Các thành phần của hoạt động nhận thức

1.1.4.1 Hoạt động tri giác

Chúng tôi hiểu hoạt tri giác đó là hoạt động của chủ thể học sinh dùng các giác quan để nhận biết các thuộc tính của sự vật hiện tượng.

Tri thức điều chỉnh hoạt động nhận thức Hoạt động nhận thức toán học Các phương pháp dạy học Các lí thuyết dạy học

Từ cách hiểu trên hoạt động quan sát các hình ảnh trực quan đóng một vai trò quan trọng trong hoạt động nhận thức. Từ trực quan, nhờ tri giác có mục đích, tri giác nhiều góc độ khác nhau, thông qua các hoạt động so sánh phân tích tổng hợp con người có được các biểu tượng về ký ức của sự vật hiện tượng nói chung. (Biểu tượng ký ức là biểu tượng về sự vật hiện tượng khi con người hình dung, thoát ly khỏi các đồ vật).

Từ biểu tượng ký ức thông qua các hoạt động phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa con người nhận thức được các thuộc tính bản chất của các sự vật hiện tượng, các mối liên hệ có tính quy luật giữa các đối tượng.

Sau đây là sơ đồ chuyển tiếp, phát triển của quá trình nhận thức được vận dụng trong dạy học toán

Sơ đồ 1.2

Trong luận văn này chúng tôi không trình bày sâu về trực quan trong dạy học toán, chúng tôi chỉ nhấn mạnh trong giai đoạn hiện nay trực quan trong dạy học toán ở trường trung phổ thông không chỉ bao gồm các sự vật hiện tượng xung quanh học sinh, các hình vẽ, hình biểu diễn hình học mà người ta còn sử dụng các biểu diễn toán, các mô hình động trên màn hình máy tính, các kiến thức đã có đối với học sinh. Sau đây chúng tôi mô tả bằng ví dụ:

Ví dụ 1.1: Để học sinh thấy được hai đường thẳng song song có thể mô tả hình biểu diễn của hai đường chéo nhau: Muốn vậy có thể cho HS quan sát hình biểu diễn của hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Để HS sáng tỏ: Hai đưởng A1D1// B1C1 là hình biểu diễn của hai đường chéo nhau AD1 và CB1 nhờ sử dụng phép chiếu song song theo phương AA1 lên mặt phẳng A1B1C1D1 . Có thể sử dụng phần mềm dạy học để mô tả hình của hình lập phương này và hỏi thêm HS A1D1 và B1C1 là hình biểu diễn của cặp đường thẳng chéo nhau nào khác? (Xem hình 1.1)

D D1 A1 B1 C1 A B C Hình 1.1

Có thể sử dụng hình tứ diện ABCD trên mô hình sao cho đường thẳng AB//CD. Trong thực tế thì cặp đường thẳng AB, CD là chéo nhau, còn trên mô hình chỉ là hình biểu diễn. Điều này nhiều học sinh không nhận thức rõ (Xem hình 1.2)

Giáo viên có thể nhấn mạnh cho học sinh biết nếu: AB và CD song song thì bốn đỉnh của hình tứ diện cùng nằm trên một mặt phẳng chứa hai đường song song đó. Đó là điều mâu thuẫn với định nghĩa hình tứ diện.

Hình 1.2

1.1.4.2 Hoạt động điều ứng

Hoạt động điều ứng diễn ra khi vốn tri thức đã có của chủ thể chưa tương hợp với môi trường tri thức mới cần nhận thức; khi sơ đồ nhận thức đã có và tri thức mới không tương thích. Khi đó hoạt động điều ứng nhằm tạo lập sơ đồ nhận thức khác để tiếp nhận tri thức mới, tạo sự cân bằng mới.

Hoạt động điều ứng biểu hiện qua hoạt động trí tuệ, hoạt động toán học, cấu trúc lại kiến thức đã có hoặc bác bỏ chúng, làm thay đổi cấu trúc diễn

B

C

D A

A

B y C

x

dịch để phù hợp với kiến thức mới cần dạy, tạo lập bước thích nghi mới (theo [25,tr.24]).

Ví dụ 1.2: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi 1 vuông góc, OA = a, OB = b, OC = c. Gọi H là chân đường cao hạ từ O đến mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

2 2 2 2

1 1 1 1

OH  a b c

.

Khó khăn gặp phải ở đây là học sinh không xác định được điểm H (H là trực tâm của tam giác ABC) nằm ở vị trí nào mặt phẳng (ABC). Vì vậy GV có thể hướng dẫn HS thực hiện hoạt động điều ứng sử dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán.

Hoạt động điều ứng để cấu trúc lại bài toán: Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) biết A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).

Lời giải:

Phương trình mặt phẳng (ABC): x y z 1

a b  c 

Do OH vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên

  2 2 2 1 ,( ) 1 1 1 OH d O ABC a b c     Vậy : 1 2 12 12 12 OH a b  c Hình 1.3

1.1.4.3 Hoạt động biến đổi đối tượng

Hoạt động này thể hiện trong tiến trình chủ thể tư duy làm bộc lộ đối tượng của hoạt động và cũng có thể thấy được ý tưởng hoạt động biến đổi thể hiện rõ trong tiến trình biến đổi liên tục hình thức tồn tại của đối tượng cho đến khi hệ thống tri thức đã có của học sinh dễ dàng huy động để chủ thể có thể dễ dàng xâm nhập vào đối tượng: hiểu chúng, giải thích và vận dụng chúng với tư cách là sản phẩm thực sự của hoạt động (theo [25,tr.27]).

z

h1 h3 h2 O C A B M

Đối tượng hoạt động nhận thức lúc đầu tồn tại độc lập với chủ thể học sinh. Khi đối tượng được làm bộc lộ nhu cầu động cơ của chủ thể thì đối tượng hướng chủ thể vào hoạt động làm bộc lộ rõ dần sản phẩm của đối tượng – tri thức.

