7. Cấu trúc của luận văn
2.2.3. Biện pháp 3: Luyện tập cho HS một số hoạt động thành phần trong
các bước vận dụng toán học vào thực tiễn
2.2.3.1. Cơ sở khoa học của biện pháp
Trong 1.3.2.(chương 1) đã xác định quá trình vận dụng TH vào TT thông qua giải một bài toán TH được chia thành bốn bước:
Bước 2: Chuyển bài toán TT đó sang mô hình TH;
Bước 3: Dùng công cụ TH để giải quyết bài toán trong mô hình TH;
Bước 4: Chuyển kết quả trong mô hình TH sang lời giải của bài toán TT. Đây cũng chính là các khâu của quá trình nhận thức các hiện tượng, quy luật khách quan bằng phương pháp TH.
Hiệu quả của việc thực hiện các định hướng tăng cường vận dụng TH vào TT trong dạy học Toán ở trường phổ thông liên quan mật thiết với năng lực vận dụng TH vào TT của GV. Trong đó, hai yếu tố quan trọng tạo nên hiệu quả vận dụng TH vào TT của người làm toán là:
- Nắm chắc các bước của quá trình vận dụng TH vào TT. - Thực hiện tốt các hoạt động thành phần trong các bước.
Tuy nhiên, trong các SGK, sách tham khảo môn Toán ở phổ thông hiện nay, những phần liên quan tới vận dụng TH vào TT thường chỉ yêu cầu người giải quyết nó thực hiện từ bước 2 hoặc bước 3. Nếu nhìn nhận từ góc độ dạy học là tạo cho HS phổ thông khả năng nhận thức được quá trình TH hoá một bài toán TT thì việc yêu cầu HS thực hiện từ bước 2 hay bước 3 của quá trình vận dụng TH là có thể chấp nhận được. Song, nếu nhìn từ góc độ chuẩn bị tiềm năng về vận dụng TH vào TT để dạy học cho HS thì điều này dẫn đến những hạn chế về trình độ, khả năng vận dụng TH vào TT của người dạy nên nhất thiết cần khắc phục. Vì vậy, trong luận văn này, chúng tôi chú trọng trình bày vấn đề rèn luyện và nâng cao cho HS khả năng luyện tập một số hoạt động thành phần của bước 1 (rèn luyện khả năng phát triển tình huống TT thành bài toán TT) và bước 2 (rèn luyện khả năng mô hình hoá TH các bài toán TT).
2.2.3.2. Mục đích sử dụng biện pháp
Đây là một trong những biện pháp chủ đạo để thực hiện mục tiêu rèn luyện khả năng liên tưởng, kết nối các ý tưởng TH trước tình huống TT.
2.2.3.3. Nội dung và hướng dẫn thực hiện biện pháp
a) Rèn luyện cho HS khả năng xây dựng bài toán thực tiễn từ một tình huống thực tiễn
Luyện tập cho HS thói quen phát triển tình huống TT thành bài toán TT chính là đặt ra các bài toán TT có thể nảy sinh từ một tình huống TT. Quá trình khai thác các diễn biến trong một tình huống TT luôn luôn đòi hỏi sự hoạt động sáng tạo. Mà theo I.Ia. Lecner, hoạt động sáng tạo có một số nét đặc trưng cơ bản như: độc lập chuyển tình huống đã biết vào tình huống mới; nhìn thấy vấn đề mới trong tình huống quen thuộc; nhìn thấy chức năng mới của đối tượng đã biết; độc lập tổ hợp các cách thức, hoạt động đã biết thành cách thức, hoạt động mới; nhìn thấy các lời giải khác nhau của vấn đề đã cho. Mặt khác, bài toán TT được phát biểu từ tình huống TT vừa có tác dụng khai thác mặt vận dụng TT của kiến thức vừa có tác dụng hỗ trợ việc xây dựng, củng cố kiến thức. Như vậy, sau khi xác định và lựa chọn một tình huống TT, GV có thể luyện tập cho HS phát triển tình huống TT đó thành các bài toán TT theo hai định hướng chính:
Định hướng 1: Xem xét, phát triển tình huống TT theo nhiều góc độ khác nhau làm nảy sinh các yếu tố cần giải quyết trong các tình huống mới và tương ứng với mỗi tình huống mới, yêu cầu HS xây dựng một bài toán TT mới.
Định hướng 2: Dẫn dắt để người học phát triển các tình huống TT (theo dụng ý) thành những bài toán TT mới tiến đến tiếp cận những lý thuyết TH mới.
