trình tốn tử
Như đã trình bày trong phần trước, bài tốn EP về mặt hình thức rất đơn giản nhưng nó chứa đựng nhiều mơ hình tốn học khác nhau, như trong kinh tế tài chính, lý thuyết biến phân, lý thuyết điểm bất động, lý thuyết điều khiển tối ưu. Trong mục này, chúng tơi điểm qua một số nét chính về mối liên hệ giữa bài toán EP, bài toán VIP, bài tốn FPP và bài tốn giải hệ phương trình tốn tử. Chúng tơi trình bày trong khơng gian HilbertH với tích vơ hướng h., .i. Đối với không gian
Banach, chúng ta chỉ cần thay tích vơ hướng bằng tích đối ngẫu và thu được kết quả tương tự. Nhắc lại bài toán EP cho song hàm f : C×C → < là tìm x∗ ∈ C sao cho
f(x∗,y) ≥0, ∀y ∈ C, (1.27)
trong đóClà tập lồi đóng trong khơng gian Hilbert H.
Cho A : C → H là toán tử phi tuyến và đặt f(x,y) = hA(x),y−xi thì bài tốn EP(1.27)trở thành bài tốn VIP , tức là tìm x∗ ∈ Csao cho
hA(x∗),y−x∗i ≥ 0, ∀y∈ C. (1.28) Hiển nhiên, nếuC = H thì bất đẳng thức biến phân(1.28)trở thành bài tốn giải phương trình tốn tử
A(x) = 0. (1.29)
ChoT : C → C là một ánh xạ và đặt f(x,y) = hx−T(x),y−xi. Khi đó bài tốn EP(1.27)trở thành bài toán FPP cho ánh xạT, tức là tìm x∗ ∈ Csao cho
x∗ = T(x∗), (1.30)
và bài tốn này tương đương với bài tốn giải phương trình tốn tử (1.29) với A(x) = x−T(x). Nếu T là ánh xạ khơng giãn thì A = I −T là 1/2 - đơn điệu mạnh ngược. Ngược lại nếuAlàα- đơn điệu mạnh ngược thì tốn tửT = I−λA
là khơng giãn vớiλ∈ (0, 2α)và bài toán VIP(1.28)tương đương với bài toán FPP cho ánh xạPCT, tức là tìmx∗sao cho
x∗ = PC(x∗−λA(x∗)), (1.31)
trong đóPC là phép chiếu metric lên tậpC. Đây là cơ sở để xây dựng thuật toán lặp giải bài toán VIP bằng cách sử dụng các thuật toán lặp điểm bất động cho ánh xạ không giãn. Trong luận án này, với các giả thiết khác nhau, chúng ta xem xét các phương pháp khác nhau. Có thể đưa bài tốn VIP hoặc bài tốn EP về bài tốn FPP cho ánh xạ khơng giãn, tuy nhiên, chúng ta cần đặt thêm giả thiết lên toán tử hoặc song hàm và các giả thiết này thường là rất mạnh. Đó là lý do tại sao chúng ta nên xử lý trực tiếp từng bài toán.