Dạng bài tốn chứng minh các tính chất trong khơng gian là phần chủ yếu của bài tập HHKG và cũng là dạng mà HS gặp rất nhiều khĩ khăn khi giải. HHKG là một nội dung khĩ, mặc dù đối tượng là hình khơng gian quen thuộc, gần gũi với HS song nội dung HHKG được xây dựng theo phương pháp tiên đề, hệ tiên đề đưa ra chưa đầy đủ, suy luận cĩ phần phải dựa vào trực giác. Nhưng nhìn chung q trình chứng minh cần bảo đảm tính chặt chẽ, các suy luận chứng minh phải cĩ căn cứ, đây là điều khĩ khăn đối với HS. Để biết, hiểu và nhớ các định lí, tính chất của HHKG đã là một khĩ khăn đối với HS thì việc vận dụng chúng để giải bài tốn chứng minh lại là việc khĩ khăn hơn nữa. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để HS cĩ thể giải được bài tập dạng này một cách chủ động, ít gặp khĩ khăn khi giải quyết vấn đề và thay đổi tâm lí ngại và sợ học HHKG. Từ những lí do trên khi DH giải bài tập HHKG GV cần thiết kế những tình huống DHHT tạo điều kiện cho HS cĩ thể trao đổi, thảo luận với nhau, từng bước tìm ra hướng giải. Cĩ thể một HS tự tìm ra lời giải là khĩ khăn nhưng một nhĩm HS hỗ trợ, giúp đỡ lẫn nhau sẽ tìm ra được lời giải, và hiệu quả học tập của mỗi HS vì thế được nâng cao.
Tình huống 8: Tìm sai lầm và sửa chữa sai lầm trong chứng minh hai đường thẳng
song song bằng nhiều cách.
1. Mục tiêu: Giúp HS khắc phục sai lầm: đường thẳng song song với một mặt phẳng thì khơng song song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đĩ, luyện chứng minh hai đường thẳng song song theo nhiều cách khác nhau.
2. Nội dung: Hình lập phương. 3. Nhiệm vụ học tập:
Phiếu học tập:
Xét bài tốn: Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. M và N lần lượt là trung điểm
Bạn An đã giải bài tốn trên như sau: + Vì MN (ABCD) (ABCD) / /(A'B'C'D') ⊂ ⇒ MN // (A′B′C′D′) Mà B′D′ nằm trong (A′B′C′D′) ⇒ MN // B′D′.
Em cĩ nhận xét gì về lời giải của bạn An. Nếu bạn làm sai hãy chỉ ra lập luận sai của bạn, lấy ví dụ phản bác lập luận đĩ.
Giải bài tốn bằng nhiều cách khác nhau.
4. Tổ chức hoạt động nhĩm
GV tổ chức cho HS thảo luận, sau thời gian thảo luận các nhĩm nộp lại kết quả thảo luận. Nhĩm nào xong trước lên trình bày. Người trình bày của nhĩm đĩ do GV chỉ định. Các nhĩm nhận xét và bổ sung.
*) Các bước thảo luận nhĩm:
Bước 1: HS nhận phiếu học tập và độc lập suy nghĩ. Bước 2: Thảo luận nhĩm, thống nhất kết quả.
5. Dự kiến các tình huống thảo luận nhĩm: + Ý kiến 1: Bạn An làm đúng.
+ Ý kiến 2: Bạn An làm sai và bạn mắc sai lầm ở chỗ là: đường thẳng MN // (A′B′C′D′) nhưng khơng song song với mọi đường thẳng nằm trong (A′B′C′D′). Lập luận này là khơng cĩ căn cứ. Ví dụ MN khơng song song với A′B′.
Đây là cơ hội để nhĩm thảo luận, các thành viên trong nhĩm trao đổi giúp đỡ lẫn nhau tìm sai lầm của lời giải, đồng thời tránh mắc lại những sai lầm đĩ.
Cách 1:
Ta cĩ MN là đường trung bình trong ∆ABC. ⇒ MN // BD
Mà BD // B′D′ nên MN // B′D′. - Đây là cách giải ưu việt nhất
Cách 2:
Lấy I sao cho A là trung điểm của IA′
Do M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD nên I, M, B′ thẳng hàng và I, N, D′ thẳng hàng. Ta cĩ: (ABCD) / /(A'B'C'D') (IB'D') (ABCD) MN (IB'D') (A'B'C'D') B'D' = = I I ⇒ MN // B′D′.
Cách 3: Lấy điểm I như cách 2, ta cĩ: IM IN IA
IB' ID'= = IA'
÷
⇒ MN // B′D′.
