3.3 Phương pháp tìm kiếm theo tia Armijo
3.4.3 Thử nghiệm số cho phương pháp chiếu GLM
Trong mục này, chúng tôi minh họa sự hội tụ của Thuật toán3.2(Alg. 3.2 - GLM) và so sánh với các phương pháp đạo hàm tăng cường của Vuong và các cộng sự trong [81] (HEM), Van và các cộng sự trong [68] (Alg. 1 - SEM và Alg. 3 - LEM). Các phép chiếu lên nửa không gian là hiển, các bài toán tối ưu trên tập lồi đa diện được giải bởi phần mềm tối ưu trong Matlab (Matlab Optimization Toolbox). Các thuật tốn được thực hiện trên máy tính cá nhân PC Desktop Intel(R) Core(TM) i5-3210M CPU @ 2.50GHz 2.50 GHz, RAM 2.00 GB. Với mỗi sai sốTOLcho trước, chúng tôi so sánh số bước lặp (Iter.) và thời gian thực hiện trung bình trên mỗi bước (Time/Step) của các thuật toán với các điểm xuất phát x0 được chọn khác nhau.
Ví dụ 1. Xét song hàm f : C×C → < trong <2 xác định bởi f(x,y) = (x1+ x2−1)(y1−x1) + (x1+x2−1)(y2−x2)và tập ràng buộcClà hình vng đơn vị C = [0, 1]×[0, 1]. Dễ dàng kiểm tra f thỏa mãn các điều kiện(A1)¯ −(A4)¯ vớic1 = c2 =1. Tập nghiệm của bài toán cân bằng làEP(f,C) = {x∈ C : x1+x2−1= 0}.
Bảng 3.3: Kết quả số với các điểm xuất phátx0 trongVí dụ 1
Iter. Time/Step
x0 Alg. 3.2 HEM SEM LEM Alg.3.2 HEM SEM LEM
(2,5) 241 111 221 122 0.008 0.021 0.008 0.038
(5,5) 192 108 215 122 0.015 0.025 0.012 0.027
(4,4.5) 194 108 215 122 0.015 0.025 0.013 0.027
(-0.75,0) 196 108 215 122 0.019 0.029 0.013 0.026
Với mỗix0, dãy {xn} sinh bởi các thuật toán được đề cập hội tụ mạnh tới x† := PEP(f,C)(x0). Vì x† có thể tìm được nên chúng tơi sử dụng tiêu chuẩn dừng là
||xn −x†|| ≤ TOL = 10−6. Các tham số được chọn như sau: λ = 0.2 cho tất cả các thuật toán,k =6cho Thuật toán3.2và η = 0.5, α =1.5 cho thuật tốn LEM. Trong Thuật tốn3.2, chúng tơi chọnx1 = x0, y0 = (0, 0)T. Kết quả số được trình bày trong Bảng3.3.
Ví dụ 2.Xét song hàm f đến từ mơ hình cân bằng Nash-Cournot [72]
f(x,y) = hPx+Qy+q,y−xi, (3.108) trong đó q ∈ <m, P, Q ∈ <m×m là hai ma trận cấp m sao cho Q đối xứng nửa xác định dương vàQ−P là ma trận nửa xác định âm. Theo Bổ đề 6.2 trong [72], song hàm f thỏa mãn các điều kiện (A1)¯ −(A4)¯ với các hằng số c1 = c2 =
||P−Q||/2. Giả sửK, C1, . . . ,Cl là các tập con lồi, đóng và khác rỗng trong<m
sao cho K∩ ∩l j=1Cj = ∅ và ít nhất một trong các tập K,Cj, j = 1, . . . ,l bị chặn. Với mỗi x ∈ <m, xác định ánh xạ Φ(x) = 12 ∑l j=1wjd2(x,Cj), trong đó wj lj= 1 ⊂ (0, 1), ∑l j=1wj = 1và d(x,Cj) = inf||x−y||: y ∈ Cj . Xét tập ràng buộcC dưới dạngtập chấp nhận lồi tổng quát[83, Definition 4.1] xác định bởi
C = x ∈ K : Φ(x) = min y∈K Φ(y) . (3.109)
Chú ý rằng C là tập con lồi đóng khác rỗng của K, xem [83, Proposition 4.2 và Remark 4.3]. Vấn đề đầu tiên là giải bài toán tối ưu sau đây trên mỗi bước
min 1 2x THx+hTx : x ∈ C , (3.110)
khi C được thiết lập dưới dạng ẩn (3.109), trong đó H = 2λQ+ I và h là một véc tơ trong<m. Nếu đặtT = PK∑l
