3.3 Phương pháp tìm kiếm theo tia Armijo
3.4.2 Thử nghiệm số cho phương pháp chiếu EGM
Trong mục này, chúng tơi trình bày một ví dụ số minh họa sự hội tụ của Thuật tốn3.1 trong khơng gian Hilbert H = <1. Cho tập ràng buộc C := [0, 1] ⊂ H và các song hàm xác định bởi fi(x,y) := Bi(x)(y−x),i = 1, . . . ,N, trong đó Bi(x) = 0nếu0≤ x ≤ ξi,vàBi(x) = exp(x−ξi) +sin(x−ξi)−1nếuξi ≤ x≤ 1 với0 < ξ1 < . . . < ξN < 1. Dễ dàng kiểm tra các song hàm fi, i = 1, . . . ,N thỏa mãn các điều kiện(A1)¯ −(A4)¯ với các hằng sốc1 = c2 =2. Hơn nữa
fi(x,y) = Bi(x)(y−x) ≥0, ∀y ∈ [0, 1] khi và chỉ khi0 ≤ x≤ ξi, tức là,EP(fi,C) = [0,ξi]. Do đó∩N
i=1EP(fi,C) = [0,ξ1]. Xét các ánh xạSj :C → C xác định bởi
Sjx := xjsinj−1(x)
2j−1 , j =1, . . . ,M.
Các ánh xạ này không giãn vàF(S1) = [0, 1],Fix(Sj) = {0}, j =2, . . . ,M.Do đó F = ∩Ni=1EP(fi,C)\∩Mj=1Fix(Sj)= {0}.
Theo Thuật tốn3.1, ta có yin =arg min ρBi(xn)(y−xn) + 1 2(y−xn) 2 : y∈ [0; 1] .
Bằng tính tốn đơn giản, suy ra yin = xn −ρBi(xn), i = 1, . . . ,N. Tương tự, ta cũng có zin = xn −ρBi(yin), i = 1, . . . ,N.Từ các xấp xỉ
zin , ta tìm được z¯n. Do đó
ujn = αnxn + (1−αn)z¯jnsinj−1(z¯n)
Bảng 3.2: Kết quả số cho Thuật toán 3.1
TOL Tp Ts
10−5 5.23 9.98
10−6 5.86 11.25
10−8 7.57 14.33
Từ đó, tìm được xấp xỉu¯n. Theo định nghĩa củaCnvàQn, ta cóCn =
0,xn+2un¯ , Qn = [0,xn].Do đóCn∩Qn = 0, min xn,xn+2un¯ .Dễ dàng thấy rằngu¯n ≤ xn, suy ra xn+un¯ 2 ≤ xn. Do đóCn∩Qn = 0,xn+2un¯
.Từ định nghĩa củaxn+1, ta thu được xn+1 = xn +u¯n
2 .
Trong thử nghiệm số này, chúng ta chọnx0 := 1;n := 1;ρ := 1/5;αn := 1/(n+ 1);ξi := i/(N+1),i = 1, . . . ,N; N := 2×106; M := 3×106;TOL := 10−l, l = 5, 6, 8. Thời gian (giây) thực hiện song song (Tp - 2 bộ xử lý) và tuần tự (Ts) của Thuật toán 3.1 được cho trong Bảng 3.2 với các sai số TOL cho trước.