Một số lưu ý đối với GV:
Thứ nhất: Xác định những điều kiện cần thiết cho một tình huống TT sẽ lựa chọn: Tình huống TT được chọn nên là một vấn đề không quá mới lạ đối với HS để họ có điều kiện thuận lợi tìm kiếm những liên hệ và đặc trưng tối thiểu của lĩnh vực đó bằng kinh nghiệm, kiến thức, các trải nghiệm TT. Ngoài ra, nếu có thể, cần chọn tình huống là một vấn đề đang có tính thời sự trong thời điểm đó.
Thứ hai: Việc xây dựng một bài toán TT từ một tình huống TT cần dẫn đến việc xây dựng mô hình TH theo một phương hướng về PP giải đã được dự kiến trước đối với bài toán TH. Do đó, GV cần xác định, dự kiến những diễn biến có thể của tình huống dẫn đến bài toán vừa đảm bảo thực hiện được dụng ý của GV và phù hợp với những phương tiện kiến thức đã có của HS. Điều này
hoàn toàn có thể thực hiện được bởi HS đã có vốn hiểu biết về các quy luật vận động của tự nhiên và xã hội một cách phong phú.
Thứ ba: Khi đặt một bài toán thì điều cần chú ý hàng đầu là giải thích mục đích, xác định mục tiêu (cái cốt lõi mà ta sẽ quan tâm). Do vậy, cần xét xem cái gì đang xảy ra hoặc có thể xảy ra trong hệ thống yếu tố đã cho của tình huống đang được xét, những nhân tố nào có ảnh hưởng thực sự đến những đặc trưng mà chúng ta đang quan tâm để từ đó xây dựng mục tiêu mới, các nhiệm vụ mới cần giải quyết.
Thứ tư: Bài toán TT được xây dựng từ tình huống TT có thể được lý tưởng hoá một vài chi tiết nhưng cần đảm bảo “sát TT, tránh đưa ra những bài toán giả TT hoặc tệ hơn là phi TT ” [11, Tr. 49].
Ngoài ra, GV cần chú ý hướng dẫn HS khai thác tình huống TT trong mối quan hệ liên môn giữa các học phần Toán. Thực hiện quan điểm liên môn sẽ giúp tạo cho việc liên tưởng, kết nối các ý tưởng TH trước tình huống TT phong phú hơn bởi được cung cấp thêm các giả thiết, các vật liệu, các công cụ khác nhau giúp nhìn nhận tình huống TT đó trên nhiều phương diện, từ đó xây dựng được nhiều bài toán TT từ tình huống đang xét.
Ở các lớp 11, HS được nghiên cứu một số hàm liên tục phức tạp hơn bằng công cụ đạo hàm, có nhiều ứng dụng trong TT. Tuy nhiên, việc “trực quan” được chúng trong các tình huống cụ thể là một vấn đề rất khó khăn đối với người học. Do đó, Luận văn không đặt vấn đề tập luyện hoạt động nói trên đối với các tri thức TH này. Tuy nhiên, trong chương trình lớp 11 còn có các hàm số rất đặc biệt cũng có thể khai thác cho dụng ý của Luận văn, đó là cấp số cộng và cấp số nhân. Các dãy số này là những hàm số liên quan nhiều đến TT đời sống. Cần cho HS biết rằng, các cấp số này là những hàm số xác định trên tập số đếm được và nhận các giá trị rời rạc với nhau, tạo điều kiện cho họ dễ dàng liên tưởng tới TT cuộc sống. Trên cơ sở đó, tận dụng cơ hội hợp lý, yêu cầu HS chỉ ra các tình huống trong TT tương hợp với chúng. Chẳng hạn, sau khi trình bày định nghĩa cấp số cộng và cấp số nhân, GV có thể yêu cầu ngay
HS thực hiện hoạt động này. Với những gì người học đã được trải nghiệm trong cuộc sống, họ có thể phát biểu được các tình huống sau:
- Dãy số nhà trên một đường phố (về một phía) là cấp số cộng với công sai d 2;
- Dãy các khoảng cách từ các cột điện thoại đến cột đầu tiên trên một con đường thẳng là cấp số cộng với công sai d là khoảng cách giữa hai cột liên tiếp.
- Một người gửi một khoản tiền A vào ngân hàng, với lãi suất là 10% một năm. Khi đó, dãy số tiền của người đó có trong ngân hàng, qua từng năm (cả vốn lẫn lãi) là cấp số nhân với công bội q1,1.
