Trong phần này, chúng ta xét một ví dụ số đơn giản nhằm so sánh phương pháp lai ghép song song trong Định lý 2.5 (PHM) với phương pháp lai ghép tuần tự của Liu [60] (LSM). Các thử nghiệm được thực hiện trong cả hai chế độ tuần tự và song song trên bó máy tính. Xét X = <là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng hx,yi := xy và chuẩn ||x|| := |x| với mọi x,y ∈ X và tập ràng buộc C := [0, 1]. Trong trường hợp này, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J = I và phiếm hàm Lyapunov φ(x,y) = |x−y|2. Cho hai dãy số dương 0 < t1 < . . . < tN < 1và si ∈ (1,1−t1
i], i =1, . . . ,N, chẳng hạn, dãy{si}N
i=1 vớisi = ∑mik=0tki trong đó các số nguyên dươngmi ≥ 1với mọi i = 1, . . . ,N. Các ánh xạ Ti : C → C,i = 1, . . . ,N xác định như sau: Ti(x) = 0nếu x ∈ [0,ti] và Ti(x) = si(x−ti) nếu x ∈ [ti, 1]. Dễ thấy, Fix(Ti) = {0},φ(Ti(x), 0) = |Ti(x)|2 ≤ |x|2 = φ(x, 0) với mỗi x ∈ C và
|Ti(1)−Ti(ti)| = si(1−ti) > |1−ti|.Do đó, các ánh xạTi là tựa φ- khơng giãn, nhưng không phải là ánh xạ không giãn. Theo Định lý2.5, dãy lặp{xn}xác định
bởi x0 ∈ C,C0 :=C, yin = αnxn+ (1−αn)Tixn,i =1, 2, . . . ,N, ¯
yn =arg max1≤i≤N|yin−xn| ,
Cn+1 :={v ∈ Cn : |v−y¯n| ≤ |v−xn|}, xn+1 = ΠCn+1x0,n≥ 0,
hội tụ mạnh tớix† := 0với dãy{αn} được chọn trong đoạn[0, 1]và αn → 0 khi n→ ∞.Bắt đầu từ tậpC0 =C = [0, 1], ta có
C1 = {v ∈ C0 : 2(y¯0 −x0)(x0+y¯0
2 −v) ≤0}. (2.57)
Từ chứng minh của Định lý2.5, suy raF = {0} ⊂ C1,do đó(y¯0−x0)(x0+y¯0
2 )≤ 0. Suy ray¯0 ≤ x0. Nếuy¯0 = x0 thì từ định nghĩa của chỉ số i0, ta thấy yi0 = x0 với mọii = 1, ...,N. Hơn nữa, vìyi0 = α0x0+ (1−α0)Tix0, ta được x0 = α0x0+ (1−
α0)Tix0,i = 1, . . . ,N, do đó, x0 là điểm bất động chung cần tìm và thuật tốn kết thúc tại bước n = 0. Bây giờ, giả sử rằng y¯0 < x0. Khi đó, từ (2.57), suy ra C1 = [0,x0+y¯0
2 ]và x1 = ΠC1x0 = x0+y¯0 2 .
Giả sử tại bước lặp thứ n(n ≥ 1), hoặc xn−1 là điểm bất động chung của Ti,i = 1, . . . ,Nvà thuật toán của ta kết thúc tại bước lặp thứn−1, hoặcCn = [0,xn−1+2yn−1¯ ] và xn = ΠCnx0 = xn−1+yn−¯ 1
2 . Theo định nghĩa của Cn+1, ta có Cn+1 = {v ∈ Cn :
2(y¯n−xn)(xn+2yn¯ −v) ≤0} hoặc tương đương với Cn+1 = [0,xn−1+y¯n−1 2 ]∩ {v ∈ [0, 1]: 2(y¯n −xn)( xn +y¯n 2 −v) ≤0}. (2.58) Vì F = {0} ⊂ Cn+1, ta thấy rằng (y¯n −xn)(xn+2yn¯ ) ≤ 0, do đó y¯n ≤ xn. Nếu ¯
yn = xn thì theo định nghĩa của chỉ số in, ta được yin = xn với mọi i = 1, ...,N. Mặt khácyin = αnxn+ (1−αn)Tixn, do vậyxn = αnxn+ (1−αn)Tixn. Từ đó suy
ra xn là điểm bất động chung của họ toán tử {Ti}i=1N và thuật toán kết thúc tại bước lặp thứn. Trong trường hợp còn lạiy¯n < xn,từ(2.58), suy ra
Cn+1 = [0,xn−1+y¯n−1 2 ]∩[0, xn+y¯n 2 ]. (2.59) Chú ý rằng xn+2yn¯ < xn = xn−1+yn−¯ 1 2 và sử dụng (2.59), suy ra Cn+1 = [0,xn+2yn¯ ] vàxn+1 =ΠCn+1x0 = xn+2yn¯ .