Cách 4: Ta cĩ: MN và B′D′ phân biệt, cùng vuơng gĩc với (ACC′A′)
⇒ MN // B′D′.
6. Kết luận vấn đề: GV cùng HS khắc sâu sai lầm của bạn và củng cố các cách chứng minh hai đường thẳng song song.
Tình huống 9:
1. Mục tiêu: luyện tập các cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng. 2. Chọn nội dung: hình lập phương.
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Chứng minh A′C′ song song (ABCD).
4. Tổ chức hoạt động nhĩm
GV tổ chức cho HS thảo luận, sau thời gian thảo luận các nhĩm nộp lại kết quả thảo luận. Nhĩm nào xong trước lên trình bày. Người trình bày của nhĩm đĩ do GV chỉ định, các nhĩm nhận xét và bổ sung.
Tiêu chí: Nhĩm nào cĩ nhiều cách giải đúng thì đạt điểm cao hơn. *) Các bước thảo luận nhĩm:
Bước 1: HS nhận phiếu học tập, độc lập suy nghĩ tìm lời giải.
Bước 2: Thảo luận trong nhĩm, hợp tác nhĩm tìm các cách giải khác nhau. 5. Dự kiến thảo luận nhĩm:
- Nếu trong nhĩm cĩ nhiều cách giải khác nhau thì hoạt động hợp tác tạo mơi trường thuận lợi để HS học hỏi lẫn nhau.
- Nếu trong nhĩm đều làm một cách thì hoạt động nhĩm thơng qua kiểm tra chéo và lắng nghe các nhĩm khác trình bày là cơ sở định hướng tìm các cách giải khác.
- Nếu các nhĩm đều làm chỉ cĩ một cách giải thì GV cĩ thể đặt câu hỏi: + Em đã sử dụng phương pháp nào để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng?
+ Các phương pháp khác cĩ thể vận dụng được để chứng minh bài tốn khơng? Tìm các yếu tố tương ứng với các yếu tố trong định lí đĩ.
Bước 3: Thảo luận và thống nhất giữa các ý kiến để tìm ra nhiều cách giải. *) Dự kiến các cách giải khác nhau của nhĩm:
Cách 1: A'C' (ABCD) A'C'/ /AC AC (ABCD) ⊄ ⇒ ⊂ A′C′ // (ABCD) Cách 2: A'C' (A'B'C'D') (A'B'C'D') / /(ABCD) ⊂ ⇒ A′C′ // (ABCD).
Cách 3: A'C' (ABCD) A'A A'C' A'A (ABCD) ⊄ ⊥ ⇒ ⊥ A′C′ // (ABCD).
6. Kết luận vấn đề: GV cùng HS khắc sâu các cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.
Tình huống 10: Phân tích bài tốn để tìm các cách giải khác nhau của một bài tốn.
1. Mục tiêu: Giúp HS biết phân tích bài tốn và các phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng để tìm các cách giải khác nhau cho một bài tốn.
2. Nhiệm vụ học tập: Phiếu học tập:
Xét bài tốn: “Cho hai hình bình hành
ABCD và ABEF khơng cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên các đoạn thẳng AC và BF lần lượt lấy các điểm M và N sao cho: AC 3AM, BF 3BN= = .
Chứng minh MN song song (CDFE)”.
Bạn An đã phân tích bài tốn như sau:
+ Để chứng minh MN // (CDFE) ta cần chứng minh MN song song với một đường thẳng nằm trong mp(CDFE).
Mà MN nằm trong (MBF) nên cĩ thể chứng minh MN song song với giao tuyến của hai mặt phẳng (MBF) và (CDFE).
Từ đĩ bạn An suy ra các bước giải đúng cho bài tốn là: Bước 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MBF) và (CDFE). Bước 2: Chứng minh MN song song với giao tuyến vừa tìm được.
Suy luận của bạn An gợi cho em nhớ đến định lí nào? Hãy trình bày lời giải theo hướng phân tích bài tốn của bạn.
Cách 2: Sử dụng định lí Ta lét đảo.
Theo em ý kiến của bạn Bình đúng hay sai, nếu đúng em hãy tìm các cách chứng minh đĩ.
Nếu thay giả thiết AC 3AM, BF 3BN= = bằng giả thiết AC 5AM= ; BF 5BN= thì kết luận bài tốn cịn đúng khơng? Nếu cịn đúng thì cĩ làm được theo các cách trên được khơng? Và nêu bài tốn tổng quát?
