1.5.1 Bất đẳng thức biến phân
Bất đẳng thức biến phân (VIP) được Stampacchia [6] giới thiệu và nghiên cứu đầu tiên vào năm 1964. Trong những năm gần đây, bài toán VIP được quan tâm và nghiên cứu rộng rãi bởi nó có nhiều ứng dụng trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, điều khiển tối ưu, cơ học và tài chính [44, 56].
Cho C là một tập lồi đóng và khác rỗng trong không gian Banach X và A : C → X∗là toán tử phi tuyến. Bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) đối với tốn tửA trênClà tìm x∗ ∈ Csao cho
hA(x∗),x−x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C. (1.24) Tập nghiệm của bài tốn VIP(1.24)được kí hiệu bởiV I(A,C). Trong khơng gian Hilbert, nếuAliên tục vàClà tập compact thì tập nghiệm của bài tốn VIP(1.24) khác rỗng. Tính compact củaCcó thể được giảm nhẹ bởi tính bức của tốn tử A. Chú ý rằng p∗ ∈ V I(A,C)khi và chỉ khi
p∗ = PC(p∗−λAp∗), λ> 0. (1.25) Ta có bổ đề sau đây về tính lồi đóng của tập nghiệm của bài toán VIP.
Bổ đề 1.26. [79] Cho C là tập lồi đóng khác rỗng của khơng gian BanachX và Alà ánh xạh-liên tục, đơn điệu từ C vào X∗. Khi đó
V I(A,C) = {u ∈ C : hv−u,A(v)i ≥ 0, ∀v ∈ C}.
Bổ đề 1.27. [74] Cho C là tập lồi đóng khác rỗng của khơng gian Banach X và Alà ánh xạ đơn điệu vàh-liên tục từ C vàoX∗với D(A) = C. Ánh xạ Qxác định bởi
Q(x) = Ax+NC(x) nếu x ∈ C, ∅ nếu x ∈/ C.
Khi đóQđơn điệu cực đại vàQ−10= V I(A,C).
1.5.2 Bài toán cân bằng
Bài toán cân bằng được Muu và Oettli [67] giới thiệu vào năm 1992, sau đó Blum và Oettli [22], Noor và Oettli [69] tiếp tục nghiên cứu và thu được một số kết quả tồn tại quan trọng vào năm 1994. Bài tốn cân bằng là một mơ hình rất tổng qt, nó bao gồm nhiều mơ hình tốn học khác như bài toán VIP, bài toán FPP, bài toán tối ưu, bài toán điểm yên ngựa, bài toán cân bằng Nash, vv... [22, 67]. Lý thuyết bài toán cân bằng cung cấp cho ta cách tiếp cận tổng quát để nghiên cứu một lớp các bài tốn trong kinh tế, tài chính, tối ưu và lý thuyết xấp xỉ.
Cho C là tập lồi đóng và khác rỗng trong khơng gian Banach X và f là một song hàm từC×Cvào tập hợp các số thực<. Bài tốn cân bằng (EP) cho f trên Clà tìm phần tửx∗ ∈ Csao cho
f(x∗,y) ≥0, ∀y ∈ C. (1.26)
Tập nghiệm của bài tốn cân bằng EP(1.26) được kí hiệu bởi EP(f,C)hoặc đơn giản hơnEP(f). Trong không gian Hilbert, nếu f liên tục trên tập compact Cvà lồi (hoặc tựa lồi) theo biến thứ 2 thì bài tốn EP(1.26) có nghiệm. Tính compact củaC có thể được thay thế bởi tính bức của song hàm f. Để giải bài tốn (1.26) trong khơng gian Banach X, chúng ta giả thiết song hàm f thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(A1) f(x,x) = 0với mọix ∈ C;
(A3) Với mọix,y,z ∈ C, lim
t→0+sup f(tz+ (1−t)x,y)≤ f(x,y); (A4) Với mọix ∈ C, f(x, .)là hàm lồi và nửa liên tục dưới.
