1.3 Phương trình với tốn tử J đơn điệu
1.3.1 Toán tử J đơn điệu (accretive) và toán tử đơn điệu
Trong mục này, chúng ta nhắc lại một số khái niệm về toán tửJ - đơn điệu và toán tử đơn điệu. Xét toán tửA : D(A) ⊂ X → X, tập
G(A) = {(x,A(x)) ⊂ X×X : x∈ D(A)}
gọi là đồ thị của toán tửA. Toán tử Ađược gọi là bức nếu|hA(x),Jxi|/||x|| → ∞ khi||x|| → ∞.
Định nghĩa 1.7. Toán tử A : X → X được gọi là 1) J - đơn điệu (hoặc accretive), nếu
hA(x)−A(y),J(x−y)i ≥ 0 ∀x,y∈ X;
2) J - đơn điệu cực đại, nếu nó là J - đơn điệu và đồ thị của nó khơng là tập con thực sự của đồ thị của bất kì tốn tử J - đơn điệu nào;
3) m - J - đơn điệu, nếu nó là J - đơn điệu và R(A+αI) = X với mọi α > 0, trong đó I là tốn tử đơn trị trong khơng gianX;
4) J - đơn điệu đều, nếu tồn tại một hàm tăng chặt ψ : <+
∗ → <+
∗,ψ(0) = 0, sao cho
hA(x)−A(y),J(x−y)i ≥ ψ(||x−y||) ∀x,y ∈ X; (1.15) 5) J- đơn điệu mạnh, nếu tồn tại hằng số dươngcsao cho(1.15)thỏa mãn với
ψ(t) = ct2;
6) J - đơn điệu mạnh ngược, nếu tồn tại hằng số dươngcsao cho
hA(x)−A(y),J(x−y)i ≥ c||A(x)−A(y)||2 ∀x,y∈ X. Ta có kết quả sau:
Bổ đề 1.17. Nếu A : X → X là toán tử J - đơn điệu và h- liên tục vớiD(A) = Xthì A
là J - đơn điệu cực đại.
Trong phần đầu tiên của Chương 2, chúng ta tập trung vào lớp toán tử sau đây.
Định nghĩa 1.8.Toán tử liên tục A : X → Xđược gọi làJ- đơn điệuϕ- đều ngược (hay đơn giản làJ- đơn điệu đều ngược), nếu tồn tại một hàmϕ : <+× <+∗ → <+∗
liên tục, tăng chặt theo biến thứ hai và ϕ(s,t) = 0 khi và chỉ khi t = 0với mỗi s> 0cố định, sao cho, với mọi R >0vàx,y∈ X, kxk, kyk ≤ R, ta có
hA(x)−A(y),J(x−y)i ≥ ϕ(R,kA(x)−A(y))k). (1.16) Chú ý rằng lớp các toán tử J - đơn điệu mạnh ngược là lớp con thực sự của lớp các toán tử J - đơn điệu đều ngược. Ta xem xét một số ví dụ sau đây về tốn tử J - đơn điệu đều ngược.
Ví dụ 1.1. Mọi tốn tử J - đơn điệu mạnh ngược là J - đơn điệu đều ngược, do đó là J - đơn điệu. Thật vậy, cho A là toán tử J - đơn điệu mạnh ngược với hằng số c, thì A liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitzc−1 và bất đẳng thức(1.16)thỏa mãn với hàmϕ(s,t) = ct2.
Ví dụ 1.2. ChoT là tốn tử khơng giãn trong khơng gian Banach trơn đều và lồi đềuX. Khi đó A := I−T là tốn tử liên tục Lipschitz. Hơn nữa, theo [10], ta có
hA(x)−A(y),J(x−y)i ≥ L−1R2δX
kA(x)−A(y)k 4R
∀x,y ∈ X,kxk,kyk ≤ R, trong đóL ∈ (1; 1.7)là hằng số Figiel và δX(e)là mô-đun lồi củaX. Ta thấy rằng
e := kA(x)−A(y)k4R ≤1với mọix,y ∈ X;kxk,kyk ≤ Rvà bất đẳng thức(1.16)thỏa mãn với hàmϕ(s,t) = L−1s2δX 4st ,s∈ <+;t ∈ [0; 2s].
