6. Bố cục luận văn
2.3. Quy trình xây dựng mơ hình
2.3.5. Đánh giá mơ hình
Tùy vào sự hỗ trợ của các phần mềm thống kê mà các kiểm định sau đây thường được dùng cho việc đánh giá các mơ hình tự hồi quy chuyển tiếp trơn.
Kiểm định tự tương quan phần dư
Giả định 𝑀(𝑧𝑡; 𝜓) có ít nhất sai phân liên tục bậc hai đối với các tham số trong không gian mẫu và 𝑦𝑡 = 𝑀(𝑧𝑡; 𝜓) + 𝑢𝑡, 𝑡 = 1, … , 𝑇; trong đó 𝑢𝑡 = 𝛼′𝜐𝑡, 𝛼 = (𝛼1, … , 𝛼𝑞)′, 𝜐𝑡 = (𝑢𝑡−1, … , 𝑢𝑡−𝑞)′ và 𝜀𝑡∼ iid 𝑁(0, 𝜎2).
H0: khơng có tự tương quan trong phần sai số (𝛼 = 0) H1: có tự tương quan ở bậc 𝑞 trong 𝑢𝑡
Kiểm định LM của Godfrey được dùng cho việc kiểm định. Thủ tục bao gồm việc hồi quy phần dư 𝑢̃𝑡 của mơ hình STR trên các phần dư trễ 𝑢̃𝑡−1, … , 𝑢̃𝑡−𝑞 và đạo hàm từng phần của hàm log-likelihood đối với các tham số của mơ hình được đánh giá tại giá trị tối đa hóa 𝜓 = 𝜓′. Gọi 𝑛 là số lượng các tham số trong mơ hình. Hệ số kiểm định:
𝐹LM = {(𝑆𝑆𝑅0− 𝑆𝑆𝑅1)/𝑞}/{𝑆𝑆𝑅1(𝑇 − 𝑛 − 𝑞)}
Trong đó: 𝑆𝑆𝑅0 là tổng bình phương các phần dư của mơ hình; 𝑆𝑆𝑅1 tổng bình phương các phần dư của hồi quy phụ. Hệ số kiểm định có phân phối xấp xỉ F- distribution với 𝑞 và 𝑇 − 𝑛 − 𝑞 là các bậc tự do.
Kiểm định tính phi tuyến khơng cịn tồn tại
Để biết tính phi tuyến cịn tồn tại hay khơng, xem xét mơ hình STR bổ sung: 𝑦𝑡 = 𝜙′𝑥𝑡+ 𝜙′𝑥𝑡𝐺(𝑧1𝑡; 𝛾1, 𝑐1) + 𝜓′𝑥𝑡𝐻(𝑧2𝑡; 𝛾2, 𝑐2) + 𝑢𝑡 (2.9)
Trong đó 𝐻(𝑧2𝑡; 𝛾2, 𝑐2) là hàm chuyển tiếp khác của (1.6) và 𝑢𝑡 ∼ iid 𝑁(0, 𝜎2). Giả định 𝐻(𝑧2𝑡; 0, 𝑐2) = 0, ta có:
H0: 𝛾2 = 0
Giả thuyết khơng H0 với ý nghĩa khơng cịn tồn tại tính phi tuyến. Mơ hình chỉ được nhận diện theo giả thuyết đối khi cả 𝜓 và 𝑐2 là các tham số nhiễu dưới giả thuyết khơng. Bài tốn tìm nghiệm có thể được giải bằng cách xấp xỉ hàm chuyển tiếp 𝐻 theo chuỗi Taylor mở rộng tại 𝛾2 = 0. Giả định mở rộng Taylor bậc 3, dẫn đến mơ hình phụ sau đây:
𝑦𝑡 = 𝛽0′𝑥𝑡+ 𝜃′𝑥𝑡𝐺(𝑧1𝑡; 𝛾1, 𝑐1) + 𝑥𝑡′𝑧2𝑡𝛽1+ 𝑥𝑡′𝑧2𝑡2𝛽2+ 𝑥𝑡′𝑧2𝑡3 𝛽3+ 𝑢𝑡∗ (2.10) Trong đó 𝑢𝑡∗ = 𝑢𝑡+ 𝜓′𝑥𝑡𝑅3(𝑧2𝑡; 𝛾2, 𝑐2), 𝑅3 là phần còn lại từ xấp xỉ đa thức. Nếu để 𝜃 = 0, (2.10) sẽ trở thành (2.6).
