1.2 Phương trình tốn tử trong không gian Banach
1.2.1 Các khái niệm liên tục của toán tử phi tuyến
Trong mục này, chúng ta nhắc lại một số khái niệm về tính liên tục và khả vi của tốn tử. ChoX vàY là các khơng gian Banach. Xét tốn tử A : X → Y, miền xác định của toán tử A, kí hiệu D(A)hoặc Dom(A), xác định bởi
D(A) = {x ∈ X : A(x)6=Ø}, và miền giá trị củaA là
R(A) = {A(x) : x∈ D(A)}.
Tốn tử Ađược gọi là tuyến tính nếu 1) A(x+y) = A(x) +A(y) và 2) A(αx) =
αA(x)với mọix,y∈ D(A),α ∈ <.
Định nghĩa 1.4. Toán tử A : X →Y được gọi là
1) liên tục tại x0 ∈ D(A)nếu A(x)→ A(x0)khix → x0;
2) liên tục yếu theo tia hayh-liên tục (hemicontinuous) tạix0nếu A(x0+th) *
A(x0)khit → 0+ với mọih ∈ D(A)và x0+th ∈ D(A);
3) bán liên tục (demicontinuos) tạix0 ∈ D(A)nếu A(x) * A(x0)khix → x0; 4) liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số dương L sao cho ||A(x)−A(y)|| ≤
5) compact trên tập Ω ⊂ D(A) nếu A biến mỗi tập giới nội của Ω thành tập compact tương đối trongY;
6) hoàn toàn liên tục trên tậpΩ ⊂ D(A)nếu Aliên tục và compact trongΩ; 7) liên tục yếu theo dãy (sequentially weakly continuous) tại x0 ∈ D(A) nếu
với mọi dãy{xn} ⊂ D(A)sao cho xn * x0 thì A(xn) * A(x0)khin→ ∞. Ta nói tốn tử A có tính chất trên nếu nó thỏa mãn tính chất này tại mọi x0 ∈ D(A). Hiển nhiên, nếu Aliên tục Lipschitz thì nó liên tục, nếu Aliên tục thì bán liên tục, nếu A bán liên tục thì liên tục yếu theo tia. Chú ý rằng điều ngược lại nói chung là khơng đúng. Tốn tử A được gọi là khơng giãn nếu nó liên tục Lipschitz với hằng sốL =1. Nếu Aliên tục Lipschitz với hằng số L∈ (0, 1)thì ta nóiAlà tốn tử (ánh xạ) co.
Định nghĩa 1.5. Tốn tử A : X →Y được gọi là
1) đóng trên D(A)nếu với mọi dãy{xn} ⊂ D(A)sao choxn → x,A(xn) → y khin → ∞thì x ∈ D(A)và y= A(x);
2) đóng yếu trênD(A)nếu với mọi dãy{xn} ⊂ D(A)sao choxn * x,A(xn) *
ykhin → ∞thìx ∈ D(A)vày= A(x);
3) bán đóng yếu trên D(A) nếu với mọi dãy {xn} ⊂ D(A) sao cho xn *
x,A(xn) → y hoặc xn → x,A(xn) * y khi n → ∞ thì x ∈ D(A) và y = A(x).