Đối với thuật toán tuần tự của Liu [60], tại bước lặp thứ n, chúng ta cần tìm yn := αnx0 + (1−αn)Tknxn, trong đó kn = n(mod N) + 1. Quan sát rằng 0 ≤
Tknxn ≤ xn ≤ 1,khi đó nếu xn = Tknxn thì xn là điểm bất động củaTkn,do đó nó cũng là điểm bất động của họ{Ti}N
i=1.Ngược lại, nếuTknxn < xn thì xn+1 =min{xn, αnx 2 0 + (1−αn)x2 n −y2 n 2(αnx0 + (1−αn)xn−yn)}.
Thử nghiệm số được thực hiện trên bó máy tính LINUX cluster 1350 với 8 node tính tốn. Mỗi node chứa 2 nhân Intel Xeon dual core 3.2 GHz, 2GBRam. Chương
Bảng 2.1: Thử nghiệm cho hai phương pháp PHM và LSM
TOL αn = n+11 αn = 2+log1 n αn = 101n
Tp Ts TL Tp Ts TL Tp Ts TL 10−5 1.06 1.90 Slow 1.27 2.52 Slow 0.84 1.68 Slow 10−6 1.26 2.10 - 1.48 2.95 - 1.05 1.90 - 10−8 1.47 2.74 - 1.89 3.58 - 1.26 2.31 -
trình được viết bằng ngôn ngữ C. Thử nghiệm được thực hiện với với N = 5×
106, ti = N+i 1, si = 1+ti, i = 1, . . . ,N. Điểm xuất phát x0 = 1 và tiêu chuẩn dừng là ||xn−x∗|| ≤ TOL. Với các sai số cho trước, chúng tôi so sánh thời gian (giây) thực hiện của phương pháp lai ghép song song (PHM) và phương pháp tuần tự của Liu [60] (LSM).
Từ Bảng 2.1, chúng ta thấy rằng với mỗi sai số cho trước, phương pháp tuần tự tốn nhiều thời gian (TL) hơn phương pháp PHM trong cả hai chế độ tuần tuần tự (Ts) cũng như song song (Tp). Hơn nữa, khi sai số nhỏ, phương pháp tuần tự
hội tụ rất chậm.
KhiTOL=10−4vàαn =1/nhoặcαn =10−n, thời gian tính tốn của phương pháp tuần tự LSM tương ứng là 30.89 giây và 26.57 giây. Hơn nữa, với αn = 1/(logn+2), sau 287.25 giây, phương pháp tuần tự LSM cho ta nghiệm xấp xỉ
˜
x = 0.327 cịn khá xa nghiệm chính xác x∗ = 0. Khi TOL = 10−k, k = 5, 6, 8, phương pháp LSM hội tụ rất chậm (Slow).
Bảng 2.1 cho biết thời gian thực hiện của phương pháp lai ghép song song trong cả hai chế độ song song (Tp) cũng như chế độ tuần tự (Ts) với các sai số cho trước TOL và cách chọn tham sốαn khác nhau. Độ tăng tốc lý tưởng của phương pháp lai ghép song song làSp := Ts/Tp ≈2.0,do đó hiệu suất của tính tốn song song bởi 2 bộ xử lý làEp :=Sp/2≈ 1.0.
Kết luận chương
Trong chương này, chúng tơi đã trình bày hai phương pháp chỉnh lặp song song ẩn và hiển giải hệ phương trình tốn tử J - đơn điệu trong không gian Banach.
