Giả sử có n ngân hàng (j = 1, … n) sử dụng m biến đầu vào (xij, i = 1, …m) và tạo ra s biến đầu ra (yrj, r = 1, ….s). Phương pháp bao dữ liệu DEA đo lường hiệu quả kỹ thuật của ngân hàng j0 trong tập hợp n ngân hàng như sau:
Mô hình 1: hiệu quả kỹ thuật đo lường bằng mô hình lập trình tuyến tính (linear programming): ∑∑ Với các ràng buộc: 0 <1 𝑟 ≥ 𝜀; r =1,…𝑠 𝑖 ≥ 𝜀; i =1,…𝑚 Trong đó:
h0: mức độ hiệu quả kỹ thuật (efficient score) của ngân hàng j ε: ràng buộc để đảm bảo trọng số không âm,
yrj: số lượng đầu ra thứ r tạo ra tại ngân hàng j, xij: số lượng đầu vào thứ i sử dụng tại ngân hàng j, ur: trọng số cho biến đầu ra r,
vi: trọng số cho biến đầu vào i, n: số ngân hàng,
m: số biến đầu vào sử dụng bởi mỗi ngân hàng, s: số biến đầu ra tại mỗi ngân hàng, và
Mô hình 2: hiệu quả kỹ thuật đo lường bằng mô hình lập trình tuyến tính với giả định lợi thế quy mô không đổi (linear programming Model for CRS):
𝑀𝑎 0 = ∑ Với các ràng buộc:
∑ = 1
∑ - ∑ ≤ 0; 𝑗=1,…𝑛 𝑟,≥ 𝜀; 𝑟 =1,…𝑠
Trong mô hình này, ràng buộc đầu tiên yêu cầu tổng trọng số cho các biến đầu vào tại ngân hàng j bằng 1. Ràng buộc thứ 2 yêu cầu tất cả n ngân hàng đều hoạt động nằm bên trong hoặc nằm trên đường sản xuất. Trọng số ur và vi được xem như biến chưa biết và được tìm ra bằng phần mềm lập trình tuyến tính.
Mô hình 3: hiệu quả kỹ thuật đo lường bằng mô hình lập trình tuyến tính với giả định lợi thế quy mô thay đổi (variable returns to scale model).
Nhằm tính toán hiệu quả kỹ thuật thoát khỏi giả định CRS, Banker et tal (1984) đưa ra mô hình hiệu quả thay đổi theo quy mô (variable returns to scale model - VRS) bằng cách đưa thêm 1 biến trong mô hình sau:
𝑀𝑎 0= ∑ + 0 Với các ràng buộc:
∑ = 1
∑ - ∑ + 0 ≤ 0; 𝑗=1,…𝑛 𝑟,≥ 𝜀; 𝑟 =1,…𝑠 và u0 không bị ràng buộc về dấu.
Trong mô hình này, dấu của u0 quyết định hiệu quả về mặt quy mô, theo đó:
- Nếu u0 < 0: ngân hàng j0 có hiệu quả về mặt quy mô tăng dần (increasing returns to scale).
- Nếu u0 = 0: ngân hàng j0 có hiệu quả về mặt quy mô không đổi (constant returns to scale).
- Nếu u0 > 0: ngân hàng j0 có hiệu quả về mặt quy mô giảm dần (decreasing returns to scale).
Để so sánh phương pháp DEACRS và DEAVRS, ta xét điểm không đạt hiệu quả kỹ thuật P (hình 3.2). Sự không hiệu quả kỹ thuật theo mô hình phân tích màng dữ liệu tối thiểu hóa đầu vào trong trường hợp quy mô không ảnh hưởng đến kết quả sản xuất (CRS) của điểm P là một khoảng cách PPc. Trong khi đó, sự không hiệu quả kỹ thuật theo mô hình phân tích màng dữ liệu tối thiểu hóa đầu vào trong trường hợp quy mô ảnh hưởng đến kết quả sản xuất (VRS) chỉ là PPv. Sự khác biệt của hai mô hình này là do sự không hiệu quả về mặt quy mô. Các khái niệm có thể chỉ rõ trong đo lường như sau:
TECRS = APc/ AP TEVRS = APv/ AP
Hình 3.2: Mô hình phân tích mảng dữ liệu tối thiểu hóa đầu vào DEACRS và DEAVRS
Nguồn: Coelli và cộng sự. (2005)
Hệ số hiệu quả TECRS, TEVRS trong mô hình luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1 (Coelli, T.J và cộng sự, 2005).
C.A. Lovell và cộng sự (1993) và T.Coelli và cộng sự (2005) phân rã hiệu quả kỹ thuật (TE) thành hai thành phần: hiệu quả kỹ thuật thuần túy (pure technical efficiency – PE) và hiệu quả quy mô (scale efficiency – SE). Hiệu quả DEACRS được gọi là hiệu quả kỹ thuật toàn bộ (CRS TE). Trong khi đó, DEAVRS là hiệu quả kỹ thuật thuần túy dưới giả thuyết quy mô thay đổi (VRS TE). Nếu một DMU vừa
đạt hiệu quả DEACRS vừa đạt hiệu quả DEAVRS (hiệu quả kỹ thuật toàn bộ là 100%) có nghĩa rằng doanh nghiệp đó đang hoạt động ở quy mô hiệu quả nhất. Trong trường hợp ngược lại, nếu một DMU đạt hiệu quả DEAVRS nhưng không đạt DEACRS thì nó chưa đạt hiệu quả hoạt động toàn bộ vì không hiệu quả về mặt quy mô. Mối quan hệ này được biểu diễn bởi công thức dưới đây:
Technical Efficiency (TE) = Pure Technical Efficiency (PE) x Scale Efficiency (SE)