3.2 Các phương pháp chiếu
3.2.1 Phương pháp chiếu EGM
Giả sử C là một tập con lồi đóng khác rỗng của khơng gian Hilbert thực H;
{fi}i=1N : C×C → < là một họ các song hàm thỏa mãn điều kiện (A1)¯ −(A4)¯ (trang 47) và
Sj Mj=1 : C → C là một họ các ánh xạ không giãn. Trong mục này, chúng tơi trình bày thuật tốn lai ghép song song tìm nghiệm chung của các bài tốn EP và các bài toán FPP. Giả thiết tập nghiệm
F =∩i=1N EP(fi,C)\∩Mj=1Fix(Sj)
khác rỗng và các song hàm fi, i = 1, . . . ,N thỏa mãn bất đẳng thức kiểu Lips- chitz với cùng cặp hằng số c1 và c2. Theo các Bổ đề 1.24 và 1.32, suy ra các tập
Fix(Sj), j =1, . . . ,Mvà EP(fi,C), i =1, . . . ,Nlà lồi đóng, và do đó Flồi đóng.
Thuật tốn 3.1. (Phương pháp lai ghép EGM song song)
Khởi tạo.Chọn x0 ∈ C, 0 < ρ < min2c1
1,2c1
2
,n := 0và dãy{αk} ⊂ (0, 1)thỏa mãn điều kiệnlim supk→∞αk <1.
Bước 1.GiảiN bài toán lồi mạnh yin =argmin{ρfi(xn,y) + 1
2||xn−y||
2 : y ∈ C}, i = 1, . . . ,N.
Bước 2.GiảiN bài toán lồi mạnh zin =argmin{ρfi(yin,y) + 1 2||xn −y|| 2 : y ∈ C}, i =1, . . . ,N. Bước 3.Tìm trong cáczin, i =1, . . . ,N,xấp xỉ xaxn nhất, tức là ¯ zn =argmax{||zin−xn|| :i =1, . . . ,N}.
Bước 4.Tính các xấp xỉ trung gianunj
ujn = αnxn+ (1−αn)Sjz¯n, j =1, . . . ,M.
Bước 5.Tìm trong cácujn, j =1, . . . ,M,xấp xỉ xa xn nhất, tức là ¯
un =argmax{||unj −xn||: j =1, . . . ,M}.
Bước 6.Xây dựng hai tập con lồi đóng củaC
Cn ={v ∈ C : ||u¯n−v|| ≤ ||xn−v||},
Qn ={v∈ C : hx0−xn,v−xni ≤ 0}.
Bước 7.Tìm phép chiếu
xn+1 = PCn∩Qn(x0).
Bước 8.Nếuxn+1 = xnthì dừng. Ngược lại, đặtn := n+1và quay lạiBước 1.
Gọi in và jn là các chỉ số sao cho z¯n = zinn và u¯n = unjn. Để thiết lập sự hội tụ của của Thuật toán3.1, chúng ta cần các kết quả sau đây
Bổ đề 3.1. [17, 72] Giả sử x∗ ∈ EP(fi,C)vàxn, yi
n, zin, i =1, . . . ,N sinh bởi Bước 1 và Bước 2 của Thuật toán3.1. Khi đó
(i) ρ fi(xn,y)− fi(xn,yin)
≥
yin −xn,yin−y
,∀y∈ C.
(ii) ||zin−x∗||2 ≤ ||xn−x∗||2−(1−2ρc1)||yin−xn||2−(1−2ρc2)||yin−zin||2.
Bổ đề 3.2. Nếu Thuật toán 3.1 đạt đến bước lặp thứ n ≥ 0thì F ⊂ Cn∩ Qn và xn+1
xác định duy nhất.
