Tình huống 18: Luyện tập các phương pháp tính khoảng cách của hai đường thẳng
chéo nhau.
1. Mục tiêu: HS biết vận dụng các phương pháp tính khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau để tìm nhiều cách giải cho một bài tốn.
2. Chọn nội dung: Luyện tập trên hình lập phương. 3. Nhiệm vụ học tập:
a) Giải bài tốn sau bằng những cách khác nhau: Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a; M là trung điểm của CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: AB và A′D′; AC và DD′; AM và B′D′.
b) Em đã sử dụng cách nào để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau?
4. Tổ chức hoạt động nhĩm
GV tổ chức cho HS thảo luận, sau thời gian thảo luận các nhĩm nộp lại kết quả thảo luận. Nhĩm nào xong trước lên trình bày. Mỗi bài tập, người trình bày của nhĩm đĩ do GV chỉ định. Các nhĩm nhận xét và bổ sung.
*) Các bước thảo luận nhĩm:
Bước 1: Nhĩm trưởng phân cơng nhiệm vụ cho các thành viên trong nhĩm (mỗi thành viên trong nhĩm cĩ thể làm một số ý trong phiếu học tập này)
Bước 2: HS nhận phiếu học tập độc lập làm bài
Bước 3: Thảo luận nhĩm. Mỗi thành viên trình bày ý kiến của mình, các thành viên khác chú ý lắng nghe, so sánh, đối chiếu các ý kiến giống và khác nhau, sau đĩ thư kí tổng hợp các ý kiến và thống nhất chung kết quả của nhĩm.
5. Dự kiến các tình huống trong khi thảo luận: *) Xác định và tính khoảng cách giữa AB và A′D′ Cách 1: A 'A AB A 'A A 'D' ⊥ ⊥
⇒ A′A là độ dài đoạnvuơng gĩc chung của AB và A′D′ vuơng gĩc chung của AB và A′D′
⇒d(AB; A′D′) = A′A = a.
Cách 2: AB (ABCD) A 'D' (A 'B'C'D') (ABCD) / /(A 'B'C'D') ⊂ ⊂
Cách 3: AB / /(A 'B'C'D') A 'D'⊂(A 'B'C'D')
⇒ d(AB;A′D′) = d(AB;(A′B′C′D′)) = d(A;(A′B′C′D′)) = A′A = a. *) Xác định và tính khoảng cách giữa AC và DD′. Cách 1: Gọi O AC BD= I OD AC OD D'D ⊥ ⇒ ⊥
⇒ OD là độ dài đoạn vuơng gĩc chung của AC và DD′ ⇒ d(AC;D'D) OD a 2 2 = = . Cách 2: Vì D′D // CC′ nên D′D // (ACC′A′) a 2 d(AC;D'D) d(D'D;(ACC'A ')) d(D;(ACC'A ')) OD
2
⇒ = = = =
*) Xác định và tính khoảng cách giữa AM và B′D′
Cách 1: Xác định đọan vuơng gĩc chung của AM và B′D′ là II′.
⇒ d(AM; B′D′) = II′ = A′A = a
Cách 2: AM (ABCD) B'D' (A 'B'C'D') (ABCD) / /(A 'B'C'D') ⊂ ⊂
⇒d(AM;B′D′) = d((ABCD);(A′B′C′D′)) = A′A = a. Cách 3: AM / /(A 'B'C'D')
B'D' (A 'B'C'D')
⊂
⇒ d(AM;B′D′) = d(AM;(A′B′C′D′)) = d(A;(A′B′C′D′)) = A′A = a. b) Các cách tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d’ chéo nhau là: Cách 1: Tìm độ dài đoạn vuơng gĩc chung của hai đường thẳng.
Cách 2: Tìm khoảng cách từ một điểm bất kì trên d đến mp(P) với mp(P) là mặt phẳng chứa d′ và song song với d.
Cách 3: Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đĩ.
Cách 4: Tìm khoảng cách từ d đến mp(P) với mp(P) là mặt phẳng chứa d′ và song song với d.
Tình huống 19: Nhìn nhận một yếu tố dưới các khía cạnh khác nhau của bài tốn
để đề xuất các bài tốn mới.
1. Mục tiêu: HS biết vận dụng mối liên hệ giữa khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song để phát biểu yêu cầu của bài tốn theo những cách khác nhau.
2. Chọn nội dung: Hình lăng trụ 3. Phiếu học tập:
Xét bài tốn: Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C cĩ tất cả các cạnh bằng a. H là trung điểm của B′C′, AH vuơng gĩc với mp(A′B′C′); K là hình chiếu của H lên AA′. Tính AH và HK?