Một điều cần chú ý là TH có tính phổ dụng; bởi vậy, trong dạy học cần khuyến khích người học đưa ra được nhiều tình huống tương hợp với một mô hình toán. Đây cũng là một hoạt động của người học góp phần đưa TH xâm nhập sâu rộng vào trong TT.
b) Kích thích HS tự đặt ra các bài toán bằng cách ủy thác cho người học những tình huống có dụng ý sư phạm
Mục đích của biện pháp là hình thành ở người học khả năng đặt ra được bài toán cho chính mình khi đối mặt với các tình huống trong cuộc sống. Tiến dần đến cái đích đó, không chỉ có tập luyện cho HS bằng các hoạt động đã trình bày ở mục a), mà còn cho họ tiếp cận với các tình huống gần gũi hơn với cuộc sống. Mối quan hệ giữa tình huống TT và bài toán xuất hiện khi chủ thể đối mặt đối với tình huống đó. Bài toán xuất hiện khi chủ thể có nhu cầu giải quyết tình huống TT. Do đó, điều đầu tiên là làm cho HS có những nhu cầu tìm hiểu khi đối mặt với tình huống. Nhu cầu của chủ thể nảy sinh khi được đặt vào trong một tình huống có vấn đề; HS có nhu cầu hay không tùy thuộc vào nghệ thuật SP của GV khi họ ủy thác tình huống đã sàng lọc cho người học. Nếu thầy giáo biết dẫn dắt HS vào một tình huống thành “người trong cuộc” thì cơ hội thành công sẽ rất lớn. Tuy nhiên, đây là một vấn đề khó khăn, đòi hỏi phải có thời gian; vì vậy, nên tổ chức các hoạt động này trong các buổi ngoại khóa TH.
Để có thể ngoại khóa thành công, GV cần phải chuẩn bị một hệ thống các tình huống theo một chủ đề nào đó. Trong đó, mỗi tình huống cần phải hội tụ được các điều kiện sau:
1) Tình huống có thực, HS có thể hiểu được bằng vốn văn hóa của họ; 2) Nội dung TH ẩn chứa bên trong tình huống phải phù hợp với nội dung bài học đang dạy trên lớp;
3) Tình huống có vấn đề theo cả nghĩa bên trong và bên ngoài.
Điều kiện 1, đòi hỏi tình huống đưa vào cho HS luyện tập là tình huống có thực trong cuộc sống, có thể lý tưởng hóa nhưng tránh phi TT. Ở đây, cần phân biệt “phi TT” và “lý tưởng hóa”. Phi TT có nghĩa là mâu thuẫn với TT và không bao giờ xảy ra. Lý tưởng hóa là bỏ đi một số ràng buộc nhất định (ảnh hưởng không đáng kể), để có một tình huống tiệm cận với tình huống có thực trong cuộc sống. Hơn nữa, tình huống đó, HS phải hiểu được bằng vốn văn hóa của họ; yếu tố này không thể thiếu được khi đưa vào dạy học. Điều kiện 2 nhằm phối hợp một cách nhuần nhuyễn dụng ý của biện pháp với việc cung cấp tri thức, rèn luyện kỹ năng TH và hoàn thành các nhiệm vụ học tập khác của HS. Điều kiện 3 là cơ sở cho việc gợi nhu cầu để chủ thể (HS) tự đặt ra các bài toán [1].
Theo [1] hoạt động chính trong buổi ngoại khóa là ủy thác dần từng tình huống, cho HS nghiên cứu khai thác (thứ tự các tình huống đưa ra cũng đã có dự tính từ trước). Đối với mỗi tình huống, quy trình thực hiện gồm ba bước:
- Bước 1: Ủy thác tình huống cho HS, gợi nhu cầu ở người học;
- Bước 2: Hướng dẫn HS đưa ra các giả định (tìm giả thiết cho bài toán), có thể giúp họ giải quyết tình huống;
- Bước 3: Giúp HS chính xác hóa lại công đoạn đã thực hiện ở bước 2, khuyến khích người học phát biểu bài toán.
Ví dụ 2.8. Ông chủ của một cửa hàng dự định dùng bìa cac-ton đóng thành các hình hộp chữ nhật để làm các hộp đựng quà cho khách hàng nhân dịp khuyến mại tri ân khách hàng. Do đó, hàng bán ra rất “chạy” nên số lượng
hộp không nhỏ. Điều đó làm cho ông phải suy nghĩ đến vấn đề đóng như thế nào để đỡ tốn bìa nhất. Nếu em là ông chủ tiệm hàng, em sẽ giải quyết vấn đề này như thế nào?