j=1wjPCjthì C = Fix(T)(xem [83, Propo- sition 4.2b] với β = 1). Do đó, (3.110) trở thành bài tốn tối ưu trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T. Sử dụng phương pháp đường dốc nhất (HSDM) trong [83] để thu được nghiệm của bài toán (3.110) với sai số TOL. Tiếp theo là tìm xấp xỉ kế tiếp xn+1 trong thuật toán HEM [81]. Viết lại xn+1 dưới dạng xn+1 = PH1n∩H2n∩C(x0)trong đóH1n, H2nlà hai nửa khơng gian. Kết hợp phương pháp của Haugazeau và phương pháp HSDM trong [83] để thu được xn+1 với sai số TOL. Phép chiếu xn+1 = PCn∩Qn(x0) trong Thuật tốn 3.2 được tính tốn hiển. Trong ví dụ này, khơng dễ dàng tìm được xn+1 trong các thuật toán chiếu co (shrinking projection method) SEM và LEM [68]. Chúng tơi thử nghiệm cho Thuật tốn 3.2 và HEM vớim =5,q = (1,−2,−1, 2,−1)T,
P= 3.1 2 0 0 0 2 3.6 0 0 0 0 0 3.5 2 0 0 0 2 3.5 0 0 0 0 0 3 , Q = 1.6 1 0 0 0 1 1.6 0 0 0 0 0 1.5 1 0 0 0 1 1.5 0 0 0 0 0 2 , l = 100, wj = 1l và K = x ∈ <5 : ||x−a|| ≤ 4.5 , C1 = x∈ <5 : ||x|| ≤ 1 , Cj = nx ∈ <5 : cTj x ≤bjo, trong đó a = (10, 0, 0, 0, 0)T và các véc tơ cj,bj được sinh ngẫu nhiên (phân bố đều) với các thành phần trong [−2, 2]. Các tham số được chọn là λ = 5c1
1, k = 6. Điểm xuất phát y0 = 0 và ba điểm x0 là x10 = (1, 3, 1, 1, 2)T, x20 = (−1, 1, 2, 0, 0)T,x03 = (1, 0, 1, 0, 2)T và tiêu chuẩn dừng ||yn−
xn|| ≤ TOL = 10−4. Kết quả số được trình bày trong Bảng 3.4. Từ bảng này, chúng ta thấy rằng thời gian tồn bộ cho việc thực hiện thuật tốn HEM lớn hơn đáng kể so với Thuật toán 3.2. Điều này đến từ việc giải thêm một bài tốn tối ưu và tìm phép chiếuxn+1 trên mỗi bước.
Từ các kết quả thử nghiệm trên, chúng ta thấy rằng Thuật toán 3.2 (GLM) hiệu quả hơn so với các phương pháp chiếu lai ghép EGM và phương pháp tìm kiếm theo tia Armijo khi tập ràng buộc có cấu trúc phức tạp.
Bảng 3.4: Kết quả thử nghiệm cho các điểm xuấtx0 trongVí dụ 2.
x0 Iter. Time/Step
Alg.3.2 HEM Alg.3.2 HEM x10 2365 1565 0.871 2.191 x20 2417 1437 0.935 2.410 x30 2877 1729 0.889 2.096
Kết luận chương
Trong chương này, dựa trên phương pháp PPM và phương pháp chiếu EGM, chúng tơi đã trình bày một số phương pháp lai ghép song song tìm nghiệm chung của bài tốn EP với bài toán VIP và bài toán FPP. Một cải thiện đáng chú ý của phương pháp chiếu EGM là phương pháp chiếu GLM tìm nghiệm của bài tốn EP, trong đó chỉ một bài tốn tối ưu cần giải trên mỗi bước lặp mà không cần bất kỳ một "bước mở rộng nào liên quan tới tập ràng buộc". Phương pháp tìm kiếm theo tia Armijo cho các bài tốn EP cũng được trình bày trong chương này. Một ưu điểm của phương pháp này là các song hàm không yêu cầu thỏa mãn bất đẳng thức kiểu Lipschitz. Cuối cùng, chúng tôi thực hiện một vài thử nghiệm số để minh họa sự hội tụ của các phương pháp xề xuất và so sánh với các phương pháp đã biết.