Sau khi xấp xỉ đa thức, giả thuyết không trở thành: H0: 𝛽1 = 𝛽2 = 𝛽3 = 0 Rút ra hệ số kiểm định LM-type bằng cách thay thế 𝑥𝑡 cho gradient vector:
𝜈𝑡 = (𝑥𝑡′, 𝑥𝑡′𝐺(𝑧̃1𝑡; 𝛾̃1, 𝑐̃1), 𝑔𝑡(𝛾̃), 𝑔𝑡(𝑐̃1)′)′
Trong đó: 𝑔𝑡(𝛾) = 𝜕𝐺(𝑧1𝑡; 𝛾1, 𝑐1)/𝜕𝛾1|(𝛾1,𝑐1)=(𝛾̃1,𝑐̃1) và 𝑔𝑡(𝑐̃1) = 𝜕𝐺(𝑧1𝑡; 𝛾1, 𝑐1)/𝜕𝑐1|(𝛾1,𝑐1)=(𝛾̃1,𝑐̃1)
Kiểm định tính nhất quán của tham số ước lượng
Tính khơng nhất qn của các thông số ước lượng có thể chỉ ra sự khơng phù hợp của mơ hình hoặc thay đổi qua thời gian trong mối quan hệ kinh tế được chỉ định bởi mơ hình.
Viết lại (2.2):
𝑦𝑡 = 𝜙(𝑡)′𝐱𝑡 + 𝜃(𝑡)′𝐱𝑡𝐺(𝑧𝑡; 𝛾, 𝑐) + 𝑢𝑡, 𝛾 > 0 (2.11) Trong đó: 𝜙(𝑡) = 𝜙 + 𝜆𝜙𝐻𝜙(𝑡∗; 𝛾𝜙, 𝑐𝜙) (2.12) Và 𝜃(𝑡) = 𝜃 + 𝜆𝜃𝐻𝜃(𝑡∗; 𝛾𝜃, 𝑐𝜃) (2.13) Với 𝑡∗ = 𝑡/𝑇 và 𝑢𝑡 ∼ iid 𝑁(0, 𝜎2)
Các phương trình (2.11), (2.12) và (2.13) xác định nên mơ hình hồi quy chuyển
tiếp trơn thay đổi theo thời gian (Time varying - smooth transition regression, TV- STR).
H0: 𝛾𝜙 = 𝛾𝜃 = 0
H1: hoặc 𝛾𝜙 > 0 hoặc 𝛾𝜃 > 0 hoặc cả hai
H0 biểu thị cho tính nhất quán của các tham số ước lượng, giả thuyết H1 thể hiện sự không nhất quán, các vector tham số thay đổi theo thời gian.
Mơ hình TV-STR chỉ được nhận diện khi 𝛾𝜙, 𝛾𝜃 > 0. Để tránh ràng buộc này, tiến hành mở rộng (2.11), (2.12) và (2.13) thành các chuỗi Taylor quanh 𝛾𝜓 = 0, sắp xếp lại các tham số, ta có hồi quy phụ phi tuyến (đối với hàm logistic bậc 3):
𝑦𝑡 = 𝛽0′𝑥𝑡 + ∑ 𝛽𝑗′{𝑥𝑡(𝑡∗)𝑗} 3 𝑗=1 + ∑ 𝛽𝑗+3′ {𝑥𝑡(𝑡∗)𝑗} 3 𝑗=1 𝐺(𝑧𝑡; 𝛾, 𝑐) + 𝑢𝑡∗ (2.14) H0 trở thành: 𝛽𝑗 = 0, 𝑗 = 1, … ,6
Hệ số kiểm định LM-type được xác định tương tự như các phần trước đây. Hồi quy phụ bao gồm việc hồi quy phần dư 𝑢̃𝑡 (hoặc 𝑦𝑡) trên
𝜈𝑡 = [𝑥𝑡′, 𝑥𝑡′𝑡∗, 𝑥𝑡′(𝑡∗)2, … , 𝑥𝑡′(𝑡∗)3𝐺(𝑧𝑡; 𝛾, 𝑐)]′
Phiên bản F của hệ số kiểm định này được đề nghị bởi 𝜈𝑡 là vector (7(𝑚 + 1) × 1) và số bậc tự do trong kiểm định 𝜒2 bằng 7(𝑚 + 1).