Hãy phát biểu yêu cầu của bài tốn theo những cách khác nhau.
4. Tổ chức hoạt động nhĩm
GV tổ chức cho HS thảo luận, sau thời gian thảo luận các nhĩm nộp lại kết quả thảo luận. Nhĩm nào xong trước lên trình bày. Mỗi bài tập, người trình bày của nhĩm đĩ do GV chỉ định. Các nhĩm nhận xét và bổ sung.
*) Các bước thảo luận nhĩm:
Bước 1: HS nhận phiếu học tập học tập và độc lập suy nghĩ.
Bước 2: Thảo luận nhĩm. Mỗi thành viên trình bày ý kiến của mình, các thành viên khác chú ý lắng nghe, so sánh, đối chiếu các ý kiến giống và khác nhau, sau đĩ thư kí tổng hợp các ý kiến và thống nhất chung kết quả của nhĩm.
HS sẽ cĩ nhiều ý kiến về phát biểu yêu cầu khác của bài tốn tương đương với yêu cầu bài tốn đã cho mà chưa cần chỉ ra cách giải.
*) Dự kiến câu hỏi gợi ý thảo luận khi cần thiết
- Độ dài đoạn thẳng cần tìm cĩ thể là khoảng cách giữa các yếu tố nào?
- Tìm mối liên hệ giữa các loại khoảng cách: khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng? khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song? khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song? Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau?...
Bước 3: Lắng nghe ý kiến, thảo luận và tổng hợp ý kiến.
6. Kết luận vấn đề: Sau khi các nhĩm trình bày xong kết quả của nhĩm mình, các nhĩm thảo luận, GV nhận xét và bổ sung.
Các yêu cầu sau đây đều quy về tính AH: Cách 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm A và H? Cách 2: Tính khoảng cách từ A đến (A′B′C′)? Cách 3: Tính khoảng cách từ H đến (ABC)? Cách 4: Tính khoảng cách giữa AB và B′C′? Cách 5: Tính khoảng cách giữa AC và B′C′? Cách 6: Tính khoảng cách giữa A′H và (ABC)?
Cách 7: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A′B′C′)? Các yêu cầu sau đây quy về tính KH:
Cách 1: Tính độ dài đoạn vuơng gĩc chung của AA′ và B′C′? Cách 2: Tính khoảng cách từ H đến AA′?
Cách 3: Tính khoảng cách từ K đến B′C′? Cách 4: Tính khoảng cách từ K đến (BCC′B′)? Cách 5: Tính khoảng cách giữa AA′ và (BCC′B′)?
Củng cố khắc sâu kiến thức: Cơ sở để tìm được các câu hỏi khác nhau về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau đĩ là phải biết dựa vào định nghĩa: khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau là:
- Khoảng cách giữa a và mp(P) với (P) là mặt phẳng chứa b và song song với a. - Khoảng cách giữa (P) và (Q) với (P) chứa a, (Q) chứa b và (P) // (Q).
- Độ dài đoạn vuơng gĩc chung của a và b.
GV cùng HS tổng kết các cách cĩ thể hỏi về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Phần này cĩ tác dụng khắc sâu kiến thức cho HS, rèn luyện cho cho HS biết nhìn nhận cùng một yếu tố dưới các khía cạnh khác nhau, từ đĩ cĩ khả năng quy bài tốn lạ về bài tốn quen thuộc.
Tình huống 20: Luyện tập tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.
Mục đích của tình huống: GV đặt ra nhiều yêu cầu trong một thời gian hạn chế, nhằm đưa HS vào nhu cầu hợp tác với nhau. Hệ thống các câu hỏi cĩ dụng ý phân bậc, trong cùng một câu lời giải của ý sau cĩ thể suy ra từ ý trước, qua đĩ rèn luyện cho HS biết vận dụng một cách linh hoạt các cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Trong quá trình hoạt động nhĩm, HS cĩ thể chọn bài phù hợp với khả năng của mình.
1. Mục tiêu: Biết vận dụng các phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để giải bài tốn cụ thể.
2. Chọn nội dung: Hình chĩp 3. Phiếu học tập:
a) Giải bài tốn: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thang ABCD vuơng tại A và D với AB 2a= , AD CD a= = . Cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy, SA = 2a. Tính khoảng cách từ: B và C đến (SAD). D và C đến (SAB). A và B đến (SCD). A và D đến (SBC)
b) Em đã sử dụng các cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng nào? 4. Tổ chức hoạt động nhĩm.
