6. Bố cục luận văn
2.2. Phương pháp thực nghiệm
2.2.1. Mơ hình hồi quy chuyển tiếp trơn (STR)
Mơ hình hồi quy chuyển tiếp trơn (Smooth Transition Regression – STR) là một
loại mơ hình hồi quy chuỗi thời gian phi tuyến được khởi tạo bởi Bacon & Watts (1971) như một sự khái quát hóa cho mơ hình hồi quy chuyển tiếp (switching regression) mà Quandt (1958) đã đưa ra trước đó.
Mơ hình STR tổng qt được xác định như sau: 𝑦𝑡 = 𝜙′𝐱𝑡 + 𝜃′𝐱𝑡𝐺(𝑧𝑡; 𝛾, 𝑐) + 𝑢𝑡
= {𝜙 + 𝜃𝐺(𝑧𝑡; 𝛾, 𝑐)}′𝒙𝑡+ 𝑢𝑡, 𝑡 = 1, … , 𝑇
(2.2) Trong đó:
𝐱𝑡 là véc tơ các biến giải thích, bao gồm véc tơ các trễ của biến nội sinh và véc tơ các biến ngoại sinh;
𝜙 = (𝜙0, 𝜙1, … , 𝜙𝑚)′ và 𝜃 = (𝜃0, 𝜃1, … , 𝜃𝑚)′ là ((𝑚 + 1) × 1) các véc tơ tham số;
𝑢𝑡 là sai số tuân theo quy luật phân phối chuẩn;
𝐺(𝑧𝑡; 𝛾, 𝑐) là một hàm của biến chuyển tiếp 𝑧𝑡 và bị chặn trong khoảng (0,1); hàm số này liên tục mọi vị trí trong khơng gian tham số đối với bất kỳ giá trị 𝑠𝑡;
𝛾 là tham số độ dốc, chỉ tốc độ của hàm chuyển tiếp.
𝑐 = (𝑐1, … , 𝑐𝑘)′là véc tơ các tham số định vị (tham số ngưỡng), thỏa mãn 𝑐1 ≤ ⋯ ≤ 𝑐𝑘, tham số ngưỡng này cho biết vị trí mà quá trình chuyển tiếp có thể xảy ra.
Biểu thức cuối cùng trong (2.2) chỉ ra rằng mơ hình có thể được xem là một mơ hình tuyến tính với các hệ số 𝜙 + 𝜃𝐺(𝛾, 𝑐, 𝑠𝑡) biến đổi ngẫu nhiên theo thời gian.
2.2.1.1. Trường hợp hàm chuyển tiếp là hàm logistic
Nếu hàm chuyển tiếp có dạng là hàm logistic tổng quát: 𝐺(𝑧𝑡; 𝛾, 𝑐) = (1 + exp {−𝛾 ∏(𝑧𝑡 − 𝑐𝑘) 𝐾 𝑘=1 }) −1 , 𝛾 > 0 (2.3)
Khi đó, các phương trình (2.2) và (2.3) cùng nhau xác định mơ hình STR logistic (LSTR): { 𝑦𝑡 = 𝜙′𝐱𝑡+ 𝜃′𝐱𝑡𝐺(𝑧𝑡; 𝛾, 𝑐) + 𝑢𝑡 𝐺(𝑧𝑡; 𝛾, 𝑐) = (1 + exp {−𝛾 ∏(𝑧𝑡 − 𝑐𝑘) 𝐾 𝑘=1 }) −1
Các lựa chọn phổ biến nhất của K là 𝐾 = 1 và 𝐾 = 2:
Khi 𝑲 = 𝟏: các tham số 𝜙 + 𝜃𝐺(𝑧𝑡; 𝛾, 𝑐) thay đổi đơn điệu như một hàm của 𝑠𝑡 từ 𝜙 đến 𝜙 + 𝜃. Mơ hình thu được gọi là LSTR1 sẽ có một ngưỡng duy nhất và mơ tả hành vi bất đối xứng. Hàm chuyển tiếp trở thành:
𝐺(𝑧𝑡; 𝛾, 𝑐) = 1
1 + exp{−𝛾(𝑧𝑡 − 𝑐)} , 𝛾 > 0
Hình 2.3 cũng cho thấy tốc độ của tham số độ dốc 𝛾 cho phép quá trình chuyển tiếp của G diễn ra nhanh như thế nào:
𝛾 = 1: quá trình chuyển tiếp của G từ 0 đến 1 tương đối chậm.
𝛾 = 10: quá trình chuyển tiếp của G diễn ra khá nhanh.