Chứng minh. Vì C là tập lồi đóng nên, từ định nghĩa của Cn và Qn, các tập này
cũng lồi và đóng. Với mỗix∗ ∈ F, từ tính lồi của||.||2, tính khơng giãn củaSj và Bổ đề3.1, ta có ||u¯n−x∗||2 = ||αnxn+ (1−αn)Sjnz¯n−x∗||2 ≤ αn||xn−x∗||2+ (1−αn)||Sjnz¯n−x∗||2 ≤ αn||xn−x∗||2+ (1−αn)||z¯n−x∗||2 ≤ αn||xn−x∗||2+ (1−αn)||xn −x∗||2 ≤ ||xn−x∗||2. (3.61)
Do đóF ⊂ Cn với mọin ≥0. Chứng minhF ⊂ Cn∩Qn với mọin ≥0được thực hiện tương tự Bước 2 trong Định lý 3.5. Vì Fvà Cn∩Qn là các tập lồi đóng khác rỗng nênPFx0 vàxn+1 := PCn∩Qn(x0)xác định duy nhất.
Bổ đề 3.3. Giả sử Thuật toán3.1kết thúc tại bước lặp thứn <∞thìxn ∈ F.
Chứng minh. Nếu xn+1 = xn thì xn = xn+1 = PCn∩Qn(x0) ∈ Cn. Theo định nghĩa của tậpCn, ta có ||u¯n−xn|| ≤ ||xn−xn|| =0,do đó u¯n = xn. Từ định nghĩa của chỉ số jn, ta được
ujn = xn,∀j =1, . . . ,M.
Điều này cùng với hệ thức unj = αnxn + (1−αn)Sjz¯n và 0 < αn < 1, suy ra xn = Sjz¯n. Với mỗix∗ ∈ F, theo Bổ đề3.1và tính khơng giãn của ánh xạSj, ta thu được
||xn−x∗||2 = ||Sjz¯n−x∗||2 ≤ ||z¯n−x∗||2
≤ ||xn−x∗||2−(1−2ρc1)||yinn −xn||2−(1−2ρc2)||yinn −z¯n||2, hay
Do đó, từ giả thiết0< ρ <minn2c1
1,2c1
2
o
, suy ra xn = yinn = z¯n. Vậyxn = Sjz¯n = Sjxn, hay xn ∈ Fix(Sj) với mọi j = 1, . . . ,M. Hơn nữa, từ đẳng thức xn = z¯n và định nghĩa của chỉ sốin, suy ra xn = zin với mọi i = 1, . . . ,N. Điều này cùng với Bổ đề3.1(ii), suy raxn = yin với mọii =1, . . . ,N. Do vậy,
xn = argmin{ρfi(xn,y) + 1
2||xn −y||
2 :y ∈ C}.
Từ [64, Bổ đề 2.1] và đẳng thức cuối, suy ra xn ∈ EP(fi,C)với mọi i = 1, . . . ,N, do đóxn ∈ F. Bổ đề3.3được chứng minh.
Bổ đề 3.4. Giả sử{xn},
yin ,
zin ,nunjolà các dãy (vơ hạn) sinh bởi Thuật tốn3.1.
Khi đó lim n→∞||xn+1−xn||= n→lim∞||xn−u j n||= lim n→∞||xn−z i n||= lim n→∞||xn−y i n|| =0, vàlimn→∞||xn−Sjxn|| =0.
Chứng minh. Từ định nghĩa của tậpQn và (1.4), suy raxn = PQn(x0). Do đó, với mỗiu ∈ F⊂ Qn, ta có