Các phương pháp tìm nghiệm (nghiệm chung) của các bài tốn EP, VIP và FPP trình bày trong chương này được thực hiện trong cùng một không gian. Trong chương tiếp theo, chúng tơi nghiên cứu bài tốn tổng quát hơn, được gọi là bài toán cân bằng tách (SEP - Split Equilibrium Problem), ở đó nghiệm của bài tốn EP trong không gian này, qua một phép biến đổi tuyến tính, là nghiệm của bài tốn EP trong khơng gian khác. Các kĩ thuật trong Chương 3 được kế thừa và phát triển trong Chương 4.
Chương 4
Một số phương pháp giải bài toán cân bằng tách và ứng dụng
Các bài tốn tìm nghiệm chung trong chương trước được xét trong cùng một khơng gian. Tuy nhiên trong thực tế có nhiều mơ hình tốn học, chẳng hạn mơ hình IMRT (Intensity-Modulated Radiation Therapy) trong bức xạ trị liệu [31,32], dẫn tới tìm nghiệm chung của các bài tốn trong hai không gian khác nhau qua một ánh xạ tuyến tính bị chặn giữa hai khơng gian. Các mơ hình tốn học này dẫn tới việc nghiên cứu lớp các bài toán tổng quát hơn, được gọi là bài toán ngược tách (SIP - Split Inverse Problem). Bài tốn SIP bao gồm một tốn tử tuyến tính bị chặn Atừ khơng gianXtới khơng gianYvà hai bài tốn ngược, kí hiệu bởi IP1 và IP2, được thiết lập tương ứng trong hai khơng gianXvàY, ở đó nghiệm của bài tốn IP1 có ảnh qua toán tử A là nghiệm của bài toán IP2. Cụ thể, bài tốn SIP được phát biểu như sau:
Tìm điểm x∗ ∈ X là nghiệm của IP1 sao cho
ảnh y∗ = Ax∗ ∈ Y là nghiệm của IP2.
(4.1)
Trong chương này, chúng tơi xem xét bài tốn SIP (4.1), ở đó IP1 và IP2 là các bài toán CSEP (Common Solutions to Equilibrium Problems), và do đó, nó được gọi là bài tốn cân bằng tách (SEP - Split equilibrium problem). Bài toán SEP bao gồm nhiều lớp bài toán dạng tách đã biết như bài toán chấp nhận tách (SCFP - Split Convex Feasibility Problem), bài toán tối ưu tách (SOP - Split Optimization Problem), bài toán bất đẳng thức biến phân tách (SVIP - Split Variational Inequal- ity Problem). Các bài toán này được nghiên cứu sâu rộng trong những năm gần đây [34, 49, 65, 66]. Cụ thể hơn, bài toán SEP được phát biểu như sau:
thựcH1 và H2. Giả sử fi : C×C → <, i = 1, . . . ,N; Fj : Q×Q → <, j = 1, . . . ,M
là các song hàm vàA : H1 → H2 là một tốn tử tuyến tính bị chặn. Bài tốn SEP là tìm điểmx∗ ∈ Ω, trong đó
Ω = nx∗ ∈ ∩i=N1EP(fi,C): Ax∗ ∈ ∩j=1M EP(Fj,Q)o.
Bài tốn SEP có thể được thiết lập dưới dạng bài tốn GCFP như sau: Tìm x∗ ∈ C =
∩N
i=1Ci, trong đó
Ci = nx∗ ∈ EP(fi,C) : Ax∗ ∈ ∩Mj=1EP(Fj,Q)o, i =1, . . . ,N.
Chúng tôi giả thiết rằng các song hàm fi thỏa mãn các điều kiện(A1)¯ −(A4)¯ (trang 47) với cặp hằng số kiểu Lipschitz c1, c2 và Fj thỏa mãn các điều kiện (A1)−(A4) (trang 45). Hơn nữa, tậpΩ được giả thiết là khác rỗng. Như đã đề cập trong chương trước, với các điều kiện này,EP(fi,C)vàEP(Fj,Q)là lồi đóng. Vì A là tốn tử tuyến tính bị chặn nên Ω cũng là tập lồi đóng. Đầu tiên chúng tơi kết hợp phương pháp chiếu EGM với phương pháp PPM để thiết kế thuật toán hội tụ yếu. Tiếp theo, kết hợp thuật toán hội tụ yếu với phương pháp chiếu co (shrinking projection method) để thu được thuật toán hội tụ mạnh. Một ứng dụng của các thuật toán cho bài toán SVIP cũng được trình bày trong chương này. Các kết quả trong chương này được công bố trong [5] (trang 141).
