với là khối lượng hiệu dụng của điện tửở CB và VB, là năng lượng vùng cấm.
Đưa (1.4.3) và (1.4.4) vào (1.4.1) và lấy kết quả từ phép biến đổi Fourier [37],
ta được phương trình thuần nhất:
. (1.4.5)
Phương trình (1.4.5) là dạng của phương trình Schrödinger hai hạt đối với chuyển động tương đối của một điện tử và một lỗ trống qua thế tương tác Coulomb
. Phương trình (1.4.5) được gọi là phương trình Wannier [37].
Phương trình Wannier có dạng như phương trình (1.4.5) được dùng cho
trường hợp hệ 2D và 3D. Với trường hợp hệ giả một chiều (Quasi one dimension-
Q1D) như QWs, thay thế tương tác Coulomb bằng thế trung bình:
với là hệ số suy giảm, hằng số điện môi, bán kính của QWs hình trụ.
Đưa vào thang bán kính:
. (1.4.7)
Phương trình (1.4.5) trở thành:
(1.4.8)
trong đó: và .
Như trong trường hợp phân tử Hydrogen, năng lượng âm đối với trạng thái
liên kết . Định nghĩa:
, (1.4.9)
với đơn vị năng lượng:
. (1.4.10)
Phương trình (1.4.8) được viết lại:
, (1.4.11)
và
, (1.4.12)
với việc chọn như trên, thông số sẽ là số thực đối với trạng thái liên kết. Đặt:
. (1.4.13)
Có thể viết lại phương trình (1.4.11) đối với hệ 1D với được thay thế bởi , giữ nguyên và .
Trong trường hợp tổng quát, toán tử Laplace đối với hệ 3D, 2D và 1D trong toạ độ cầu (toạ độ cực) lần lượt là:
(1.4.14)
trong đó và lần lượt là toán tử momen xung lượng góc toàn phần và thành phần theo phương z của nó.
, (1.4.15)
. (1.4.16)
Các toán tử này tuân theo phương trình giá trị riêng sau:
, (1.4.17)
với và , ở đây hàm là hàm cầu điều
hoà với và
Sử dụng hàm sóng thử (giả định) đối với hệ 3D, 2D, và 1D lần lượt là:
(1.4.18)
Phương trình hàm xuyên tâm của hàm sóng đối với hệ 3D, 2D, 1D lần lượt là:
(1.4.19)
Để giải phương trình (1.4.19) trước hết xác định dạng tiệm cận của hàm sóng
. (1.4.20)
Do đó nghiệm hội tụ có dạng:
. (1.4.21)
Người ta đưa ra giả thuyết hàm sẽ biến thiên giống như hoặc khi . Khi đó, nghiệm giả định đối với hàm sóng toàn phần đối với hệ 3D, 2D và 1D lần lượt là:
(1.4.22) Thay (1.4.22) vào (1.4.19):
(1.4.23)
1.4.2.Trường hợp hệ hai chiều và ba chiều
Các phương trình của hệ 2D và 3D có cùng dạng:
, (1.4.24)
với
trong hệ 3D;
trong hệ 2D. (1.4.25)
Nghiệm của phương trình (1.4.24) có thể có được bằng cách khai triển:
. (1.4.26)
. (1.4.27)
Chuỗi phải được giới hạn với , vì vậy . Theo đó
, sử dụng (1.4.25) đối với trường hợp 3D:
, (1.4.28)
ở đây số lượng tử chính có thể có giá trị sau đối với
và , hoặc
Tương tự, trường hợp 2D:
, (1.4.29)
với giá trị cho phép của số lượng tử chính là Năng lượng của trạng thái liên kết theo phương trình (1.4.12), (1.4.28) và (1.4.29) là:
với , (1.4.30)
là năng lượng liên kết exciton trong hệ 3D.
với (1.4.31)
là năng lượng liên kết của exciton trong hệ 2D.
giống như năng lượng Rydberg và là bán kính Bohr của exciton. Năng lượng liên kết ở GS của exciton là trong hệ 3D và trong hệ 2D.
1.4.3.Trường hợp hệ một chiều
Phương trình Wannier đối với QWs là phương trình Whittaker [37]:
, (1.4.32)
với , là hàm Whittaker.
Giá trị riêng của năng lượng của trạng thái liên kết exciton trong hệ Q1D:
Hàm riêng của chúng có thể được phân loại theo tính chẵn lẻ như hàm chẵn và
lẻ với và .
. (1.4.34)
với hằng số chuẩn hoá được cho bởi:
, (1.4.35)
và .
Khi đó:
. (1.4.36)
Giá trị riêng gần đúng của GS đối với dây mảnh được xác định:
. (1.4.37)
Bởi vì khi , năng lượng liên kết của exciton tương ứng:
, (1.4.38)
năng lượng này lớn hơn năng lượng Rydberg của exciton trong hệ 3D rất nhiều, ít ra
đối với thế giam cầm vô hạn. Đối với các thế giam cầm thực như dây
GaAs/GaAlAs, có thể bằng .
1.4.4.Trường hợp hệ không chiều
Giả sử chấm được xem như quả cầu bán kính với hằng số điện môi trong một vật liệu khác có hằng số điện môi là .
Đối với cặp điện tử-lỗ trống, người ta đưa vào nghiệm giả định [37]:
, (1.4.39)
, (1.4.40)
với điều kiện biên:
nếu hoặc . (1.4.41)
Phần động năng của hệ và phần năng lượng tương tác . Trạng thái riêng và giá trị năng lượng riêng của điện tử trong QD được mô tả
bởi phương trình Schrödinger:
, (1.4.42)
với điều kiện biên:
khi . (1.4.43)
Tương tự, trạng thái riêng và giá trị năng lượng riêng của lỗ trống trong QD
được mô tả bởi phương trình Schrödinger:
, (1.4.44)
với điều kiện biên:
khi . (1.4.45)
Hàm sóng của điện tử và lỗ trống trong chấm lần lượt là:
, (1.4.46)
ở đây là hàm Bessel cầu và là hàm cầu điều hòa.
. (1.4.47)
Điều kiện biên (1.4.43) và (1.4.45) được thỏa mãn nếu: với
(1.4.48)
Đưa (1.4.46) và (1.4.47) lần lượt vào phương trình (1.4.42) và (1.4.44), biểu thức năng lượng gián đoạn thu được là:
, (1.4.49)
. (1.4.50)
Do đó, khi bỏ qua năng lượng tương tác Coulomb giữa điện tử và lỗ trống,
năng lượng của exciton trong QD là:
, (1.4.51)
với là khối lượng rút gọn: .
Ở GS , ta có , năng lượng của exciton trong chấm ở GS là:
. (1.4.52)
Trường hợp có tính đến tương tác của điện tử và lỗ trống, một cách gần đúng
có thể xem như lỗ trống chuyển động trong trường của điện tử. Khi đó năng lượng của exciton khi tính đến tương tác giữa hai hạt là [8]:
. (1.4.53)
Số hạng thứ hai trong biểu thức (1.4.53) chính là năng lượng liên kết của exciton trong QD ở GS:
. (1.4.54)
Vì , do đó , bán kính chấm càng giảm thì năng lượng liên kết càng tăng. Năng lượng này lớn hơn rất nhiều so với năng lượng liên kết của