kxn−x0k2 ≤ ku−x0k2− ku−xnk2 ≤ ku−x0k2. (3.62) Suy ra, dãy{||xn −x0||}bị chặn. Từ(3.61), suy ra dãy{u¯n}, và do đó, dãynujno, cũng bị chặn. Từ(1.3),xn+1 ∈ Qn vàxn = PQnx0, ta có
kxn−x0k2 ≤ kxn+1 −x0k2− kxn+1−xnk2 ≤ kxn+1−x0k2. (3.63) Do đó, dãy {kxn−x0k} khơng giảm, suy ra tồn tại giới hạn hữu hạn của dãy
{kxn −x0k}. Từ(3.63), ta có
kxn+1−xnk2 ≤ kxn+1 −x0k2− kxn−x0k2. Qua giới hạn khin→ ∞, ta thu được
lim
n→∞kxn+1−xnk =0. (3.64)
Vì xn+1 ∈ Cn nên ||u¯n − xn+1|| ≤ kxn+1−xnk. Do đó ||u¯n − xn|| ≤ ||u¯n −
xn+1||+||xn+1−xn|| ≤ 2||xn+1−xn||. Kết hợp điều này với(3.64), suy ra||u¯n−
xn|| →0khin→ ∞. Từ định nghĩa của chỉ số jn, ta có
lim n→∞ ujn−xn = 0, ∀j = 1, . . . ,M. (3.65)
Hơn nữa, với mỗix∗ ∈ F, từ Bổ đề3.1, suy ra ||unj −x∗||2 =||αnxn + (1−αn)Sjz¯n−x∗||2 ≤αn||xn −x∗||2+ (1−αn)||Sjz¯n −x∗||2 ≤αn||xn −x∗||2+ (1−αn)||z¯n−x∗||2 ≤ ||xn −x∗||2 −(1−αn)||(1−2ρc1)||yinn −xn||2 + (1−2ρc2)||ynin −z¯n||2. Do đó (1−αn)(1−2ρc1)||yinn −xn||2 + (1−2ρc2)||yinn −z¯n||2 ≤ ||xn−x∗||2− ||ujn−x∗||2 = ||xn −x∗|| − ||unj −x∗|| ||xn −x∗||+||ujn−x∗|| ≤ ||xn−ujn||||xn−x∗||+||unj −x∗||. (3.66) Kết hợp (3.65), (3.66), tính bị chặn của nunjo, {xn} và lim supn→∞αn < 1,ta thu được lim n→∞ yinn −xn = lim n→∞ yinn −z¯n =0. (3.67) Từ ||z¯n−xn|| ≤ ||z¯n −yinn||+||ynin −xn|| và (3.67), ta có limn→∞kz¯n−xnk = 0. Theo định nghĩa của chỉ sốin, ta thu được
lim n→∞ zin−xn =0, i = 1, . . . ,N. (3.68) Từ Bổ đề3.1và(3.68), lập luận tương tự(3.66), ta có lim n→∞ yin−xn = 0, i =1, . . . ,N. (3.69) Mặt khác, vìujn =αnxn+ (1−αn)Sjz¯n nên ||unj −xn|| = (1−αn)||Sjz¯n−xn|| = (1−αn)||(Sjxn−xn) + (Sjz¯n−Sjxn)|| ≥ (1−αn) ||Sjxn−xn|| − ||Sjz¯n−Sjxn|| ≥ (1−αn) ||Sjxn−xn|| − ||z¯n−xn|| . Do đó ||Sjxn −xn|| ≤ ||z¯n−xn||+ 1 1−αn||u j n −xn||.
Điều này cùng với(3.65),(3.68)vàlim supn→∞αn < 1, suy ra lim n→∞ Sjxn −xn = 0, j = 1, . . . ,M. (3.70) Bổ đề3.4được chứng minh.
Bổ đề 3.5. Giả sửx¯ là một điểm tụ yếu của dãy {xn}. Khi đó
¯
x ∈ F =∩i=1N EP(fi,C)∩∩Mj=1Fix(Sj).