4. Tổ chức hoạt động nhĩm
GV tổ chức cho HS thảo luận, sau thời gian thảo luận các nhĩm nộp lại kết quả thảo luận. Nhĩm nào xong trước lên trình bày. Mỗi câu hỏi, người trình bày của nhĩm đĩ do GV chỉ định. Các nhĩm nhận xét và bổ sung.
*) Các bước thảo luận nhĩm:
Bước 1: Nhĩm trưởng phân cơng nhiệm vụ cho các thành viên trong nhĩm (mỗi thành viên trong nhĩm cĩ thể làm một số câu trong phiếu học tập này)
Bước 2: HS nhận phiếu học tập độc lập làm bài
Bước 3: Thảo luận nhĩm. Mỗi thành viên trình bày ý kiến của mình, các thành viên khác chú ý lắng nghe, so sánh, đối chiếu các ý kiến giống và khác nhau, sau đĩ thư kí tổng hợp các ý kiến và thống nhất chung kết quả của nhĩm.
5. Dự kiến các tình huống trong khi HS làm bài: Cách 1: Lời giải theo hướng phân tích của bạn: + Gọi K BM CD= I + Ta cĩ BM AM 1 BK = AC 3= BM BN 1 BK BF 3 ⇒ = = ⇒ MN // FK Mà FK nằm trong (CDFE) ⇒ MN // (CDFE). Các cách giải khác:
Cách 2: HS cĩ thể phân tích tương tự như bạn HS đã phân tích bằng cách cho MN nằm trong mp(ANC) để cĩ thêm 1 lời giải tương tự.
Cách 3: Để chứng minh MN // (CDFE) ta cần chứng minh MN song song với một đường thẳng nằm trong mp(CDFE).
+ Dựa vào hình vẽ bạn ấy dự đốn cần chứng minh MN // ED, ED ⊂ (CDFE). Do đĩ MN và ED cùng nằm trong một mặt phẳng
+ Từ giả thiết cho AC = 3AM; BF = 3BN. Để chứng minh hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng song song với nhau ta chứng minh theo định lí Talet. Gọi I EN AB= I
Vì IB // EF IB IN BN 1 EF NE NF 2
⇒ = = =
⇒ I là trung điểm của AB IA AM 1 CD MC 2
⇒ = =
⇒ I, M, D thẳng hàng và IM IA 1 MD CD 2= = Trong (IEF) cĩ IN IM 1
NE MD 2= = ⇒ MN // DE mà DE ⊂ (CDFE) nên MN // (CDFE). Cách 4: Để chứng minh MN // (CDFE) theo phương pháp thứ hai cần chỉ ra một mặt phẳng chứa MN và song song với (CDFE).
+ Dựa vào hình vẽ cần phải dựng mặt phẳng đĩ.
+ Kết hợp với giả thiết cho AC = 3AM; BF = 3BN để lấy các điểm P và Q lần lượt là các điểm trên AF và AQ sao cho: AF = 3AP; AD = 3AQ.
+> Trong mp(ABCD) cĩ AM AQ 1 AC = AD 3= ⇒ QM // DC Mà CD ⊂ (CDFE) ⇒ QM // (CDFE) (1) +> Trong mp(ADF) cĩ AP AQ 1 AF AD 3= = ⇒ PQ // DF Mà DF ⊂ (CDFE) ⇒ PQ // (CDFE) (2) Từ (1) và (2) ⇒ (MNPQ) // (CDFE) ⇒ MN // (CDFE) Cách 5:
Ta cĩ: AM BN 1 AC = BF 3= AM AC AC AM BN BF BF BN AM AC MC BN BF NF − ⇒ = = − ⇔ = =
Theo định lí Ta-lét đảo suy ra AB, MN,
CF lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song.
Mà AB // (CDFE) và CF (CDFE)⊂ nên MN // (CDFE).
Nếu thay giả thiết AC 3AM, BF 3BN= = bằng giả thiết AC 5AM= ; BF 5BN= thì kết luận bài tốn vẫn cịn đúng. Các cách giải bài tốn hồn tồn tương tự cách 1, cách 2, cách 4 và cách 5.
Bài tốn tổng quát: “Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF khơng cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên các đoạn thẳng AC và BF lần lượt lấy các điểm M và N sao cho: AC kAM, BF kBN; k > 0= = . Chứng minh MN song song (CDFE)”. 6. Kết luận vấn đề: GV hợp tác cùng các nhĩm tổng kết lại các phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.
- GV lưu ý HS cách phân tích bài tốn kết hợp với phương pháp chứng minh đã biết để tìm lời giải.
Tình huống 11:
1. Mục tiêu: Rèn luyện giải bài tập chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng bằng cách tìm nhiều cách giải khác nhau cho một bài tốn.