4.1 Các thuật tốn hội tụ
Trong mục này, chúng tơi kết hợp phương pháp chiếu EGM với phương pháp PPM và đề xuất thuật toán hội tụ yếu sau đây giải bài toán SEP.
Thuật toán 4.1. (Phương pháp EGM - PPM song song)
Khởi tạo.Chọn x0 ∈ C. Các tham sốλ,µ,rn thỏa mãn các điều kiện sau đây. 0 <λ <min 1 2c1, 1 2c2 , rn ≥ d >0, 0 < µ < 2 ||A||2.
Bước 1.Giải2N bài tốn tối ưu
yin = arg minnλfi(xn,y) +12||y−xn||2 : y ∈ Co,i =1, . . . ,N, zin =arg minnλfi(yin,y) + 12||y−xn||2 : y∈ Co,i = 1, . . . ,N.
Bước 2.Tìm xấp xỉz¯n xaxn nhất trong các xấp xỉzin, tức là ¯
zn = arg maxn||zin−xn||: i = 1, . . . ,No.
Bước 3.GiảiM bài toán cân bằng hiệu chỉnh
wnj = TrnFj(Az¯n), j = 1, . . . ,M.
Bước 4.Tìm xấp xỉw¯n xa Az¯n nhất trong các xấp xỉwjn, tức là ¯
wn = arg maxn||wnj −Az¯n|| : j =1, . . . ,Mo.
Bước 5.Tính xn+1 = PC(z¯n+µA∗(w¯n−Az¯n)). Đặt n = n+1và quay lại Bước 1.
Định lý 4.1(Định lý hội tụ yếu). Cho C, Q tương ứng là các tập con lồi đóng khác rỗng của hai khơng gian Hilbert thực H1 và H2. Giả sử {fi}i=1N : C×C → < là các song hàm thỏa mãn các điều kiện(A1)¯ −(A4)¯ (trang 47) và
Fj Mj=1 : Q×Q → <là các song hàm thỏa mãn các điều kiện (A1)−(A4) (trang 45). Giả sử A : H1 → H2 là một tốn tử tuyến tính bị chặn với tốn tử liên hợp A∗. Hơn nữa, giả thiết tập nghiệm
Ω khác rỗng. Khi đó, các dãy {xn},
yin , zin , i = 1, . . . ,N sinh bởi Thuật toán 4.1 hội tụ yếu tới p ∈ ∩N
i=1EP(fi,C) và các dãy nwjno, j = 1, . . . ,M hội tụ yếu tới
Ap ∈ ∩M
j=1EP(Fj,Q).
Chứng minh. Chứng minh Định lý 4.1 được chia thành ba bước.
Bước 1.Chứng minh tồn tại giới hạn của dãy{||xn −x∗||} với mọi x∗ ∈ Ω. Thật vậy, từ Bổ đề 3.1(ii) và giả thiết của ρ, ta có ||zi
n −x∗|| ≤ ||xn −x∗|| với mọi
x∗ ∈ Ω. Do đó,
||z¯n−x∗|| ≤ ||xn−x∗||. (4.2) Giả sửjn ∈ {1, . . . ,M}sao chow¯n = wnjn. Từ Bổ đề 1.29(B2), ta có
||w¯n−Ax∗||2 = ||TrnFjn(Az¯n)−TrnFjn(Ax∗)||2 ≤ DTrnFjn(Az¯n)−TrnFjn(Ax∗),Az¯n−Ax∗E = hw¯n−Ax∗,Az¯n−Ax∗i = 1 2 n ||w¯n−Ax∗||2+||Az¯n−Ax∗||2− ||w¯n−Az¯n||2o.