Chứng minh. Vì {xn} bị chặn nên tồn tại một dãy con của dãy {xn} hội tụ yếu tới x. Khơng giảm tổng qt, ta có thể viết¯ xn * x. Từ Bổ đề 3.4, suy ra¯ yin *
¯
x, zin * x. Từ¯ (3.70)và tính bán đóng của I −Sj, ta cóx¯ ∈ Fix(Sj) với mọi j. Do đó,x¯ ∈ TM j=1Fix(Sj). Từ Bổ đề1.16và yin = argmin{ρfi(xn,y) + 1 2||xn−y|| 2 : y ∈ C}, suy ra 0 ∈ ∂2 ρfi(xn,y) + 1 2||xn −y|| 2 (yin) +NC(yin). Do đó, tồn tạiw ∈ ∂2fi(xn,yni)vàw¯ ∈ NC(yin)sao cho
ρw+yin−xn+w¯ =0. (3.71) Vì w¯ ∈ NC(yin) nên ¯ w,y−yi n
≤ 0 với mọiy ∈ C. Điều này kết hợp với (3.71), suy ra ρ D w,y−yinE ≥Dyin−xn,yin−yE, ∀y∈ C. (3.72) Dow ∈ ∂2fi(xn,yin)nên fi(xn,y)− fi(xn,yin) ≥ Dw,y−yinE,∀y ∈ C. (3.73) Từ(3.72)và(3.73), ta được ρ fi(xn,y)− fi(xn,yin)≥ Dyin−xn,yin−yE,∀y∈ C. (3.74) Thếy =zin ∈ Cvào bất đẳng thức cuối, ta được
ρ
Từ bất đẳng thức kiểu Lipschitz của fi và (3.75), ta có
ρfi(yin,zin) ≥ ρfi(xn,zin)− fi(xn,yni )−c1ρ||yin−xn||2−c2ρ||zin−yin||2. ≥ Dyin−xn,yni −zinE−c1ρ||yin−xn||2−c2ρ||zin−yin||2. (3.76) Tương tự (3.74), từ định nghĩa củazim, ta thu được
ρ fi(yin,y)− fi(yin,zin) ≥Dzin−xn,zin−yE,∀y∈ C. Do đó ρfi(yin,y)≥ ρfi(yin,zin) +Dzin−xn,zin−yE,∀y ∈ C. (3.77) Kết hợp (3.76) và (3.77), ta có ρfi(yin,y) ≥ Dyni −xn,yin−zinE−c1ρ||yin−xn||2−c2ρ||zin−yin||2 +Dzin−xn,zin −yE.
Cho n → ∞ và sử dụng (A3)¯ , Bổ đề 3.4 và ρ > 0, suy ra fi(x,¯ y) ≥ 0 với mọi y ∈ C và i = 1, . . . ,N. Do đó, x¯ ∈ ∩i=1N EP(fi,C) vàx¯ ∈ F. Bổ đề3.5 được chứng minh.
Định lý 3.6. ChoClà tập con lồi đóng khác rỗng của khơng gian Hilbert thựcH. Giả sử
{fi}i=1N là họ hữu hạn các song hàm thỏa mãn các điều kiện(A1¯ )−(A4¯ )(trang 47) và
Sj Mj=1 là họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trênC.Hơn nữa, giả sử rằng tập nghiệmF
khác rỗng. Khi đó, dãy (vơ hạn){xn}sinh bởi Thuật tốn3.1hội tụ mạnh tớix† = PFx0. Chứng minh. Từ Bổ đề 3.4, suy ra dãy {xn} bị chặn. Giả sử x¯ là điểm tụ yếu bất kì của dãy {xn}. Khi đó, tồn tại một dãy con nxnjo của {xn} sao cho xnj * x.¯ Theo Bổ đề 3.5, suy ra x¯ ∈ F. Bây giờ, ta chứng minh dãy {xn} hội tụ mạnh tới x† := PFx0. Thật vậy, từ x† ∈ F và (3.62), ta được ||xnj −x0|| ≤ ||x†−x0||. Kết hợp bất đẳng thức này vớixnj * x¯ và tính nửa liên tục yếu dưới của chuẩn ||.||, ta thu được
||x¯−x0|| ≤ lim inf
j→∞||xnj −x0|| ≤ lim supj→∞||xnj −x0|| ≤ ||x
†−x0||.
Theo định nghĩa của x†, suy ra x¯ = x† và limj→∞||xnj −x0|| = ||x† −x0||. Do
đó, từ xnj −x0 * x† −x0 và tính Kadec-Klee của khơng gian Hilbert H, ta có xnj −x0 → x† −x0, hay xnj → x† khi j → ∞. Vìx¯ là điểm tụ yếu bất kì của dãy
Nhận xét 3.1. Trong Thuật tốn3.1, bằng cách thay phép lặp Mann trong Bước 4 bởi
phép lặp Halpern và tậpCn bởi
Cn = {v ∈ C : ||u¯n−v||2 ≤ αn||x0−v||2+ (1−αn)||xn−v||2},
chúng ta thu được thuật toán hội tụ mạnh dưới giả thiết của Định lý3.6vàlimn→∞αn = 0. Cũng trong Thuật toán3.1, thay các Bước 4 và 5 bởi tổ hợp lồi của toán tử đơn vị I và các ánh xạSj, j =1, . . . ,N, ta thu được kết quả tương tự.