2. Chọn nội dung: hình lập phương. 3. Nhiệm vụ học tập:
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. M và N lần lượt là các điểm nằm trên AB′ và CD′ sao cho: AB' kAM, CD' kCN= = . a) Với k = 1 chứng minh MN // (ABCD) b) Kết quả trên cịn đúng với k∈¡ +. Nếu đúng hãy chứng minh bằng nhiều cách khác nhau.
4. Tổ chức hoạt động nhĩm
GV tổ chức cho HS thảo luận, sau thời gian thảo luận các nhĩm nộp lại kết quả thảo luận. Nhĩm nào xong trước lên trình bày. Mỗi bài tập, người trình bày của nhĩm đĩ do GV chỉ định. Các nhĩm nhận xét và bổ sung.
*) Các bước thảo luận nhĩm:
Bước 1: HS nhận phiếu học tập, độc lập suy nghĩ tìm lời giải.
Bước 2: Thảo luận trong nhĩm, hợp tác nhĩm tìm các cách giải khác nhau. 5. Dự kiến thảo luận nhĩm:
- Nếu trong nhĩm cĩ nhiều cách giải khác nhau thì hoạt động hợp tác tạo mơi trường thuận lợi để HS học hỏi lẫn nhau.
- Nếu trong nhĩm đều làm một cách thì hoạt động nhĩm thơng qua kiểm tra chéo và lắng nghe các nhĩm khác trình bày là cơ sở định hướng tìm các cách giải khác. - Nếu các nhĩm đều làm chỉ cĩ một cách giải thì GV cĩ thể đặt câu hỏi:
+ Em đã sử dụng phương pháp nào chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng?
+ Các phương pháp khác cĩ thể vận dụng được để chứng minh bài tốn khơng? Tìm các yếu tố tương ứng với các yếu tố trong định lí đĩ.
Bước 3: Thảo luận và thống nhất giữa các ý kiến để tìm ra nhiều cách giải. Dự kiến các tình huống trong khi HS làm bài:
a) Với k = 1: MN B'D'≡ mà BʹDʹ // BD nên MN // (ABCD). b) Kết quả vẫn cịn đúng với k R∈ +.
Cách 1: + Vì AB' CD' k AM = CN = AB' AM AB' AM CD' CN CD' CN AB' AM MB' CD' CN ND' − ⇒ = = − ⇒ = =
Theo định lí Ta-lét suy ra AC, MN, B′D′ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song. Mà B′D′ // (ABCD) và AC ⊂ (ABCD) ⇒ MN // (ABCD).
Cách 2:
+ Kẻ MP và NQ song song với AB (P∈BB′, Q ∈CC′). BB' AB' k BP AM ⇒ = = và CC' CD' k CQ = CN = BB' CC' BP CQ ⇒ = ⇒ PQ // BC (do BB′ // CC′)
⇒ PQ // (ABCD) mà PM // (ABCD) ⇒ (MNQP) // (ABCD) ⇒ MN // (ABCD). Cách 3:
+ Kẻ đường thẳng qua M song song với CD′ cắt các đường thẳng AB và A′B′ lần lượt tại K và I. + Ta cĩ: KI AB' k KM AM= = ( ) KI CD' k KM CN ⇒ = = mà KI // CD′ ⇒ MN // KC mà KC ⊂ (ABCD) ⇒ MN // (ABCD).
Tình huống 12: Rèn luyện giải bài tập chứng minh hai đường thẳng song song
1. Mục tiêu: HS biết vận dụng các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song để giải các bài tốn cụ thể.
2. Chọn nội dung: Hình chĩp và hình lập phương. 3. Nhiệm vụ học tập:
Phiếu học tập: Giải các bài tập sau và nêu tính chất em đã vận dụng: Bài tập 1:
Cho tứ diện ABCD, I là trung điểm của AB, M và N lần lượt lần lượt là các điểm thuộc đoạn thẳng CI và DI sao cho: IC 4IM, ID 4IN= = .
Chứng minh: MN // CD.
Bài tập 2:
Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AB. M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Chứng minh: MN // CD.
Bài tập 3:
Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình thang với đáy là AD và BC. M nằm trên cạnh SB, mp(ADM) cắt cạnh SC tại N.
Bài tập 4:
Cho tứ diện ABCD, mp(α) song song với hai cạnh AB và CD cắt bốn cạnh cịn lại AC, BC, BD và AD lần lượt tại M, N, P và Q. Chứng minh: MN song song với PQ.
Bài tập 5: Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành, M và N lần lượt là hai điểm