Ví dụ 1.3. Giả sử khơng gian Banach X trong Ví dụ 1.2 là một trong các khơng gian Lp,lp,Wpm, trong đó1 < p < ∞. Khi đó X trơn đều và lồi đều. Hơn nữa, ta biết rằng (xem [11]) δX(t) ≥ p−1 16 t 2, 1 < p<2; δX(t) ≥ 1 p2pt p, p≥2. Do đó, với mọix,y∈ X,kxk,kyk ≤ R, ta có
hA(x)−A(y),J(x−y)i ≥ p−1
256L kA(x)−A(y)k
2, 1< p <2;
hA(x)−A(y),J(x−y)i ≥ 1 Lp8p
kA(x)−A(y)kp
Rp−2 ,p ≥2.
Vậy, khi T : X → X là tốn tử khơng giãn thì tốn tử A = I −T là J - đơn điệu mạnh ngược nếu1 < p <2, và J - đơn điệu đều ngược với ϕ(s,t) = pL8tppsp−2,nếu p≥ 2.
Bây giờ ta xét toán tử A : X → X∗. Đồ thị của Alà tập hợp G(A) = {(x,A(x)) ∈ X×X∗ : x ∈ D(A)}.
Tương tự định nghĩa tốn tử J - đơn điệu, ta có định nghĩa về tốn tử đơn điệu sau đây.
Định nghĩa 1.9. Toán tử A : X → X∗được gọi là 1) đơn điệu, nếu
hA(x)−A(y),x−yi ≥ 0 ∀x,y ∈ X;
2) đơn điệu cực đại, nếu nó là đơn điệu và đồ thị của nó khơng là tập con thực sự của đồ thị của bất kì tốn tử đơn điệu nào;
4) đơn điệu đều, nếu tồn tại một hàm tăng chặt ψ : <+
∗ → <+
∗,ψ(0) = 0,sao cho
hA(x)−A(y),x−yi ≥ ψ(||x−y||) ∀x,y ∈ X; (1.17) 5) đơn điệu mạnh, nếu tồn tại hằng số dương c sao cho (1.17) thỏa mãn với
ψ(t) = ct2;
6) đơn điệu mạnh ngược, nếu tồn tại hằng số dươngcsao cho
hA(x)−A(y),x−yi ≥ c||A(x)−A(y)||2 ∀x,y ∈ X.
Trong khơng gian Hilbert H, khái niệm về tốn tử J - đơn điệu và toán tử đơn điệu là trùng nhau. Khi đó, nếu A là η - đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz với hằng số L > 0thì A là η/L2 - đơn điệu mạnh ngược. Nếu A là α - đơn điệu mạnh ngược thì Alà 1/α - liên tục Lipschitz và I −λAlà ánh xạ không giãn với
λ∈ (0, 2α). Nếu T khơng giãn thì A = I−Tlà1/2- đơn điệu mạnh ngược.
1.3.2 Phương trình với tốn tử J - đơn điệu
Giả sửX là khơng gian Banach có tính chất xấp xỉ, A : X → Xlà toán tử J - đơn điệu với miền xác định D(A), J : X → X∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc. Chúng ta xét phương trình
Ax= f, (1.18)
trong đó f ∈ X. Giả sử tập nghiệmS của (1.18) khác rỗng. Ta có kết quả sau về tính đặt chỉnh của phương trình hiệu chỉnh.
Bổ đề 1.18. [11] Giả sử khơng gian BanachXcó tính xấp xỉ, tốn tử A : X → Xlà toán tử J - đơn điệu vàh-liên tục vớiD(A) = X và ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : X → X∗
liên tục và liên tục yếu theo dãy. Khi đó, bài tốn giải phương trình
A(x) +αx = f (1.19)
với tham số dươngαvà f ∈ X là đặt chỉnh.
