3.3 Phương pháp tìm kiếm theo tia Armijo
3.4.1 Thử nghiệm số cho phương pháp điểm gần kề
Mục này minh họa sự hội tụ của thuật toán (3.38) trong Định lý3.3. Xét không gian Hilbert H = <1 với tích vơ hướng hx,yi := xy và chuẩn||x|| := |x|với mọi x,y ∈ H, tập ràng buộc C := [0, 1].Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J = I và phiếm hàm Lyapunovφ(x,y) = |x−y|2.Không gianH là2- lồi đều và hằng số tốt nhất
1
c thỏa mãn|x−y| ≤ 2
c2|Jx−Jy| = 2
c2|x−y|với 0 < c ≤ 1là c = 1. Xét các ánh xạ Ai(x) := x− xi+1i+1,x ∈ C,i = 1, . . . ,M. Rõ ràng,V I(Ai,C) = {0} với mọii. Vì mỗi ánh xạ Ui(x) := xi+1i+1 là không giãn nên Ai = I −Ui, là 12 - đơn điệu mạnh ngược. Hơn nữa, từ |Ai(y)| = |Ai(y)− Ai(0)|với mọi y ∈ C, suy ra mỗi ánh xạ Ai thảo mãn các giả thiết (V1)-(V3).
Cho{tj}Nj=1 và{sj}Nj=1 là hai dãy số thực dương sao cho0< t1 < . . . <tN < 1 vàsj ∈ (1,1−tj1 ], j = 1, . . . ,N.Xét các ánh xạ Sj : C → C, j = 1, . . . ,N,xác định bởiSj(x) =0với x ∈ [0,tj]vàSj(x) =sj(x−tj)với x∈ [tj, 1]. Dễ thấy, Fix(Sj) =
{0}với mọij. Hơn nữa,φ(Sj(x), 0) = |Sj(x)|2 ≤ |x|2 = φ(x, 0)với mỗix ∈ C. Do đó, các ánh xạSj là tựa φ - khơng giãn. Vì |Sj(1)−Sj(tj)| = sj(1−tj) > |1−tj|
nênSj khơng phải là ánh xạ không giãn.
Cho hai dãy số {ξk}Kk=1 và {ηk}Kk=1 sao cho 0 < ξ1 < . . . < ξK < 1 và ηk ∈
(0,ξk), k= 1, . . . ,K. XétKsong hàm fk(x,y) := Bk(x)(y−x), k= 1, . . . ,K,trong đó Bk(x) = ηk
ξkx với 0 ≤ x ≤ ξk và Bk(x) = ηk với ξk ≤ x ≤ 1.Dễ thấy, các giả thiết (A1)-(A4) thỏa mãn cho mỗi song hàm fk(x,y). Ngồi ra, EP(fk,C) = {0}
với mọik. Do đó, tập nghiệm
F := ∩Mi=1V I(Ai,C)\∩Nj=1Fix(Sj)\∩Kk=1EP(fk,C) ={0}.
Theo Định lý3.3, dãy lặp{xn}sinh bởi (3.38) hội tụ mạnh tớix† := 0.Từ (3.38), ta cóyin = (1−λn)xn−λn(xni+1)i+1,i =1, 2, . . .M. Do đó,y¯nhồn tồn xác định. Từy¯n, ta tínhznj = αnxn+ (1−αn)Sjy¯n, j = 1, 2, . . .N và z¯n. Hơn nữa, u := ukn = Trnkz¯n là nghiệm của bất đẳng thức
(y−u)[Bk(u) +u−z¯n] ≥0 ∀y ∈ [0; 1]. (3.106) Từ(3.106), ta suy rau = 0khi và chỉ khi z¯n = 0. Do đó, nếu z¯n = 0thì dừng và x† = 0là nghiệm của bài tốn. Nếuz¯n 6=0thì bất đẳng thức(3.106)tương đương với hệ bất đẳng thức −u(Bk(u) +u−z¯n) ≥0, (1−u)(Bk(u) +u−z¯n)≥ 0.
Suy raBk(u) +u = z¯n. Do đó, nếu0< z¯n ≤ηk+ξkthìukn :=u = ξk
ξk+ηkz¯n. Ngược
lại, nếu ξk+ηk < z¯n ≤ 1, thì unk := u = z¯n −ηk. Từ đó, ta xác định được u¯k. Vì F = {0} ⊂ Cn+1 nên0≤ u¯n ≤ z¯n ≤ xn ≤ 1.Từ định nghĩa của tậpCn+1, ta có
Cn+1 =Cn∩[0,z¯n+u¯n 2 ].
Vì0, xn ∈ Cn nên[0,xn] ⊂ Cn. Hơn nữa, vì un+¯ 2zn¯ ≤ xn nên[0,un¯ +2zn¯ ] ⊂ [0,xn] ⊂
Cn.VậyCn+1 = [0,un+¯ 2zn¯ ]vàxn+1 = un+¯ 2zn¯ .
Các thử nghiệm được thực hiện trên bó máy tính LINUX 1350 với 8 node tính tốn. Mỗi node chứa hai nhân Intel Xeon dual core 3.2 GHz, 2GBRam. Chương trình được viết bằng ngơn ngữ C. Tiêu chuẩn dừng là||xn−x∗|| ≤ TOL. Tp, Ts tương ứng là thời gian (giây) thực hiện song song (dùng 2 bộ xử lý) và tuần tự. Trong thử nghiệm này chúng tôi chọn số các bài tốn con là: M = 108,N := 2×107,K :=3×107; các điểm chia:tj := N+j 1, sj :=1+tj, ξk := K+k1, ηk = ξk/2 với mọijvàk; các tham số:λn :=1/8, rn = 1,αn := lognn hoặcαn := log(log1(n+10)); điểm xuất phát x0 = 1; sai số: TOL := 10−l (l =7, 9). Kết quả được trình bày trong Bảng 3.1 cho các sai số TOL và tham sốαn được chọn khác nhau.
Bảng 3.1: Kết quả số cho thuật toán lai ghép song song (3.38) αn = lognn αn = 1 log(log(n+10)) TOL Tp Ts Tp Ts 10−7 6.09 11.97 21.84 42.42 10−9 8.10 14.28 26.46 51.24