Do đó ||w¯n−Ax∗||2 ≤ ||Az¯n−Ax∗||2− ||w¯n−Az¯n||2, hay ||w¯n−Ax∗||2− ||Az¯n−Ax∗||2 ≤ −||w¯n−Az¯n||2. Bất đẳng thức này cùng với đẳng thức hA(z¯n−x∗), ¯wn−Az¯ni= 1 2 n ||w¯n−Ax∗||2− ||Az¯n−Ax∗||2− ||w¯n −Az¯n||2o, suy ra hA(z¯n−x∗), ¯wn−Az¯ni ≤ −||w¯n−Az¯n||2. Do đó, từ định nghĩa củaxn+1 và tính chất của phép chiếu, ta có
||xn+1−x∗||2 =||PC(z¯n+µA∗(w¯n−Az¯n))−PCx∗||2 ≤ ||z¯n −x∗+µA∗(w¯n−Az¯n)||2 =||z¯n −x∗||2+µ2||A∗(w¯n −Az¯n)||2+2µhz¯n−x∗,A∗(w¯n−Az¯n)i ≤ ||z¯n −x∗||2+µ2||A∗||2||w¯n−Az¯n||2+2µhA(z¯n−x∗), ¯wn−Az¯ni ≤ ||z¯n −x∗||2+µ2||A∗||2||w¯n−Az¯n||2−2µ||w¯n−Az¯n||2 ≤ ||z¯n −x∗||2−µ(2−µ||A∗||2)||w¯n −Az¯n||2 (4.3) ≤ ||z¯n −x∗||2 (4.4) Kết hợp (4.2) và (4.4), ta được 0≤ ||xn+1−x∗|| ≤ ||z¯n −x∗|| ≤ ||xn−x∗||, ∀x∗ ∈ Ω. Suy ra, dãy{||xn+1−x∗||} giảm và tồn tại các giới hạn
lim
n→∞||xn−x
∗|| = lim
n→∞||z¯n −x
∗|| = p(x∗), ∀x∗ ∈ Ω. (4.5)
Bước 2.Chứng minh lim
n→∞||zin−xn|| = n→∞lim ||yin−xn|| = n→∞lim ||w j
n−Az¯n|| = 0. Thật vậy, giả sử in ∈ {1, . . . ,N} là chỉ số sao cho z¯n = zinn. Từ Bổ đề 3.1(ii) với i = in, suy ra
||z¯n−x∗||2 ≤ ||xn−x∗||2−(1−2λc1)||yinn −xn||2−(1−2λc2)||yinn −z¯n||2.
Do đó
Kết hợp bất đẳng thức này với (4.5) và giả thiết củaλ, suy ra lim n→∞||y in n −xn|| = lim n→∞||y in n −z¯n|| =0.
Kết hợp các giới hạn này với bất đẳng thức||z¯n−xn|| ≤ ||yinn −xn||+||yinn −z¯n||, ta được
lim
n→∞||z¯n−xn||= 0.
Do vậy, từ định nghĩa củaz¯n, ta được lim
n→∞||z
i
n−xn|| =0, ∀i = 1, . . . ,N. (4.6) Từ Bổ đề 3.1(ii) và bất đẳng thức tam giác, suy ra
(1−2λc1)||yin−xn||2 ≤ ||xn−x∗||2− ||zin−x∗||2
= ||xn −x∗|| − ||zin−x∗|| ||xn−x∗||+||zin−x∗|| ≤ ||xn−zin||||xn−x∗||+||zin−x∗||.
Do đó, kết hợp bất đẳng thức này với (4.6), giả thiết củaλvà tính bị chặn của các dãy{xn},zin , ta được lim n→∞||y i n−xn||= 0, i =1, . . . ,N. (4.7) Hơn nữa, từ (4.3), ta có µ(2−µ||A∗||2)||w¯n −Az¯n||2 ≤ ||z¯n−x∗||2− ||xn+1−x∗||2. (4.8) Lấy giới hạn trong bất đẳng thức cuối khi n → ∞ và sử dụng (4.5), µ(2−
µ||A∗||2) > 0, ta có
lim
n→∞||w¯n−Az¯n|| =0. (4.9) Từ định nghĩa củaw¯n, ta thu được
lim
n→∞||w
j
n−Az¯n|| =0, ∀j =1, . . . ,M. (4.10)
Bước 3.Chứng minhxn, yin, zin * p ∈ ∩Ni=1EP(fi,C)vàwnj * Ap ∈ ∩Mj=1EP(Fj,Q). Vì{xn} bị chặn nên tồn một dãy con{xm} của{xn} hội tụ yếu tới p. DoClà tập