Tính giải được duy nhất của phương trình(1.19)được thiết lập trong [11]. Gọi xα,i(i = 1, 2)là nghiệm của phương trình (1.19)ứng với vế phải f = fi,i = 1, 2. Khi đó ta có đánh giá ||xα,1−xα,2|| ≤ ||f1−f2||
α . Do đó, nghiệm xα của phương trình(1.19)phụ thuộc liên tục vào vế phải f.
Bổ đề 1.19. ( [24, Định lý 2.1]). Cho Xlà một không gian Banach thực lồi chặt và phản xạ với chuẩn khả vi Gˆateaux và A là ánh xạ m - J - đơn điệu trên X. Khi đó với mỗi
α > 0vày ∈ X cố định, phương trình A(x) +αx = y có nghiệm duy nhất xα. Ngồi ra, nếu tập nghiệmSAcủa phương trình A(x) = ykhác rỗng, thì dãy{xα}hội tụ mạnh tớixb∗ là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân sau
hxb∗,J(xb∗−x∗)i ≤ 0,∀x∗ ∈ SA.
Hơn nữa, ta có đánh giá||xδ
α−xα|| ≤ δ/α,trong đóxδ
αlà nghiệm duy nhất của phương trình A(x) +αx = yδ,với α >0bất kỳ vàyδ ∈ X thỏa mãn||yδ−y|| ≤ δ.
Chú ý rằng trong Bổ đề1.19, chúng ta khơng cần giả thiết về tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J.
Bổ đề 1.20. Toán tử J - đơn điệu A : D(A)⊂ X → Xlà J - đơn điệu cực đại khi và chỉ khi từ bất đẳng thức
hA(x)− f,J(x−x∗)i ≥ 0, ∀x ∈ D(A),
suy rax∗ ∈ D(A)và A(x∗) = f.
Bổ đề 1.21. Nếu A : D(A) ⊂ X → X là toán tử đơn điệu cực đại trên D(A) thì tập nghiệmS(A, f) := {x ∈ D(A) : A(x) = f} với f ∈ R(A)là lồi, đóng và khác rỗng.
Trong mục đầu tiên của Chương 2, chúng ta nghiên cứu hệ phương trình toán tử
Ai(x) := Fi(x)− fi =0, x ∈ X, i =1, . . . ,N, (1.20) trong đó, fi ∈ Xvà Fi : D(Fi) ⊂ X → X(và do đó Ai) là các toán tử J - đơn điệu đều ngược với hàm sốϕi tương ứng. Tuy nhiên, không giảm tổng quát, chúng ta giả thiết các toán tửFi là J - đơn điệu đều ngược với cùng một hàm số ϕ. Chúng
ta có kết quả sau đây (xem [13]).
Bổ đề 1.22. Giả sử Ai (i = 1, 2, . . . ,N) là các toán tử J - đơn điệu đều ngược với cùng hàm số ϕ. Nếu hệ phương trình tốn tử(1.20)tương thích thì nó tương đương với phương trình sau A(x):= N ∑ i=1 Ai(x) = 0. (1.21)
Chứng minh. Hiển nhiên mọi nghiệm của hệ phương trình (1.20)đều là nghiệm của phương trình (1.21). Ngược lại, giả sử y là nghiệm bất kì của phương trình (1.21), tức là
N ∑ i=1
Ai(y) = 0.
Gọizlà nghiệm nào đó của hệ phương trình(1.20), tức làAi(z) = 0, i =1, 2 . . .N. Khi đó,∑N
i=1(Ai(y)−Ai(z)) = 0. Vì Ai là J - đơn điệu ϕ - đều ngược nên ta thu được N ∑ i=1 ϕ(R,kAi(y)−Ai(z)k) ≤ N ∑ i=1 hAi(y)−Ai(z),J(y−z)i = 0,
trong đó R = max{kyk,kzk}. Do vậy ϕ(R,kAi(y)−Ai(z)k) = 0, từ tính chất của ϕ suy ra Ai(y) = Ai(z) = 0, i = 1, 2, . . .N hay ylà nghiệm của hệ phương trình(1.20).