GV tổ chức cho HS thảo luận, sau thời gian thảo luận các nhĩm nộp lại kết quả thảo luận. Nhĩm nào xong trước lên trình bày. Mỗi bài tập, người trình bày của nhĩm đĩ do GV chỉ định. Các nhĩm nhận xét và bổ sung.
*) Các bước thảo luận nhĩm:
Bước 1: Nhĩm trưởng phân cơng nhiệm vụ cho các thành viên trong nhĩm (mỗi thành viên trong nhĩm cĩ thể làm một số câu trong phiếu học tập này)
Bước 2: HS nhận phiếu học tập độc lập làm bài
Bước 3: Thảo luận nhĩm. Mỗi thành viên trình bày ý kiến của mình, các thành viên khác chú ý lắng nghe, so sánh, đối chiếu các ý kiến giống và khác nhau, sau đĩ thư kí tổng hợp các ý kiến và thống nhất chung kết quả của nhĩm.
5. Dự kiến các tình huống trong khi HS làm bài: Ta cĩ BA ⊥ (SAD) ⇒ d(B; (SAD)) = BA = 2a. + Vì CD // BA ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ d(C; (SAD)) = CD = a. Ta cĩ DA ⊥ (SAB) ⇒ d(D; (SAB)) = DA = a. Cách 1: Vì CD // BA ⇒ d(C; (SAB)) = d(D; (SAB)) = a. Cách 2:
E là trung điểm của AB. ⇒ CE // AD
Mà DA ⊥ (SAB) nên CE ⊥ (SAB)
Hạ AH ⊥ SD ⇒ AD ⊥ (SCD) ⇒ d(A; (SCD)) = AH. Ta cĩ 12 12 12 AH =SA +AD ⇒d(A;(SCD)) AH 2a 5 = = + Vì BA // CD d(B;(SCD)) d(A;(SCD)) 2a 5 ⇒ = = . + Hạ AI ⊥ SC, E là trung điểm của AB. + ADCE là hình vuơng nên AC ⊥ DE mà DE // BC ⇒ AI ⊥ (SCD) ⇒ d(A; (SBC)) = AI. Ta cĩ 12 12 12 AI =SA +AC ⇒d(A;(SBC)) AI 2a 3 = =
+ Ta cĩ DE // BC và E là trung điểm của AB
1 a d(D;(SBC)) d(E;(SBC)) d(A;(SBC)) 2 3 ⇒ = = = . b) Các cách tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P): - Cách 1: AH ⊥ (P), H∈ (P) d( A, (P)) = AH - Cách 2: A ∈ a, a // (P) ⇒ d( A, (P)) = d(a, (P)). - Cách 3: A ∈ (Q), (Q) // (P) ⇒ d( A, (P)) = d((Q), (P)). - Cách 4: A, B ∈ a, a ∩ (P) = I, AI k BI = ⇒ d( A, (P)) = k. d( B, (P)).
6. Kết luận vấn đề: GV hợp tác cùng HS tổng kết các cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Tình huống 21: Luyện tập tính gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
1. Mục tiêu: Biết vận dụng cách xác định gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng vào giải bài tốn cụ thể
2. Chọn nội dung: Hình chĩp 3. Phiếu học tập:
Xét bài tốn: Cho hình tứ diện SABC cĩ mặt ABC là tam giác vuơng tại C, SA vuơng gĩc với (ABC), SA AC a, AB 2a= = = . Tính gĩc giữa mỗi cạnh của hình tứ diện và các mặt của hình tứ diện khơng chứa cạnh đĩ. 1. Xác định các gĩc cần tính?
2. Theo cách xác định gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng, trong các gĩc cần tính những gĩc nào cần phải: - Xác định hình chiếu của điểm S lên (ABC)?
- Xác định hình chiếu của điểm A lên (SBC)? - Xác định hình chiếu của điểm B lên (SAC)? - Xác định hình chiếu của điểm C lên (SAB)? 3. Giải bài tốn đã cho.
Dụng ý của câu hỏi 1, 2 là: trong thời gian ngắn HS khĩ cĩ thể tính được tất cả các gĩc, câu hỏi 1, 2 là nhằm mục đích định hướng các tính các gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng một cách nhanh nhất.
