3.2. Phương pháp giải bài toán tối ưu
3.2.3. Lựa chọn phương án thiết kế tối ưu
Phương án thiết kế tối ưu có thể chọn là một trong các phương án thuộc tập các điểm chấp nhận được D. Ở bước lựa chọn phương án thiết kế tối ưu cần có sự can thiệp của người thiết kế. Người thiết kế có vai trị phân tích đánh giá các phương án thiết kế của tập D, lựa chọn hàm mục tiêu tổng quát và lựa chọn ra phương án thiết kế tối ưu nhất trong các phương án thuộc tập D. Ở bước này có thể tách thành một số trường hợp sau:
- Trường hợp 1: Khi người thiết kế quan tâm đến một hàm mục tiêu nào đó trong các hàm mục tiêu của bài tốn tối ưu, ví dụ hàm mục tiêu về hệ số chất lượng khí động Φ1 thì có thể chọn Φ1 là hàm mục tiêu tổng quát và giải bài toán tối ưu đơn mục tiêu cho hàm
Φ1 . Khi đó, các hàm mục tiêu về tính ổn định Φ2 và tính điều khiển Φ
3 được được chuyển sang ràng buộc bằng cách lựa chọn các giới hạn hàm mục tiêu tương ứng:
Φ (A) ≤ Φ**
2 2 (3.26)
Φ (A) ≤ Φ**
3 3
- Trường hợp 2: Khi người thiết kế quan tâm đến tất cả các hàm mục tiêu với các mức độ ưu tiên khác nhau thì có thể sử dụng phương pháp trọng số để xây dựng hàm mục tiêu tổng quát làm đại diện cho tất cả các hàm mục tiêu. Hàm mục tiêu tổng quát Φ(A) được xây dựng theo phương pháp trọng số [55] dưới dạng như sau:
Φ(A) = ∑cvΦv (A) v=1 (3.27) Trong đó, các hệ số cv ≥ 0 và ∑cv =1. Các hệ số v=1 cv được chọn theo mức độ ưu tiên của hàm mục tiêu tương ứng. Bài tốn tối ưu biên dạng khí
động KCB khi đó trở thành tìm phương án thiết kế tối ưu cho một mục tiêu Φ(A). Tức là cần giải bài tốn tìm điểm A* sao cho:
Φ(A*) = minΦ(A)
A∈D (3.28)
Để giải bài tốn cần tính tốn giá trị hàm mục tiêu tổng quát cho tất cả các phương án Ai và chọn ra phương án cho giá trị hàm mục tiêu tổng quát nhỏ nhất. Tọa độ điểm A* khi đó là tham số của phương án thiết kế tối ưu trong số các phương án chấp nhận được D.
- Trường hợp 3: Đối với bài toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm mục tiêu mang tính đối lập có thể sử dụng biên Pareto để thể hiện mối quan hệ giữa các hàm mục tiêu trong không gian mục tiêu.
Từ biên Pareto cho phép phân tích, đánh giá để xác định được lời giải tối ưu theo từng tiêu chí. Tập các điểm Pareto được chọn ra từ tập các điểm chấp nhận D bằng cách phân tích giá trị các hàm mục tiêu tương ứng trong khơng gian mục tiêu.
Thuật tốn xác định các điểm thuộc biên Pareto như sau:
- Bước 1: Chọn điểm Ai1 nào đó từ D. So sánh nó với tất cả các điểm cịn lại của D ta loại ra tất cả các điểm mà chắc chắn kém hơn
các điểm cho ta Φv (Ai1) ≤ Φv (Aj )).
Ai1 (nghĩa là - Bước 2: Từ các điểm còn lại ta chọn ra một điểm chưa được đánh dấu,
ví dụ Ai2 , đánh dấu nó và so sánh nó với tất cả các điểm còn lại (kể cả loại ra khỏi nó các điểm chắc chắn kém hơn Ai2 .
Ai1 ) và - Bước 3: Tiếp tục lặp lại Bước 2. Sau một số hữu hạn bước lặp ta chỉ còn lại các điểm được chọn. Nhận được tất cả các điểm còn lại là các điểm gần hiệu quả. Thể hiện hình học của thuật tốn như trên Hình 3.12.
Hình 3.12. Thuật tốn tìm biên Pareto
Các phương án tìm kiếm có ảnh tương ứng trong khơng gian mục tiêu. Khi lựa chọn điểm Ai1 ta loại bỏ tất cả các điểm Aj có ảnh trong khơng gian mục tiêu rơi vào góc phần tư với đỉnh là điểm Bi1 (là ảnh của điểm Ai1 trong không gian mục tiêu).
Sử dụng thuật tốn này có thể loại ra khỏi tập D các điểm không hiệu quả và nhận được tập E chứa các điểm gần hiệu quả. Phương án lựa chọn tốt nhất có thể lấy từ các điểm thuộc tập E.
Sắp xếp các điểm xấp xỉ Pareto theo thứ tự tăng dần của một hàm mục tiêu. Đường gấp khúc nối các điểm xấp xỉ Pareto được tiệm cận tới đường cong Pareto khi số lượng các điểm thử nghiệm N tiến tới vô cùng lớn [55].
Khi lựa chọn được phương án tối ưu A* có thể tiến hành nâng cấp điểm A* do đây chỉ là phương án tốt nhất trong tập D. Do đó, xuất hiện bài tốn nâng cấp điểm A* bằng cách tìm cực trị cục bộ trong vùng khơng gian tìm kiếm xung quanh điểm A*, đồng thời thỏa mãn các điều kiện ràng buộc.
Có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau để tìm kiếm cực trị cục bộ [44], [59]. Khi tìm kiếm chọn điểm bắt đầu tìm kiếm là tất cả các điểm Ai
nằm trong tập D, hoặc chỉ điểm tốt nhất trong số chúng.
Dưới đây trình bày phương pháp tìm kiếm để tìm cực trị cục bộ theo phương pháp PSI [55] với điểm xuất phát là điểm tốt nhất của tập D. Phương pháp được tiến hành theo các bước sau:
- Bước 1: Chọn ra vùng tìm kiếm cục bộ P’ có tâm là điểm tốt nhất với biên theo các tọa độ so với tâm khoảng ±5%. Nếu như tọa độ nào đó của A' vượt q biên của P thì kích thước của vùng tìm kiếm tương ứng theo tọa độ đó bị giảm, và được lấy bằng giá trị biên của P.
- Bước 2: Trong P’ chọn ra N' điểm tìm kiếm theo chuỗi LPτ.
- Bước 3: Tiến hành xác định tọa độ các điểm N' và giải bài tốn tìm tập các điểm chấp nhận được D cho N' điểm này.
- Bước 4: Nếu trong điểm nào đó của các điểm này, ví dụ điểm A' cho giá trị hàm mục tiêu Φ(A') tốt hơn so với tâm A thì lựa chọn vùng tìm kiếm cục bộ tiếp theo với tâm là A'.
- Bước 5: Quay trở lại bước 1 và tiến hành giải lại bài tốn.
Có thể tiến hành một vài vịng lặp để xác định giá trị tối ưu. Điều kiện hội tụ được đánh giá là sai lệch tương đối của giá trị hàm mục tiêu tổng quát Φ(A) ở các vòng lặp kế tiếp nhau:
ε=Φu (A) − Φu−1(A)
Φu−1(A)
(3.29)
Với u là số bước lặp của thuật toán. Như vậy, sau một số hữu hạn bước lặp ta nhận được phương án thiết kế tối ưu theo hàm mục tiêu Φ .