Các kết quả dưới đây chỉ ra rằng trong không gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn, bài toán cân bằng hiệu chỉnh có nghiệm duy nhất và tập nghiệm của bài tốn cân bằng EP là lồi và đóng.
Bổ đề 1.28. [38] Cho C là tập lồi đóng và khác rỗng trong khơng gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn, song hàm f từ C×C tới <thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4) và cho trướcr >0,x ∈ X. Khi đó tồn tại z∈ C sao cho
f(z,y) +1
rhy−z,Jz− Jxi ≥ 0, ∀y ∈ C.
Bổ đề 1.29. [38] Cho C là tập lồi đóng và khác rỗng trong khơng gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn, song hàm f từC×Ctới<thỏa mãn các điều kiện(A1)-(A4). Với mọi r> 0, x∈ X, ta xác định giải thức của f (ánh xạ Combettes) bởi
Trfx = {z ∈ C : f(z,y) +1
rhy−z,Jz−Jxi ≥ 0, ∀y ∈ C}.
Khi đó
(B1)Trf đơn trị;
(B2)Trf là không giãn vững (firmly nonexpansive), tức là với mọix,y ∈ X,
hTrfx−Trfy,JTrfx−JTrfyi ≤ hTrfx−Trfy,Jx− Jyi; (B3)Fix(Trf) = F(T˜ rf) = EP(f,C);
(B4)EP(f,C)lồi đóng vàTrf là ánh xạ không giãn tương đối.
Bổ đề 1.30. [80] Cho C là tập lồi đóng và khác rỗng trong khơng gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn, song hàm f từC×Ctới<thỏa mãn các điều kiện(A1)-(A4)vàr> 0.
Khi đó, vớix ∈ Xvàq ∈ Fix(Trf),
φ(q,Trfx) +φ(Trfx,x) ≤ φ(q,x).
Bổ đề 1.31. [49, Bổ đề 2.5] Cho hai số thựcr, s >0vàx, y ∈ H. Với các giả thiết như
của Bổ đề 1.29, ta có
||Trf(x)−Tsf(y)|| ≤ ||x−y||+|s−r|
s ||T
f
Trong Chương3, khiX là khơng gian Hilbert thựcH, xét bài tốn EP giả đơn điệu. Khi đó, chúng ta giả thiết song hàm f thỏa mãn các điều kiện sau đây: (A1¯ ). f(x,x) = 0với mọix ∈ Cvà f giả đơn điệu, tức là với mọi x,y ∈ C,
f(x,y)≥ 0⇒ f(y,x)≤ 0;
(A2).¯ f thỏa mãn bất đẳng thức kiểu Lipschitz, tức là tồn tại hai hằng số dương c1,c2 sao cho
f(x,y) + f(y,z) ≥ f(x,z)−c1||x−y||2−c2||y−z||2, ∀x,y,z∈ C; (A3).¯ f(.,y)nửa liên tục trên yếu theo dãy trênCvới mỗiy∈ C, tức là,
lim sup
n→∞ f(xn,y) ≤ f(x,y)
với mỗi dãy{xn} ⊂C vàxn * x;
(A4).¯ f(x, .)lồi và khả dưới vi phân trênCvới mỗi x∈ Ccố định.
Dễ thấy, một song hàm đơn điệu là giả đơn điệu, điều ngược lại nói chung khơng đúng. Một tốn tử A : C → H được gọi là giả đơn điệu nếu song hàm f(x,y) =
hA(x),y−xi là giả đơn điệu. Ta có kết quả sau đây về tính lồi đóng của tập nghiệmEP(f,C)cho bài tốn EP giả đơn điệu.
Bổ đề 1.32. [20] Nếu song hàm f thỏa mãn các điều kiện (A1)¯ −(A4), thì tập nghiệm¯ EP(f,C)lồi và đóng.