Trong thực nghiệm, mơ hình LSTR1 có thể mơ hình hóa hành vi bất đối xứng. Giả sử biến chuyển tiếp 𝑧𝑡 đo lường các giai đoạn trong chu kỳ kinh doanh; khi đó mơ hình LSTR1 có thể mơ tả tính chất động trong miền tăng trưởng khác với miền suy
Hình 2.3. Đồ thị của hảm LSTR1 với 𝒄 = 𝟏
𝑧𝑡 Hình 2.3 biểu diễn hình dạng của hàm
chuyển tiếp khi tham số độ dốc 𝛾 = 1 và 𝛾 = 10.
Khi 𝑧𝑡 = 𝑐 thì 𝐺 = 0,5, ta có tham số vị trí 𝑐 đại diện cho các điểm chuyển tiếp giữa hai thời kỳ.
thoái, và cho phép sự chuyển tiếp từ thái cực này sang thái cực kia diễn ra một cách mượt mà.
Khi 𝑲 = 𝟐: các tham số trên thay đổi đối xứng xung quanh điểm giữa (𝑐1+ 𝑐2)/2, tại đó hàm logistic đạt giá trị cực tiểu, giá trị cực tiểu nằm giữa 0 và 1/2. Mơ hình thu được gọi là LSTR2 sẽ có hai ngưỡng, một ngưỡng phía trên và một ngưỡng phía dưới giữa hai trạng thái. Hàm chuyển tiếp trở thành:
𝐺(𝑧𝑡; 𝛾, 𝑐) = 1
1 + exp{−𝛾(𝑧𝑡− 𝑐1)(𝑧𝑡 − 𝑐2)} , 𝛾 > 0, 𝑐1 ≠ 𝑐2
Trong thực nghiệm, mơ hình LSTR2 rất phù hợp khi mơ tả tính chất động cục bộ của quá trình tương tự nhau ứng với giá trị lớn và nhỏ của 𝑧𝑡 nhưng lại khác khi nhận giá trị trung bình ở miền giữa.
2.2.1.2. Trường hợp hàm chuyển tiếp là hàm mũ
Nếu hàm chuyển tiếp có dạng là hàm mũ tổng quát:
𝐺(𝑧𝑡; 𝛾, 𝑐) = 1 − exp{−𝛾(𝑧𝑡− 𝑐1∗)2}, 𝛾 > 0 (2.4) Khi đó, các phương trình (2.2) và (2.4) cùng nhau xác định mơ hình hồi quy chuyển tiếp trơn mũ (ESTR):
{ 𝑦𝑡 = 𝜙
′𝐱𝑡+ 𝜃′𝐱𝑡 𝐺(𝑧𝑡; 𝛾, 𝑐) + 𝑢𝑡 𝐺(𝑧𝑡; 𝛾, 𝑐) = 1 − exp{−𝛾(𝑧𝑡 − 𝑐1∗)2}, 𝛾 > 0
Hình 2.4. Đồ thị của hàm LSTR2 với 𝒄𝟏 = −𝟏, 𝒄𝟐 = 𝟏
𝑧𝑡
Hàm chuyển tiếp 𝐺𝐸 đơn điệu và đối xứng xung quanh 𝑠𝑡 = 𝑐1∗. Nếu tham số độ dốc 𝛾 nhận các giá trị nhỏ và trung bình thì đồ thị của hàm ESTR sẽ cho hình dạng khá giống với đồ thị của hàm LSTR2, mặc dù giá trị cực tiểu của chúng là khác nhau.
Hình 2.4 và 2.5 cho thấy cả hai mơ hình LSTR2 và ESTR đều cho phép tái chuyển đổi cấu trúc. Tuy nhiên, về mặt trực quan, có thể nhìn thấy rằng với giá trị 𝛾 lớn, quá trình chuyển tiếp của 𝑧𝑡 từ 1 đến 0 và trở lại 1 của mơ hình ESTR diễn ra nhanh hơn nhiều so với q trình chuyển tiếp của mơ hình LSTR2 vì quá trình chuyển tiếp trong LSTR2 thường diễn ra chậm hơn khi mà khoảng trống giữa hai vị trí 𝑐1 và 𝑐2
là khá lớn.
Khi 𝛾 → ∞ thì (2.2) và (2.4) trở thành tuyến tính, hàm chuyển tiếp 𝐺 = 0 tại 𝑧𝑡 = 𝑐1∗, và 𝐺 = 1 tại các vị trí cịn lại. Do đó, mơ hình ESTR khơng phải là một xấp xỉ tốt của mơ hình LSTR2 khi 𝛾 trong mơ hình LSTR2 lớn và khoảng cách của (𝑐2− 𝑐1) không gần bằng 0.