Nhiều bài toán trong các lĩnh vực của toán học như tối ưu, bất đẳng thức biến phân và phương trình vi phân có thể đưa về dạng
x = T(x), (1.23)
trong đó T là tốn tử phi tuyến xác định trong khơng gian metric. Tập nghiệm của phương trình này được gọi là tập điểm bất động củaT và kí hiệu bởiFix(T). Nếu T là ánh xạ co xác định trong không gian metric đủ X, thì T có duy nhất điểm bất động và dãy lặp Picard {Tn(x)} hội tụ tới điểm bất động của T. Tuy nhiên, nếu T là ánh xạ khơng giãn thì chúng ta phải đặt thêm điều kiện lên T hoặc lên không gian X để đảm bảo sự tồn tại điểm bất động. Từ những năm 60 của thế kỉ 20, việc nghiên cứu lớp các ánh xạ không giãn là một trong những lĩnh vực quan trọng của giải tích phi tuyến và nó có liên quan mật thiết tới lý thuyết toán tử đơn điệu và J - đơn điệu.
1.4.1 Ánh xạ không giãn
Định nghĩa 1.10. Cho C là tập lồi đóng và khác rỗng trong khơng gian Hilbert thực H. Ánh xạT : C → C được gọi là ánh xạ không giãn nếu||T(x)−T(y)|| ≤
||x−y||với mọix,y ∈ C.
Điểm bất động của ánh xạ khơng giãn có thể khơng duy nhất (chẳng hạn ánh xạ đồng nhất) và cũng có thể là tập rỗng (chẳng hạn phép tịnh tiến). Trong không gian Hilbert mọi tốn tử khơng giãn đưa tập lồi đóng giới nộiCvào trong nó, hoặc đưa tập lồi đóng C vào tập compact tương đối T(C), đều có điểm bất động.
Định nghĩa 1.11. Cho C là tập lồi đóng và khác rỗng trong khơng gian Hilbert thựcH. Ánh xạ T :C → Cđược gọi là
1) đóng nếu với mỗi dãy{xn} ⊂Csao cho xn → xvàTxn → ythìTx = y; 2) bán đóng nếu {xn} ⊂ C hội tụ yếu tới x ∈ C và {(I −T)xn} hội tụ mạnh
Ta có kết quả sau đây liên quan tới tính lồi đóng của tập điểm bất độngFix(T) và tính bán đóng của ánh xạ I−T.
Bổ đề 1.24. [45] Giả sửClà tập lồi đóng và khác rỗng trong khơng gian Hilbert thựcH
vàT : C → Clà ánh xạ không giãn. NếuT có điểm bất động thì
(i) Fix(T)là tập con lồi đóng củaC. (ii) I −T bán đóng.
1.4.2 Ánh xạ khơng giãn tiệm cận
Trong những năm gần đây, lý thuyết điểm bất động được phát triển cho lớp các ánh xạ rộng hơn có ý nghĩa cả về phương diện lý thuyết và ứng dụng. Trong luận án này, ngồi lớp các tốn tử khơng giãn, chúng tơi mở rộng nghiên cứu lớp các ánh xạ rộng hơn là ánh xạ tựaφ- không giãn (tiệm cận) trong không gian Banach. Cho C là tập lồi, đóng và khác rỗng của khơng gian Banach X phản xạ, lồi chặt và trơn , T : C → C là một ánh xạ với Fix(T) là tập các điểm bất động của nó. Điểm p ∈ C được gọi là điểm bất động tiệm cận của T nếu tồn tại một dãy
{xn} ⊂ C sao cho xn * p và kxn−Txnk → 0 khi n → +∞. Tập các điểm bất động tiệm cận củaT kí hiệu bởi F(T)˜ . Trong chương2, chúng ta nghiên cứu lớp ánh xạ sau đây.
Định nghĩa 1.12. Ánh xạT :C → C được gọi là
1) không giãn tương đối nếu Fix(T) 6=Ø,Fix(T) = F(T)˜ và
φ(p,Tx)≤ φ(p,x),∀p∈ Fix(T),∀x ∈ C;
2) tựa φ- không giãn (hayh-không giãn tương đối) nếuFix(T) 6= Øvà
φ(p,Tx)≤ φ(p,x),∀p∈ Fix(T),∀x ∈ C;
3) tựa φ-không giãn tiệm cận nếu Fix(T) 6= Ø và tồn tại dãy {kn} ⊂ [1,+∞) với kn → 1khin → +∞sao cho
4) liên tục Lipschitz đều nếu tồn tại hằng số L >0sao cho
kTnx−Tnyk ≤ Lkx−yk,∀n ≥1,∀x,y∈ C.
Rõ ràng, lớp các ánh xạ không giãn tương đối là một lớp con của lớp các ánh xạ tựφ- không giãn và lớp các ánh xạ tựa φ - không giãn là một lớp con của lớp các ánh xạ tựa φ - không giãn tiệm cận. Hơn nữa, đối với lớp các ánh xạ tựa φ - khơng giãn (tiệm cận) thì điều kiệnFix(T) = F(T)˜ được bỏ qua. Các ví dụ minh họa cho Định nghĩa 1.12 có thể được tìm thấy trong [37, 78].
Bổ đề 1.25. [37] Cho X là không gian Banach thực lồi chặt và trơn đều với tính chất Kadec-Klee vàClà tập lồi đóng khác rỗng của X. Giả sử T : C → C là ánh xạ đóng và tựaφ-khơng giãn tiệm cận với dãy {kn} ⊂ [1,+∞),kn → 1. Khi đó Fix(T)là tập con lồi đóng củaC.