Các phương pháp được xét trong cả hai trường hợp dữ liệu chính xác và dữ liệu có nhiễu. Ngồi ra, chúng tơi cũng trình bày các phương pháp lai ghép tuần tự và song song tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ tựa φ - khơng giãn (tiệm cận). Một ví dụ số được thực hiện để minh họa sự hội tụ của phương pháp lai ghép song song và so sánh nó với phương pháp tuần tự đã biết. Trong chương tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét bài toán tổng quát hơn, khi cần tìm nghiệm chung của một họ các bài toán EP, bài toán VIP và bài toán FPP. Kĩ thuật phân rã song song đề xuất trong Chương 2 sẽ được kết hợp với kĩ thuật lai ghép và một số thuật toán tối ưu để giải bài toán tổng quát hơn trong Chương 3.
Chương 3
Một số phương pháp tìm nghiệm chung của bài tốn cân bằng, bài tốn bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động
Trong chương này, chúng tơi trình bày các phương pháp lai ghép tìm nghiệm (nghiệm chung) của bài tốn EP, bài tốn VIP và bài toán FPP. Hai phương pháp phổ biến giải bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân là phương pháp PPM và phương pháp chiếu. Phần đầu của chương này, chúng tôi kết hợp phương pháp PPM cho bài toán EP, phương pháp gradient cho bài toán VIP, và phương pháp lặp Mann (hoặc Halpern) cho bài toán FPP để thiết kế các thuật tốn lặp tìm nghiệm chung của ba họ hữu hạn các bài toán EP, VIP và FPP. Về lý thuyết, phương pháp PPM đóng vai trị quan trọng trong nghiên cứu và thiết kế các thuật toán. Tuy nhiên, phương pháp này không dễ dàng thực hiện trong các thử nghiệm số. Trong Mục 3.2, chúng tơi trình bày các phương pháp chiếu kiểu đạo hàm (gradient-like method) và đạo hàm tăng cường (extragradient method) giải bài toán cân bằng giả đơn điệu và thỏa mãn bất đẳng thức kiểu Lipschitz. Ưu điểm của các phương pháp này là chúng có thể sử dụng cho lớp các bài toán rộng hơn và các bài tốn tối ưu trên mỗi bước lặp có thể được giải dễ dàng hơn phương pháp PPM trong nhiều trường hợp. Mặc dù vậy, chúng đòi hỏi song hàm phải thỏa mãn bất đẳng thức kiểu Lipschitz. Điều kiện này thực tế là khó kiểm tra và các hằng số kiểu Lipschitz trong nhiều trường hợp khơng được biết. Để vượt qua khó khăn đó, Mục 3.3 trình bày phương pháp tìm kiếm theo tia Armijo (Armijo linesearch method) cho bài toán EP giả đơn điệu, ở đó khơng cần giả thiết về bất đẳng thức kiểu Lipschitz của song hàm. Cuối cùng, trong Mục 3.4, chúng tơi trình bày một vài thử nghiệm số minh họa sự hội tụ của các phương pháp đề xuất và so sánh chúng với một số phương pháp khác đã biết. Các kết quả trong chương này được trình bày dựa trên các bài báo [3-4, 6-10] (trang 140-141).
3.1 Phương pháp điểm gần kề
Phương pháp PPM được Martinet [5] đề xuất cho lớp các bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu, sau đó Rockafellar [73] mở rộng cho các tốn tử đơn điệu. Năm 2000, Konnov [57] mở rộng xa hơn cho các bất đẳng thức Ky Fan (bài toán cân bằng). Trong phương pháp PPM, thay vì giải bài tốn ban đầu, chúng ta giải một họ các bài toán cân bằng hiệu chỉnh (REP) đơn điệu mạnh, mà nghiệm xấp xỉ thu được sẽ hội tụ tới một nghiệm nào đó của bài toán ban đầu với các điều kiện phù hợp. Cụ thể, tại bước lặp hiện tại, biết xn, xấp xỉ tiếp theo xn+1 là nghiệm duy nhất của bài tốn sau đây:
Tìmx ∈ Csao cho f(x,y) + 1
rn hy−x,x−xni ≥ 0, ∀y ∈ C, (3.1) hay xn+1 = Trnf (xn), trong đó Trnf là giải thức của song hàm f vàrn > 0 là tham số hiệu chỉnh, xem [38] và Bổ đề 1.29. Trong mục này, chúng tơi trình bày một số phương pháp lai ghép tìm nghiệm chung của các bài tốn cân bằng, bài toán biến phân và bài toán điểm bất động trong không gian Banach và Hilbert.