x∗) +NC(x∗),
trong đó∂g(.)là dưới vi phân của gvà NC(x∗)là nón chuẩn tắc của Ctại x∗.
Chúng tơi nhắc lại rằng nón chuẩn tắc NC(x) củaC tại điểm x ∈ C được xác định bởi
NC(x) = {x∗ ∈ X∗ : hx−y,x∗i ≥ 0, ∀y ∈ C}.
1.2.4 Bài tốn đặt khơng chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh
Trong phần đầu của Chương 2, chúng ta xét phương trình tốn tử
A(x) := F(x)− f =0, x ∈ X, f ∈ Y, (1.10) trong đóF : X → Y là tốn tử vàX,Ylà các khơng gian Banach. Ta có khái niệm sau đây về bài tốn đặt khơng chỉnh.
Định nghĩa 1.6. Cho X,Y là các khơng gian metric. Bài tốn (1.10) được gọi là đặt chỉnh (well-posed) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
1) Bài toán(1.10)giải được với mọi f ∈ Y;
2) Bài tốn(1.10)có nghiệm duy nhất x ∈ Xvới mọi f ∈ Y; 3) Nghiệm x ∈ X phụ thuộc liên tục và vế phải f ∈ Y.
Khái niệm về bài toán đặt chỉnh được J. Hadamard [4] đề xuất trong những năm đầu của thế kỉ 20. Khi ít nhất một trong ba điều kiện 1)−3) khơng thỏa mãn, thì bài tốn(1.10)được gọi là đặt không chỉnh (ill-posed). Một trường hợp rất thường gặp của các bài tốn đặt khơng chỉnh là chúng không ổn định theo nghĩa với thay đổi nhỏ của dữ liệu (F, f) dẫn tới sự thay đổi lớn của nghiệm x ∈ X. Trong các bài toán thực tế, dữ liệu(F, f)khơng biết. Khi đó, chúng ta cần