Peirce (1960), Gallo (1994) và Magnani (1997) cho rằng quá trình chứng minh hình học sử dụng lập luận ngoại suy tuân theo các bước sau:
- Bước 1: (Quan sát, lập luận quy nạp, tạo giả thuyết) Người học quan sát các hiện tượng trên hình vẽ và thành lập giả thuyết.
- Bước 2: (Lập luận ngoại suy) Người học tìm tòi các dữ kiện, lựa chọn các quy tắc hay phương pháp để giải thích và kiểm chứng các giả thuyết đã đưa ra dựa trên kinh nghiệm cá nhân và suy luận toán học.
- Bước 3: (Lập luận suy diễn và quy nạp) Chuyển tiếp các lập luận dùng để kiểm chứng các giả thuyết sang các lập luận suy diễn (để hoàn thành chứng minh) hay các lập luận quy nạp (để kiểm tra lại kết quả).
Ví dụ:
Hình hộp chữ nhật có dài 4cm, rộng 3cm, cao 2cm, gồm có 2 lớp khối vuông.
Mỗi lớp khối vuông gồm có: 4 x 3 khối vuông, 1cm3 vậy muốn tìm số khối vuông 1cm3 ta chỉ việc tính 4 x 3 x 2, đó chính là thể tích hình hộp chữ nhật.
Từ đó học sinh tự nêu quy tắc và công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật. Công thức tính thể tích hình lập phương được suy ra từ công thức tính hình hộp chữ nhật V = a x a x a vì chiều dài, rộng, cao đều bằng nhau.
Đối với quy tắc tính thể tích hình trụ. Giáo viên có thể xây dựng trên cơ sở phép tương tự sau:
- Thể tích hình hộp chữ nhật (a x b) x c
- Thể tích hình lập phương = (a x a) x a
- Ta thấy thể tích 2 hình trên đều bằng diện tích đáy nhân chiều cao (thể tích = diện tích đáy x chiều cao)
- Đối với hình trụ cũng vậy (thể tích hình trụ = diện tích đáy x chiều cao) Khi học sinh đã nắm được quy tắc và công thức tính. Giáo viên nên hình thành cho học sinh các quy tắc tính ngược được.
2.3.1. Giải thích các giả thuyết hiện tƣợng quan sát đƣợc
SLNS có vai trò quan trọng trong việc lí giải nguồn gốc của các kết quả khoa học, lí giải các hiện tượng quan sát được nhằm đưa ra một phương án giải thích tốt nhất . Đặc biệt, trong quá trình dạy học môn Hình học ở phổ thông theo quan điểm lí thuyết kiến tạo, SLNS thường xuất hiện ẩn tàng trong quá trình hình thành tri thức mới thông qua việc quan sát các tình huống, các hiện tượng cần giải thích. Vì vậy, GV cần xây dựng tình huống thực nghiệm, giúp học sinh tạo ra các giả thuyết cần được kiểm chứng và sử dụng các phương pháp giải toán khác nhau. Qua đó, học sinh rèn luyện kĩ năng SLNS trong quá trình chứng minh các bài toán hình học.
Một số nhà nghiên cứu cho rằng, các phần mềm hình học động đã thay đổi cách suy nghĩ về các đối tượng hình học truyền thống vì trong khi di chuyển hay
kéo rê các đối tượng hình học, đo đạc và kiểm tra các tính chất, người học có thể nhận ra các tính chất bất biến hình học. Từ đó, giả thuyết ban đầu về các đối tượng hình học và mối quan hệ giữa chúng được hình thành, sau đó, phần mềm hình học động cũng hỗ trợ quá trình kiểm tra tính đúng đắn của các giả thuyết đó. Chính các hoạt động này dẫn đến các tình huống cần được giải thích và tạo nhu cầu chứng minh bài toán đó. Quá trình lập luận sau đó được chuyển từ trực quan sinh động sang một cấp độ cao hơn là dùng lời để mô tả, giải thích các hiện tượng quan sát được. Điều này có nghĩa là chúng ta cần đi tìm các luận cứ hay luận chứng để giải thích, chứng minh hay nói cách khác đây là tình huống dẫn đến việc sử dụng lập luận ngoại suy. Để hiểu rõ hơn về vai trò của các loại lập luận trong quá trình chứng minh hình học, chúng ta tìm hiểu sơ đồ dưới đây (Nguyễn Bá Kim, 2009, tr 15 - 20):
Hình 2.2. Quá trình chứng minh trong môi trƣờng hình học động
Ví dụ: Hợp tác xã Hòa Bình dự định xây dựng một khu vui chơi cho trẻ em trong xã. Vì thế họ đã mở rộng một mảnh đất hình chữ nhật để diện tích gấp ba lần diện tích ban đầu. Chiều rộng mảnh đất chỉ có thể tăng lên gấp đôi nên phải mở rộng thêm chiều dài. Khi đó mảnh đất trở thành hình vuông. Hãy tính diện tích khu vui chơi đó. Biết rằng chu vi mảnh đất ban đầu là 56 m.
Bài giải : Gọi mảnh đất hình chữ nhật lúc đầu là ABCD, khi mở rộng mảnh đất hình chữ nhật để được mảnh đất hình vuông APMN có cạnh hình vuông gấp 2 lần chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật ABCD và diện tích gấp 3 lần diện tích mảnh đất hình chữ nhật ấy. Khi đó diện tích của các mảnh đất hình chữ nhật ABCD, DCHN, BPMH bằng nhau.
- Mảnh đất hình chữ nhật BPMH có độ dài cạnh BH gấp 2 lần độ dài cạnh AD nên Nửa chu vi mảnh đất ban đầu là 56 m nên AD + AB = 56 : 2 = 28 (m).
- Ta có : Chiều rộng mảnh đất ban đầu (AD) là : 28 : (3 + 4) x 3 = 12 (m).
- Cạnh hình vuông APMN là : 12 x 2 = 24 (m).
- Diện tích khu vui chơi là : 24 x 24 = 576 (m2). Quan sát Kéo rê các đối tượng Đo đạc kiểm tra Nhận ra các bất biến Hình thành giả thuyết Quan sát Quy nạp Suy diễn Hoàn thành chứng minh Lựa chọn, sắp xếp các lập luận Tập hợp các lập luận Kiểm chứng giả thuyết
Ví dụ : “Một hình thang có diện tích 845cm2, đáy lớn hơn đáy bé là 13 cm, chiều cao là 26cm. Tính độ dài đáy lớn, đáy bé ?”
Giải :
Tổng của đáy lớn và đáy bé của hình thang là : 845 x 2 : 26 = 65 ( cm) Độ dài của đáy lớn hình thang là (65 + 13) : 2 = 39 (cm )
Độ dài đáy bé của hình thang là 65 - 39 = 26 (cm ) Đáp số : Đáy lớn : 39cm
Đáy bé : 26cm
Từ công thức tính diện tích hình thang, các em đã biết suy ra công thức tính tổng hai đáy nhưng chưa biết giải tiếp để tính độ dài mỗi đáy. Các học sinh cần đưa bài toán về dạng tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó để tìm đáy bé và đáy lớn (tổng hai đáy là 65cm, hiệu hai đáy là 13cm).
* Biện pháp khắc phục :
Hướng dẫn học sinh xác định bài toán này có liên quan đến dạng toán điển hình nào. Nhấn mạnh cho học sinh nắm được ngoài việc tìm diện tích của một hình cần phải tìm những thành phần liên quan như chiều dài, chiều rộng, đáy và chiều cao (hình tam giác) ; đáy lớn, đáy bé, chiều cao (hình thang) qua các dạng toán như tìm hai số khi biết tổng và tỉ, hiệu và tỉ hoặc tổng và hiệu số của chúng.
Học sinh phải nhận dạng nhanh và nắm được quy tắc giải các bài toán. Sau khi học công thức tính diện tích hình nào thì hướng dẫn học sinh cách suy luận để tìm công thức ngược về tính kích thước các hình đó.
Khi hướng dẫn rõ ràng như vậy, tôi chắc rằng không những học sinh biết vận dụng mà các em còn hiểu rõ của việc chuyển đổi công thức. Qua đó rèn kỹ năng áp dụng các kiến thức về tìm thành phần chưa biết và giải toán để tìm kích thước.
2.3.2. Nguồn gốc hình thành các ý tƣởng sáng tạo
Trong toán học, khi chứng minh một vấn đề nào đó thường sử dụng các lập luận lôgic kiểu suy diễn. Tuy nhiên, quá trình hình thành giả thuyết, khám phá tri thức mới lại xuất phát từ SLNS, đặc biệt là SLNS sáng tạo. Do đó, SLNS còn đóng vai trò quan trọng trong việc tạo ra các ý tưởng mới và mở rộng vốn tri thức của nhân loại.
Có những bài toán hình học “đòi hỏi phải biết vận dụng thao tác phân tích, tổng hợp trên hình đồng thời với việc tính toán trên số đo diện tích. Nếu bài tập không có công thức tính trực tiếp diện tích hình thì gợi ý cho các em các cách chia hình, vẽ thêm hình như sau” :
+ Nếu một hình lớn được chia ra thành các hình nhỏ thì tổng diện tích các hình nhỏ bằng diện tích của hình lớn ban đầu.
+ Nếu ghép các hình nhỏ để được một hình lớn thì diện tích hình lớn bằng tổng diện tích của các hình nhỏ đó.
+ Nếu hai hình có diện tích bằng nhau, cùng bớt đi một phần diện tích chung thì phần còn lại của hai hình đó có diện tích bằng nhau.
+ Nếu ta ghép thêm vào hai hình có diện tích bằng nhau cùng một hình thì hai hình mới nhận được cũng có diện tích bằng nhau [10].
Ví dụ : “ Tính diện tích của thửa ruộng có kích thước theo hình vẽ bên:
Tương tự bài trên, tôi cũng cho các em nhận xét là không có công thức tính diện tích hình này. Các em sẽ chia thửa ruộng thành 1 hình thang và 2 hình tam giác, tính tổng diện tích các các mảnh nhỏ sẽ là diện tích của thửa ruộng”.
Giải :
Diện tích thửa ruộng hình tam giác vuông AMB là : 24,5 x 20,8 : 2 = 254,8 (m2)
Diện tích thửa ruộng hình thang vuông MBCN là : (20,8 + 38)x37,4 : 2 = 1099,56 (m2)
Diện tích thửa ruộng hình tam giác vuông CND là: 38 x25,3 : 2 = 480,7 (m2 ) Diện tích cả thửa ruộng là:
254,8 + 1099,56 + 475 = 1835,06 (m2) Đáp số : 1835,06 m2
Các bài tập này yêu cầu học sinh phải nắm vững công thức tính diện tích của một hình đã học, nắm được mối liên hệ của các phép tính trong một bài toán giải. Trong quá trình giải toán, nhất là các bài toán tổng hợp về diện tích có kết hợp với những kiến thức số học và kiến thức các đại lượng khác. Khi giải, có những em tìm ra rất nhanh điều kiện để giải bài toán song lại không biết sử dụng nó cho bước tiếp
theo, cũng có em đọc không kỹ đề bài nên tóm tắt và chia hình không đúng.
Từ những khó khăn mà học sinh gặp phải trên, giáo viên cần có một số biện pháp sau :
Hướng dẫn các em chia hình sao cho số hình chia được là ít nhất. Gợi ý cho học sinh xác định được đây là bài toán về tìm diện tích nhưng lại có kết hợp với dạng toán điển hình nào, tức là trước khi sử dụng công thức tính diện tích thì các em phải qua bài toán trung gian để tìm các kích thước. Nhắc các em dạng toán về quan hệ tỉ lệ, cách rút về đơn vị để áp dụng vào giải. Yêu cầu đọc kỹ đề bài, tìm hiểu kỹ nội dung bài toán để tự tóm tắt bài toán.
2.3.3. Chuyển sang chứng minh suy diễn
SLNS đóng vai trò quan trọng trong quá trình chuyển tiếp sang chứng minh suy diễn hình học. “Khi học sinh sử dụng các SLNS để tìm ra phương pháp giải quyết bài toán. Điều này dẫn đến học sinh phải thành lập các giả thuyết trước khi dùng SLNS đa tuyến và đơn tuyến để kiểm chứng lại chúng. Tuy nhiên, hầu hết các học sinh đều gặp khó khăn trong việc chuyển tiếp từ SLNS sang chứng minh suy diễn. Đây chính là chướng ngại về mặt cấu trúc giữa SLNS và chứng minh suy diễn. Mức độ khó khăn trong quá trình chuyển tiếp được nâng dần từ ngoại suy đơn tuyến đến ngoại suy sáng tạo. Nếu các học sinh nhận ra được cấu trúc của quá trình SLNS và sử dụng phép suy ngược lùi thì việc viết chứng minh suy diễn lại trở nên dễ dàng hơn” (Nguyễn Danh Nam, 2013, tr 20 -25).
Trong quá trình HS lập luận để tìm ra cách giải quyết các vấn đề đặt ra HS sẽ đưa ra các giả thuyết dựa trên quan sát của mình, các giả thuyết có thể đúng có thể sai. “HS cần phải hiểu và áp dụng các quy tắc như các tam đoạn luận phổ biến, quy tắc kết luận từ mệnh đề phổ biến… để kiểm tra tính đúng đắn của giả thuyết mình đặt ra. Nếu giả thuyết đúng HS sẽ tiếp tục con đường đó còn nếu sai HS phải bác bỏ giả thuyết để tìm ra con đường chứng minh khác và việc chứng minh suy diễn là một trong các cách giúp học sinh giải quyết bài toàn dễ dàng hơn. HS không biết chuyển từ suy luận ngoại suy sang chứng minh suy diễn vì trong quá trình chứng minh của HS vẫn còn cấu trúc ngoại suy. Đây chính là chướng ngại về mặt cấu trúc giữa lập luận ngoại suy và chứng minh suy diễn. GV có vai trò quan trọng trong việc hỗ trợ hướng dẫn gợi ý cho HS trong quá trình lập luận nhất là sử dụng suy ngược lùi để việc chứng minh trở lên dễ dàng hơn”.
Ví dụ 9: Cho hình thang ABCD có đáy bé AB là 27cm, đáy lớn CD là 48cm. Nếu kéo dài đáy bé thêm 5cm thì diện tích của hình tăng 40cm2. Tính diện tích hình thang đã cho.
Tương tự bài trên, các em đã nắm được cách tính chiều cao hình thang thì chỉ áp dụng công thức sẽ giải được.
Giải :
Tam giác CBE có đáy BE = 5 cm, có chiều cao là chiều cao của hình thang ABCD.
Vậy chiều cao của hình thang ABCD là : 40 x 2 : 5 = 16 (cm) Diện tích hình thang ABCD là : (27 + 48) x 16 : 2 = 600 (cm2) Đáp số : 600 cm2
Đây là bài toán giúp học sinh kĩ năng suy luận, nhưng khi gặp những bài toán này các em cũng thường gặp một số khó khăn: “chưa có khả năng phán đoán suy luận để tìm ra vấn đề cần thiết của bài toán ; chưa tìm ra được sự quan hệ qua lại giữa các yếu tố trong một hình (tức là chưa nhận thấy chiều cao hình này cũng chính là chiều cao của hình kia), chưa hiểu rõ về tính chất chung của các hình để từ đó vận dụng tốt công thức.
* Biện pháp khắc phục:
Đối với các bài tập trong sách giáo khoa, thì việc giáo viên hướng dẫn học sinh lập luận theo hướng chứng minh suy diễn để tìm ra lời giải và cách giải, cũng có thể tìm ra cách giải ngắn gọn nhờ suy luận. Trước hết học sinh phải làm thành thạo các bài tập về diện tích, tìm ra được mối quan hệ qua lại các yếu tố của hình để giúp các em giải quyết được các bài tập.
Nhắc nhở các em vẽ đúng các đoạn thêm (hoặc bớt) số đo các kích thước sao cho cân đối. Khi dạy hình thành biểu tượng, giáo viên khắc sâu cho học sinh các yếu tố tạo thành hình tương ứng, đồng thời bồi dưỡng cho các em khả năng phân tích tổng hợp bằng cách thiết lập mối quan hệ các yếu tố trong từng hình [13].
2.3.4. Thực trạng của việc dạy học theo định hƣớng phát triển năng lực ngoại suy cho học sinh lớp 5 ở trƣờng Tiểu học Thái Thị Bôi
a) Nội dung các yếu tố hình học lớp 5 bao gồm:
Các kiến thức về tam giác, hình thang, hình chữ nhật, hình lập phương, đường tròn.
Các kiến thức về hình học phẳng: - Giới thiệu hình tròn, hình thang.
- Các yếu tố của hình tròn trong tam giác, hình thang (cạnh đáy, đáy bé, đáy lớn, cạnh bên, đường cao…).
- Diện tích hình tam giác, hình thang, hình tròn, chu vi, diện tích các hình. Các kiến thức về hình học không gian:
- Hình hộp chữ nhật, hình lập phương và các yếu tố của hình học đó.
- Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật, hình lập phương.
- Thể tích của hình hộp chữ nhật, hình lập phương. Các đại lượng đo lường:
- Sơ đồ đo diện tích trong bảng đo diện tích. - Sơ đồ đo thể tích trong bảng đo thể tích.
b) Thực trạng của việc dạy và học hình học ở trường Tiểu học Thái Thị Bôi Để tìm hiểu thực trạng việc dạy học các yếu tố hình học lớp 5 tại trường Tiểu học Thái Thị Bôi nói chung và dạy học các yếu tố hình học lớp 5 theo định hướng phát triển năng lực suy luận ngoại suy nói riêng, chúng tôi đã tiến hành điều tra, khảo sát, lấy ý kiến của một số GV và HS của trường Tiểu học Thái Thị Bôi. Kết quả khảo sát như sau:
Giáo viên
Để tìm hiểu về thực trạng dạy học các yếu tố hình học lớp 5, chúng tôi đã tiến hành phỏng vấn, phát phiếu điều tra xin ý kiến của 15 GV dạy toán thuộc trường trường Tiểu học Thái Thị Bôi .
Tôi đã tiến hành phỏng vấn một số GV ở trường TH Thái Thị Bôi, tôi xin trích dẫn một đoạn phỏng vấn cô Nguyễn Thị Vân, GV trường Tiểu học Thái Thị