Với vai trò là ông chủ tiệm, HS phải có nhu cầu thiết kế các hộp quà, sao cho tốn ít bìa cac-ton nhất. GV có thể thực hiện một tác động SP vào thời điểm này: hãy chú ý đến lượng hàng trong mỗi gói quà. Mong muốn của thầy giáo ở đây là người học nhận ra: lượng hàng đã ấn định từ trước và suy luận thể tích của các hộp là một đại lượng không đổi. Điều này không được phát biểu tường minh trong tình huống, người học dùng suy luận để đưa ra giả định, nhằm đặt ra giả thiết cho bài toán. Suy luận vừa được đề cập đến của người học là suy luận có lý, xuất phát từ trải nghiệm trong cuộc sống. Tất cả những vấn đề vừa được trình bày ở trên đã dẫn HS đặt ra bài toán sau:
Bài toán 1. Trong các hình hộp chữ nhật có thể tích cho trước, tìm hình có diện tích toàn phần bé nhất.
Từ đó, học có thể đưa ra phương án thiết kế các hộp quà là hình lập phương để thỏa mãn nhu cầu của mình.
Ví dụ 2.9. [1] Trong đợt cắm trại, một nhóm HS dự định dựng lều thành hình lăng trụ đứng tam giác bên bờ sông (hình 2.4). Họ có 3 chiếc cọc và 2 sợi đây thừng có độ dài bằng nhau. Sợi dây thứ nhất được nối từ điểm B của chiếc cọc BB1 qua điểm A của chiếc cọc AA1 đến điểm C của chiếc cọc CC1; sợi dây thứ hai được nối từ điểm B1 qua điểm A1 tới điểm C1. Đóng các cọc như thế nào để lán có thể sử dụng tốt nhất?
Để có thể giúp HS chuyển từ vấn đề TT sang vấn đề của TH, GV có thể đưa ra một vài gợi ý. Chẳng hạn: lều được sử dụng tốt nhất trong tình huống này được hiểu như thế nào? Hãy biểu đạt những khía cạnh đó bằng nội
Rõ ràng với sự tác động SP đó, HS sẽ nghĩ ngay đến là không gian rộng nhất để có thể chứa được nhiều đồ đạc và con người. Từ đó, cụm từ “sử dụng tốt nhất” ở đây được chuyển qua TH là yêu cầu thể tích của lăng trụ ABCA1B1C1 là lớn nhất. Do các chiếc cọc có độ dài không đổi nên điều đó được quy về tam giác ABC có diện tích lớn nhất. Trong quá trình thực hiện các thao tác tư duy này, HS cũng đã có những giả định, chẳng hạn như các cọc phải đóng sao cho độ dài của chúng trên mặt đất bằng nhau; độ dài phần dây buộc cọc coi như không đáng kể; các yếu tố khác đều coi như được đáp ứng đầy đủ. Tất cả vấn đề đó đã giúp họ chuyển được vấn đề TT thành bài toán sau đây:
Bài toán 2. Trong các tam giác có tổng độ dài hai cạnh bằng l không đổi, xác định tam giác có diện tích lớn nhất.
Như vậy, với tình huống này, HS đã được tập luyện chuyển một vấn đề đặt ra trong TT thành một vấn đề trong nội tại bản thân TH. Cụ thể là đặt ra được một bài toán mà có thể giải quyết được bằng trình độ của người học. Đối với bài toán ở trên, HS có thể giải quyết như sau:
Giả sử tam giác ABC có AB + AC = l không đổi. Khi đó: 1 . sin 2 ABC S AB AC . Trong đó BAC Nhận thấy rằng: 2 2 .AC AB AC l
AB , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2
l AC
AB
và: sin 1; dấu “=” xảy ra 2
(do (0;))
Do đó, SABClớn nhất khi và chỉ khi nó là tam giác vuông cân tại A và 2
l AC
AB
Trong dạy học phần xác suất ở lớp 11, có thể lồng ghép vào trong dạy học tình huống sau nhằm đạt được mục đích của Luận văn:
Ví dụ 2.10. [1] Trên truyền hình đang có trò chơi “Hãy chọn giá đúng”. Đến công đoạn “quay bánh xe số” dành cho hai người thắng cuộc, người thứ