Chúng ta đặt hai nhóm điều kiện sau đây lên không gian X, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J, và các toán tử Ai (i = 1, 2 . . . ,N).
Điều kiện (AJX)
A1. Ai, i = 1, 2, . . . ,N,là các toán tử J - đơn điệu ϕ- đều ngược với D(Ai) = X; A2. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J liên tục và liên tục yếu theo dãy;
A3. Xlà không gian Banach trơn, phản xạ và có tính chất xấp xỉ.
Điều kiện (AX)
B1. Ai, i =1, 2, . . . ,N,là các toán tửm- J - đơn điệu vàϕ - đều ngược với D(Ai) = X;
B2. Xlà không gian Banach trơn đều và lồi đều.
Cùng với phương trình(1.21), chúng ta xét phương trình hiệu chỉnh sau đây A(x) +αnx =
N ∑ i=1
Ai(x) +αnx =0. (1.22)
Bổ đề 1.23. Giả sử điều kiệnAJXhoặcAXthỏa mãn. Khi đó
(ii) kxn∗k ≤2kxk, trong đób xblà phần tử bất kì trong tập nghiệm S.
(iii) x∗n → xb∗ khin → +∞, trong đó xb∗ là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phânhxb∗,J(xb∗−x∗)i ≤ 0,∀x∗ ∈ S. (iv) x∗n−x∗n+1≤ 2kxb∗k |αn+1−αn| αn . (v) kAi(xn∗)k ≤ ϕ−1R 6αnkxb∗k2, i = 1, 2, . . . ,N, trong đó R > 0 là một số cố định thỏa mãnR ≥ 2kxb∗kvà ϕ−1s là hàm ngược của ϕ(s,t)ứng với biến thứ hai
t khi cố địnhs>0.
Chứng minh. 1. Giả sử điều kiện AJX thỏa mãn. Xét phương trình hiệu chỉnh (1.22) với A = ∑N
i=1 Ai. Các chứng minh (i)−(iv) đã được chỉ ra chi tiết trong [11]. Ta có N ∑ i=1 (Ai(x∗n)−Ai(xb∗)) +αnx∗n =0. Do đó N ∑ i=1 hAi(x∗n)−Ai(xb∗),J(x∗n−xb∗)i+αnhx∗n,J(x∗n−xb∗)i= 0.
Từ (ii)kx∗nk ≤ 2kxb∗k,suy ra kx∗n−xb∗k ≤ 3kbx∗k. Sử dụng tính J - đơn điệu đều ngược củaAi, ta thu được
N ∑ i=1
ϕ(R,kAi(x∗n)−Ai(xb∗)k) ≤ −αnhx∗n,J(x∗n−xb∗)i ≤ αn||x∗n| |.||x∗n−xb∗| |,
trong đó R ≥ 2kxb∗k. Bất đẳng thức cuối dẫn tới đánh giá ϕ(R,kAi(x∗n)k) ≤
6αnkxb∗k2. Do đókAi(xn∗)k ≤ ϕ−1R 6αnkxb∗k2.
2. Giả sử điều kiện AX thỏa mãn. Từ tính J - đơn điệu đều ngược của các toán tử Ai, suy ra chúng liên tục và do đó bị chặn địa phương. Mặt khác Ai,i = 1, . . .N, là m - J - đơn điệu, D(Ai) = X, và X, X∗ lồi đều, nên theo Định lý 1.15.22 [11], toán tử A = ∑N
i=1Ai là m - J - đơn điệu. Áp dụng Bổ đề 1.19 cho phương trình (1.22), ta thu được nghiệm hiệu chỉnhx∗n hội tụ mạnh tớixb∗. Các kết luận còn lại được chứng minh tương tự phần 1.