4. Tổ chức hoạt động nhĩm
GV tổ chức cho HS thảo luận, sau thời gian thảo luận các nhĩm nộp lại kết quả thảo luận. Nhĩm nào xong trước lên trình bày. Mỗi bài tập, người trình bày của nhĩm đĩ do GV chỉ định. Các nhĩm nhận xét và bổ sung.
*) Các bước thảo luận nhĩm:
Mỗi thành viên trong nhĩm nhận phiếu học tập cĩ thể độc lập suy nghĩ trả lời câu hỏi 1, sau đĩ nhĩm thảo luận để thống nhất ý kiến và phân chia nhiệm vụ cho mỗi thành viên làm các ý của câu 2, rồi tổng kết thành câu trả lời cho câu 3.
Bước 1: HS nhận phiếu học tập suy nghĩ và tìm hiểu.
Bước 2: Thảo luận nhĩm. Mỗi thành viên trình bày ý kiến của mình, các thành viên khác chú ý lắng nghe, so sánh, đối chiếu các ý kiến giống và khác nhau, sau đĩ thư kí tổng hợp các ý kiến và thống nhất chung kết quả của nhĩm.
5. Dự kiến các tình huống thảo luận: 1. Các gĩc cần tính là gĩc giữa: •SA và (ABC), (SBC) •SB và (ABC), (SAC) •SC và (ABC), (SAB) •AB và (SAC), (SBC) •BC và (SAC), (SAB) •AC và (SBC), (SAB). 2. Các gĩc cần xác định:
•Hình chiếu của điểm S lên (ABC) là: SA, SB, SC và (ABC) •Hình chiếu của điểm A lên (SBC) là: SA, AB, AC và (SBC) •Hình chiếu của điểm B lên (SAC) là: SB, AB, BC và (SAC) •Hình chiếu của điểm C lên (SBC) là: SC, AC, BC và (SBC) 3. Tính gĩc giữa SA, SB, SC và (ABC)
+ Vì SA ⊥ (ABC) nên (SA;(ABC)) 90· = O + Hình chiếu của SB lên (ABC) là AB ⇒(SB;(ABC)) (SB;AB) SBA· = · = · Ta cĩ: tanSBA· SA a 1
AB 2a 2
= = =
+ Hình chiếu của SC lên (ABC) là AC
· · · O
(SC;(ABC)) (SC;AC) SCA 45
⇒ = = =
+ Hạ AH ⊥ SC
+ BC AC( ABC vng tại C)
BC (SAC) BC SA(vì SA (ABC)) ⊥ ∆ ⇒ ⊥ ⊥ ⊥ ⇒ BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ (SBC)
⇒ Hình chiếu của SA lên (SBC) là SH ⇒ (SA;(SBC)) (SA;SC) ASC 45· =· = · = O
+ Hình chiếu của AC lên (SBC) là CH ⇒(AC;(SBC)) (AC;CH) ACS 45· =· = · = o + Hình chiếu của AB lên (SBC) là BH ⇒(AB;(SBC)) (AB;BH) ABH· = · =·
Ta cĩ: · a 2
AH 2 2
sin ABH
AB 2a 4
= = =
- Tính gĩc giữa SB, AB, BC và (SAC) + Vì BC ⊥ (SAC) nên (BC;(SAC)) 90· = O. + Hình chiếu của SB lên (SAC) là SC ⇒(SB;(SAC)) (SB;SC) BSC· =· = · Ta cĩ: SC a 2; BC a 3= = · BC a 3 6 tanBSC SC a 2 2 ⇒ = = =
+ Hình chiếu của AB lên (SAC) là AC ⇒(AB;(ABC)) (AB;AC) BAC· =· = · Ta cĩ: cosBAC· AC a 1
AB 2a 2
= = =
+ Hạ CI ⊥ AB ⇒ CI ⊥ (SAB)
⇒ Hình chiếu của SC lên (SAB) là SI
· · ¶
(SC;(SAB)) (SC;SI) ISC
⇒ = = Ta cĩ: CI a 3; SC a 2 2 = = ¶ CI 6 sinCSI SC 4 ⇒ = =
+ Hình chiếu của AC lên (SAB) là AI ⇒(AC;(SAB)) (AC;AI) BAC· = · = · Ta cĩ: cosBAC· AC a 1
AB 2a 2
= = =
+ Hình chiếu của BC lên (SAB) là BI ⇒(BC;(SAB)) (BC;BI) ABC· =· = · Ta cĩ: sin ABC· AC a 1
AB 2a 2
= = =
6. Kết luận vấn đề: GV cùng HS khắc sâu cách xác định gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng.