7. Cấu trúc luận văn
1.3.1. Cơ hội rèn KNTH cho HS qua chủ đề “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng”
1.3.1.1. Chủ đề phương trình trong môn Toán ở trường phổ thông
a) Mạch kiến thức về phương trình
Phương trình là một nội dung cơ bản của chương trình môn Toán ở trường phổ thông, xuyên suốt từ bậc tiểu học đến hết bậc phổ thông và được triển khai qua các lớp như sau:
Học sinh được làm quen một cách ẩn tàng với những PT, kể cả việc giải chúng, ngay từ bậc tiểu học: Ở các lớp 1; 2; 3 là các dạng toán: Điền số thích hợp vào ô trống, ở các lớp 3; 4; 5 là các bài toán: Tìm x biết x + 1= 2…, đến lớp 6, lớp 7 cũng gặp dạng PT đó (theo cách gọi ở lớp trên thì đó là dạng PT bậc nhất một ẩn) nhưng nhìn sẽ thấy phức tạp hơn một chút vì nó có chứa dấu ngoặc.
Khái niệm PT và bất PT chính thức được học ở lớp 8 và được định nghĩa lại ở lớp 10.
Những vấn đề như các khái niệm PT, PT tương đương, PT hệ quả, giải PT … được đưa dần ở mức độ thích hợp với từng lớp, có phần lặp lại và nâng cao dần (xoáy trôn ốc) qua các lớp, từ 8 đến 10. Đồng thời học sinh cũng được dần làm quen với từng loại PT tương ứng với những yếu tố lí thuyết đã học, cụ thể là:
- Lớp 8: Được học các khái niệm PT, ẩn số, nghiệm của PT và giải PT. Tiếp đó là khái niệm hai PT tương đương và các phép biến đổi tương đương nhưng chưa học về PT hệ quả.
Các dạng PT tương ứng là: PT bậc nhất, PT chứa ẩn ở mẫu thức và PT có hệ số bằng chữ (PT chứa tham số). Đồng thời học sinh cũng được học giải toán bằng cách lập PT.
- Lớp 9: Được học về PT bậc nhất hai ẩn, hệ hai PT bậc nhất hai ẩn và các phương pháp giải hệ PT.
Tiếp đó học sinh được học về PT bậc hai một ẩn, PT quy về bậc hai và hệ thức Vi-et về tính chất giữa các nghiệm của PT bậc hai.
- Lớp 10: Tổng kết và nâng cao những kiến thức về PT mà học sinh đã được
học ở THCS, cụ thể là: định nghĩa PT và các khái niệm có liên quan, PT tương đương, các phép biến đổi tương đương, PT hệ quả … những PT chứa tham số đòi hỏi học sinh phải biện luận trong khi giải.
- Lớp 11: Được học về PT lượng giác.
- Lớp 12: Giải một số PT đơn giản trên tập hợp số phức.
b) Mục đích, yêu cầu dạy học chủ đề phương trình ở trường phổ thông
- Học sinh hiểu được khái niệm PT và những khái niệm liên quan như: nghiệm của phương trình, giải phương trình, quan hệ tương đương, hệ quả giữa hai phương trình. Thông qua chủ đề phương trình cần đào sâu và củng cố một số kiến thức về tập hợp và logíc toán. Cụ thể là những khái niệm tập hợp, phần tử, các phép toán tập hợp, các phép toán logíc “kéo theo”, “tương đương” .
- Học sinh có kỹ năng giải phương trình, thành thạo với việc giải phương trình theo thuật giải, theo công thức hoặc theo một hệ thống quy tắc biến đổi xác định. Biết biện luận phương trình theo tham số.
Biết linh hoạt vận dụng những kiến thức về giải phương trình theo nội dung, chẳng hạn phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai, phương trình mũ, logarit…
- Khi dạy học phương trình cần chú trọng thích đáng cả hai mặt ngữ nghĩa và cú pháp đồng thời giải quyết một cách hợp lí mối quan hệ giữa hai phương diện đó.
Việc chú trọng phương diện ngữ nghĩa sẽ làm cho học sinh hiểu về phương trình một cách sâu sắc, khắc phục được tất cả những hiểu biết một cách máy móc, hình thức. Đồng thời việc quan tâm tới phương diện cú pháp sẽ góp phần rèn luyện cho học sinh kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải phương trình.
Việc chú trọng cả hai phương diện này cũng góp phần rèn luyện cho học sinh phương pháp tư duy linh hoạt và HĐ quan trọng trong toán học, góp phần hình thành những phẩm chất cần thiết của con người mới, đó là tính linh hoạt, sáng tạo, cũng như tính quy củ, hợp lý trong suy nghĩ và làm việc.
- Hiểu khái niệm phương trình cả mặt ngữ nghĩa lẫn cú pháp trong khi giải, học sinh biết cách giải phương trình bằng đồ thị, thông qua đó thấy được mối liên hệ giữa phương trình và hàm số
- Học sinh có kĩ năng giải toán bằng cách lập phương trình, nhất là đối với phương trình bậc nhất và bậc hai, thông qua đó rèn luyện khả năng toán học hoá những tình huống thực tế. Làm quen với một số bài toán tối ưu đơn giản có vận dụng kiến thức về phương trình. Phát triển về tư duy thuật giải cho học sinh trong việc giải phương trình theo thuật giải hoặc theo một hệ thống quy tắc xác định. Qua đây giáo dục cho học sinh tính cẩn thận, chính xác, làm việc có khoa học. Đồng thời rèn luyện tính kế hoạch, tính kỉ luật trong việc giải phương trình theo thuật giải.
1.3.1.2. Chủ đề hệ thức Vi-ét và ứng dụng và cơ hội rèn luyện KNTH
a) Một số vấn đề về hệ thức Vi-ét
Francois Viete là một luật sư (tốt nghiệp năm 1560), nhưng sau đó, niềm đam mê Toán học đã giúp ông trở thành một nhà toán học xuất sắc, đóng góp nhiều trong việc giải các phương trình đại số. Ngoài ra ông còn là nhà nghiên cứu Thiên văn học. Trong nhiều công trình toán học của ông, có một định lý về tính chất các nghiệm của một phương trình đa thức bậc n (n2) mang tên Vi-ét. Cụ thể là:
Nếu phương trình bậc n: a0xn + a1xn-1+ …+an-1x + an= 0 (a0 ≠ 0, ai là các số thực) có các nghiệm là x1, x2,…, xn thì ta có: 1 ... 1 2 0 2 ... 1 2 1 3 1 0 ... ( 1) ... 1 0 1 2 ... ( 1) 1 2 0 a x x xn a a x x x x xn xn a a k k xi xi a i i i k k a n n x x xn a
b) Nội dung hệ thức Vi-ét và ứng dụng trong môn Toán THCS
Trong chương trình SGK môn Toán THCS (đã trình bày chi tiết ở mục 1.3.1.1), đến lớp 8 và lớp 9, HS được học những nội dung đại cương về PT, hệ phương trình; một vài loại PT, hệ phương trình cụ thể (PT bậc nhất, PT chứa ẩn ở mẫu thức, PT có hệ số bằng chữ, PT bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn); giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Về PT bậc hai, HS được học tương đối đầy đủ những nội dung: khái niệm, quy tắc giải, làm quen với PT bậc hai chứa tham số và giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai. Đặc biệt là các em được học trực tiếp một tính chất - định lý quan trọng về các nghiệm của PT bậc hai là hệ thức Vi - ét; cùng với những ứng dụng khá phong phú của nó. Cụ thể là:
Không kể những tiết ôn tập, kiểm tra, trong Chương IV. Hàm số y = ax2
(a0). Phương trình bậc hai một ẩn (Toán 9), có đưa vào những bài học với thời lượng phân phối như sau:
1. Hàm số y = ax2 (a 0). Tính chất, Đồ thị và luyện tập (4 tiết)
2. Phương trình bậc hai một ẩn số. Luyện tập (6 tiết)
3. Định lý Vi ét và ứng dụng. Luyện tập (2 tiết)
4. Phương trình quy về phương trình bậc bai. Luyện tập. (2 tiết)
Bài dạy “định lý Viet và ứng dụng” được đặt sau khi HS học “Hàm số y = ax2” và “PT bậc hai một ẩn số”, xem như một tính chất quan trọng trực tiếp phục vụ cho việc sử dụng phương trình bậc hai như một công cụ hữu hiệu trong toán học cũng như lĩnh vực khác.
Như vậy, mặc dù nội dung bài học trực tiếp về lý thuyết của hệ thức Vi ét chỉ có 2 tiết, nhưng do ý nghĩa quan trọng của hệ thức Vi ét (tổng quát là đối với một phương trình đa thức bậc n) trong môn Toán, nên số lượng và “chủng loại” bài tập ứng dụng tính chất này thì khá phong phú. Trong phạm vi môn Toán THCS, có thể kể đến những dạng bài tập sau đây:
- Nhẩm nghiệm PT bậc hai trong một số trường hợp đặc biệt; - Giải bài toán tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng; - Giải PT đưa được về dạng PT tích;
- Bước đầu biết vận dụng hệ thức Vi-ét vào một vài dạng toán hình học;
- Tính giá trị biểu thức đối xứng của các nghiệm của PT bậc hai (biểu thị được các biểu thức đối xứng của các nghiệm x1, x2 theo S = x1 + x2 và P = x1x2, nhờ vậy có thể tính được giá trị các biểu thức mà không cần giải PT tìm ra nghiệm, ...);
...
c) Mục đích yêu cầu dạy học hệ thức Vi-ét và ứng dụng ở THCS
Mục đích: Biết vận dụng linh hoạt định lí Vi-et và các hệ quả trong việc giải một số dạng toán về PT bậc hai.
Yêu cầu vận dụng: Phối hợp vận dụng những kiến thức, PP về PT bậc hai - đặc biệt là hệ thức Vi-ét và những hệ quả để vận dụng được vào việc giải một số dạng bài tập có liên quan (kể trên).
d) Cơ hội rèn luyện KNTH cho HS trong DH “hệ thức Vi-ét và ứng dụng”
+ Thời gian dành cho lý thuyết và bài tập trong chương trình được bố trí rất ít; trong khi số lượng và chủng loại bài tập ứng dụng tính chất này lại khá nhiều. Điều đó dẫn tới yêu cầu GV phải tìm cách sử dụng hình thức giúp đỡ HS tự học trên lớp và ở nhà để thực hiện chủ đề nội dung này;
+ Tuy HS chỉ học trực tiếp 2 tiết về hệ thức Vi-ét và ứng dụng, nhưng thực ra các em đã được tiếp xúc với nội dung PT, HPT khá nhiều (mà trực tiếp là bắt đầu từ
lớp 8 THCS), và nhất là được học tương đối kỹ về hàm số bậc hai dạng y = ax2, PT bậc hai, PT tích, giải bài toán bằng cách lập phương trình, ... Đồng thời đến lớp 9, HS cũng đã tích luỹ được khá nhiều vốn kiến thức, kỹ năng về hình học, số học, biểu thức và biến đổi biểu thức, lập luận chứng minh, ... Do vậy đây là điều kiện thuận lợi để GV thiết kế và tổ chức các HĐ tự học chủ đề này.