6. Bố cục luận văn
2.2. Phương pháp thực nghiệm
2.2.2. Mơ hình tự hồi quy chuyển tiếp trơn (STAR)
Nếu trong phương trình (2.2), véc tơ biến ngoại sinh không hiện diện và 𝐳𝑡 = 𝑦𝑡−𝑑 hoặc 𝐳𝑡 = ∆𝑦𝑡−𝑑, 𝑑 > 0, thì mơ hình STR trở thành mơ hình tự hồi quy chuyển tiếp trơn STAR (Smooth Transition Autoregressive model) đơn biến.
Hình 2.5. Đồ thị của hàm ESTR với 𝒄𝟏∗ = 𝟎
𝑦𝑡 = 𝜙′𝐱𝑡+ 𝜃′𝐱𝑡𝐺(𝑦𝑡−𝑑; 𝛾, 𝑐) + 𝑢𝑡
𝑡 = 1, … , 𝑇 Trong đó:
𝐱𝑡 = (1, 𝑦𝑡−1, … , 𝑦𝑡−𝑝)′ là véc tơ chỉ chứa các trễ của biến nội sinh;
𝜙 = (𝜙0, 𝜙1, … , 𝜙𝑚)′ và 𝜃 = (𝜃0, 𝜃1, … , 𝜃𝑚)′ là ((𝑚 + 1) × 1) các véc tơ tham số;
𝑢𝑡 là sai số tuân theo quy luật phân phối chuẩn;
𝐺(𝑦𝑡−𝑑; 𝛾, 𝑐) là hàm số liên tục và bị chặn trên (0,1) của biến chuyển tiếp 𝑧𝑡 = 𝑦𝑡−𝑑;
Như vậy, mơ hình tự hồi quy chuyển tiếp trơn (STAR) là một trường hợp đặc biệt của mơ hình STR. Tùy thuộc vào dạng hàm chuyển tiếp 𝐺 mà sẽ có các dạng mơ hình STAR khác nhau.
Trên thực tế, các mơ hình STAR được sử dụng khá linh hoạt. Trong một số trường hợp, biến ngoại sinh được đưa vào mơ hình để cùng với các trễ của biến nội sinh đóng vai trị là các biến độc lập giải thích cho biến phụ thuộc, như nghiên cứu của Shintani và cộng sự (2013). Biến chuyển tiếp cũng không nhất thiết được giả định chỉ là các trễ của biến nội sinh, mà có thể là biến ngoại sinh hoặc một hàm số (tuyến tính, phi tuyến) của các trễ của biến nội sinh hoặc một hàm số của xu hướng thời gian tuyến tính, như trong van Dijk và cộng sự (2000).
2.2.2.1. Mơ hình tự hồi quy chuyển tiếp trơn Logistic (LSTAR)
Khi hàm chuyển tiếp có dạng logistic, ta có mơ hình tự hồi quy chuyển tiếp trơn logistic (LSTAR) được xác định bởi:
{ 𝑦𝑡 = 𝜙′𝐱𝑡 + 𝜃′𝐱𝑡𝐺(𝑦𝑡−𝑑; 𝛾, 𝑐) + 𝑢𝑡 𝐺(𝑦𝑡−𝑑; 𝛾, 𝑐) = (1 + exp{−𝛾∏(𝑦𝑡−𝑑 − 𝑐𝑘) 𝐾 𝑘=1 }) −1
Với 𝐾 = 1, hàm chuyển tiếp logistic có dạng: 𝐺(𝑧𝑡; 𝛾, 𝑐) = 1
1 + exp{−𝛾(𝑧𝑡 − 𝑐)}
Hình 2.6 cho thấy hàm chuyển tiếp 𝐺(𝑦𝑡−𝑑; 𝛾, 𝑐) tăng từ 0 đến 1.
Với 𝐾 = 2, hàm chuyển tiếp logistic có dạng: 𝐺(𝑧𝑡; 𝛾, 𝑐) = (1 + exp {−𝛾 ∏(𝑧𝑡− 𝑐𝑘) 2 𝑘=1 }) −1 Hình 2.6. Đồ thị của hàm LSTAR1 Hình 2.7. Đồ thị của hàm LSTAR2
Hình 2.7 cho thấy hàm chuyển tiếp đối xứng quanh điểm giữa 𝑐1+𝑐2
2 , tại đó hàm logistic nhận giá trị cực tiểu.
2.2.2.2. Mơ hình tự hồi quy chuyển tiếp trơn mũ (ESTAR)
Khi hàm chuyển tiếp có dạng hàm mũ, ta có mơ hình tự hồi quy chuyển tiếp trơn mũ (ESTAR) được xác định bởi:
{
𝑦𝑡 = 𝜙′𝐳𝑡 + 𝜃′𝐳𝑡𝐺(𝛾, 𝑐, 𝑦𝑡−𝑑) + 𝑢𝑡
𝐺𝐸(𝛾, 𝑐, 𝑦𝑡−𝑑) = 1 − exp{−𝛾(𝑦𝑡−𝑑− 𝑐1∗)2} , 𝛾 > 0
Trong mơ hình ESTAR, khi 𝛾 tiếp cận đến 0 hoặc vô cùng, giá trị của hàm chuyển tiếp khơng đổi và mơ hình ESTAR trở thành mơ hình tự hồi quy bậc 𝑝, 𝐴𝑅(𝑝). Trong các trường hợp cịn lại, mơ hình sẽ có tính chất phi tuyến. Các hệ số của mơ hình ESTAR đối xứng quanh điểm 𝑦𝑡−𝑑 = 𝑐.
Hình minh họa cho thấy sự chuyển tiếp trong mơ hình ESTAR đạt giá trị cực tiểu tại 0.
Hình 2.8. Đồ thị của hàm ESTAR