Do đó các vectơ mạng đảo là:
. (3.2.3)
Sử dụng phương pháp liên kết chặt, biểu thức tán sắc năng lượng là [65]:
. (3.2.4)
Trong đó, dấu “+” ứng với dải năng lượng liên kết (Hình 3.2), và dấu “-”
ứng với dải năng lượng liên kết phản , và là năng lượng dịch chuyển vị trí bên cạnh, có giá trị từ -2,7 đến 3,1 eV. Chúng tôi chọn giá trị điển hình , giá trị này sẽ được sử dụng trong các quá trình tính toán sau.
Ở các góc gần của vùng Brillouin, hai nhánh (dương và âm) của dải ở phương trình (3.2.4) có thể xem như là các điểm:
, (3.2.5)
ở đây là vận tốc Fermi.
Áp dụng tương tự với lớp kép graphene (xếp chặt Bernal), phổ năng lượng gần
điểm được cho bởi [57]:
(3.2.6)
ở đây là năng lượng dịch chuyển giữa các lớp, là điện trường ngoài vuông góc.
Các dải năng lượng này được biểu diễn như trên Hình 3.8. Bên cạnh sự đối xứng điện tử - lỗ trống, khác với trường hợp lớp đơn graphene, các hạt tải trong lớp kép graphene không phải là không có khối lượng, mà có một khối lượng hiệu dụng hữu hạn.
Hình 3.8. Phổ năng lượng đối với lớp kép graphene với và . Cấu trúc dải của lớp kép graphene gần điểm Dirac đối với (đường liên tục) và
(đường chấm mờ).
Khi và , chúng ta có thể rút ra các trạng thái năng lượng cao :
, (3.2.7)
với khối lượng hiệu dụng [58].
Với điện áp hữu hạn, năng lượng giữa CB và VB tại là :
. (3.2.8)
Đối với sự bất đối xứng lớn , nó bão hòa ở , và với sự bất đối xứng nhỏ, chúng ta có .
3.2.2.Exciton loại 2 trong lớp kép graphene
Phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng cho rằng các dải năng lượng có dạng parabolic gần giống với vùng cấm. Do đó, ta đưa ra mô hình đơn giản của exciton gồm 6 dải như Hình 3.9.
Sự chuyển tiếp có thể diễn ra như sau : I-II và V-VI tại và III-IV tại . Theo cách nhìn có lợi về mặt năng lượng, chỉ có sự chuyển tiếp I-II và
II-IV là ổn định, hơn nữa, các chuyển tiếp này tương đương nhau. Vì vậy chúng ta cần xem xét sự chuyển tiếp của III-IV.
Hình 3.9.Mô hình chuyển tiếp của exciton. Khối lượng hiệu dụng trong CB có thể có được bằng cách:
, (3.2.9)
và tương tự đối với VB. Ở đây, và từ phương trình (3.2.6) lần lượt phù hợp với CB và VB.
Khảo sát đạo hàm của theo :
(3.2.10)
Quay trở lại với Rydberg hiệu dụng ở phương trình (1.3.3), cần phải có hằng số điện môi chắn tương tác Coulomb, nó phụ thuộc vào bản chất vật mẫu và môi
SiO2. Do đó, hằng số chắn có được khi lấy trung bình điện môi của chất nền [5]:
. (3.2.11)
Đối với năng lượng liên kết của exciton, từ phương trình (1.3.2) với
chúng tôi có (năng lượng iôn hóa). Khi và ,
năng lượng liên kết của exciton được thể hiện trong Bảng 3.1 cùng với khối lượng hiệu dụng và năng lượng vùng cấm so với điện áp phân cực . Chúng tôi xem xét với sự bất đối xứng lớn , vùng cấm .
Bảng 3.1. Bảng giá trị khối lượng hiệu dụng của điện tử-lỗ trống, khối lượng hiệu dụng rút gọn và năng lượng liên kết của exciton tương ứng. Điện áp phân cực, năng lượng vùng cấm và năng lượng liên kết của exciton theo đơn vị , khối lượng theo hệ đơn vị là khối
lượng của điện tử tự do.
0,39 0,036 0,036 0,018 0,28 0,039
1,0 0,038 0,038 0,019 0,36 0,041
Như vậy, trong lớp kép graphene không tồn tại vùng cấm ở điều kiện thường (không có điện trường phân cực). Khi có mặt điện trường, các khe năng lượng được hình thành (vùng cấm). Càng tăng điện trường phân cực vuông góc hữu hạn, thì vùng cấm càng mở rộng. Với mô hình đơn giản của exciton trong lớp kép graphene và mô hình Wannier, chúng tôi đã tính toán năng lượng liên kết của exciton, khối
lượng hiệu dụng so với điện áp phân cực đối với vật liệu mẫu đặt trên nền SiO2. Các tính toán cho thấy năng lượng liên kết exciton trên lớp kép graphene và năng lượng vùng cấm tăng theo sự tăng điện trường ngoài, điều này hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm [65]. Bài toán exciton trong các lớp graphene sẽ phức tạp và thú vị hơn theo quan điểm phá vỡ đối xứng đối với hệ exciton khi có mặt từ trường ngoài. Chúng tôi sẽ đề cập đến bài toán này (bài toán về biexciton loại 2) trong phần tiếp theo.