Như vậy hoạt động biến đổi đối tượng là quá trình chủ thể dùng hành động trí tuệ, các thao tác tư duy dựa trên các tri thức kinh nghiệm đã có để xâm nhập vào đối tượng nghiêm cứu thông qua biến đổi cấu trúc của đối tượng, bao gồm các mối liên hệ, quan hệ chứa trong đối tượng và kể cả hình thức của đối tượng nhằm biến đổi đối tượng thành sản phẩm.

Ví dụ 1.3: Xét bài toán: Cho tứ diện OABC có OA, OB,OC vuông góc đôi một cà OA = OB = OC = a. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ một điểm M kì trong miền tam giác ABC đến các mặt (OAB), (OBC), (OCA) bằng một hằng số.

Hình 1.4

Bài toán ban đầu còn xa lạ đối với học sinh vì thế học sinh chưa thể gắn kết kiến thức đã có với cái mới.

Biến đổi bài toán: đặt h1, h2, h3 lần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt (OAB), (OBC), (OCA) và V1, V2, V3, V lần lượt là thể tích các khối tứ diện MOAB, MOBC, MOCA, OABC có các mối liên hệ sau:

V = 1

6OA.OB.OC =

3

6

V1 = 1 1. 2 1 3 2a h ; V2 = 2 2 1 1 . 3 2a h ; V3 = 2 3 1 1 . 3 2a h Mặt khác ta có: V = V1 + V2 + V3 (1)  3 6 a = 1 1. 2 1 3 2a h + 2 2 1 1 . 3 2a h + 2 3 1 1 . 3 2a h (2) Vậy h1 + h2 + h3 = a.

Như vậy quá trình hoạt động biến đổi đối tượng đã làm thay đổi mối liên hệ giữa các khoảng cách h1, h2, h3 sang quan hệ thể tích V1, V2, V3 của khối tứ diện OABC.

Quá trình biến đổi hệ thức (1) thành hệ thức (2) làm bộc lộ đối tượng và từ đó học sinh có thể dùng các kiến thức đã có để giải quyết bài toán trên và đưa ra phương thức giải quyết một bài toán khoảng cách ở dạng này.

1.1.4.4 Hoạt động phát hiện

Hoạt động phát hiện trong dạy học toán ở trường phổ thông là hoạt động trí tuệ của học sinh được điều chỉnh bởi nền tảng tri thức đã tích lũy thông qua các hoạt động khảo sát, tương tác với các tình huống để phát hiện tri thức mới (theo [25,tr.29]).

Ví dụ 1.4: Có thể thông qua việc khảo sát mối quan hệ giữa các cạnh và các đoạn thẳng nối tâm của hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành với các đỉnh tương ứng, từ đó phát hiện mệnh đề tổng quát cho lớp các tứ giác rộng hơn sau đây: Tứ giác ABCD có các đường chéo vuông góc hoặc O là trung điểm của một trong hai đường chéo khi và chỉ khi:

AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = 2(OA2 + OB2 + OC2 + OD2) (1)

Trong hình vuông, hình thoi hệ thức (1) được chứng minh nhờ sử dụng định lí Pitago; đối với hình bình hành chỉ cần sử dụng O là trung điểm của một đường chéo, chẳng hạn O là trung điểm của đường chéo AC, từ đó sử dụng công thức tính đường trung tuyến của tam giác BAC sẽ suy ra được hệ thức (1). Sau đó nhờ hoạt động khái quát hóa dẫn đến phát hiện mệnh đề 1.

Có thể phát hiện cách chứng minh mệnh đề (1) nhờ sử dụng tích vô hướng hoặc định lí cosin. Phát hiện này dựa trên quy luật nhân quả: Các hệ thức liên quan đến độ dài, bình phương độ dài có nguồn gốc từ tích vô hướng; chẳng hạn tích độ dài a.b chính là tích vô hướng của hai vectơ ,u v 

; sao cho

u a

, v b

và hai vectơ đó cùng chiều.

Trong hoạt động phát hiện một khái niệm, một định lí, một mệnh đề nào đó cần sử dụng các phương thức tìm đoán, các hoạt động đặc biệt hóa, khái quát hóa, chuyển hóa các liên tưởng từ đối tượng này sang đối tượng khác.

1.1.4.5 Hoạt động mô hình hóa

Hoạt động mô hình hóa trong toán học là hoạt động nhận thức các lớp đối tượng, hiện tượng quá trình trong nội bộ môn Toán hay trong thực tiễn thông qua việc mô tả giải thích chúng bằng cách sử dụng kí hiệu và ngôn ngữ toán học.

Các thành phần cơ bản của hoạt động mô hình hóa bao gồm: so sánh; phân tích; tổng hợp; trừu tượng; khái quát hóa; trừu tượng hóa đồng nhất; lí tưởng hóa.

Vai trò của hoạt động mô hình hóa đã được nhiều tác giả đặc biệt quan tâm. Vai trò chủ yếu của hoạt động này là công cụ toán học hóa các lớp hiện tượng trong hiện thực khách quan. Thông qua mô hình hóa người ta có thể giải thích bằng công cụ toán học các mối liên hệ, quan hệ trong thực tiễn cũng như trong các khoa học khác.

Ví dụ 1.5: Có thể mô tả tam giác ABC vuông tại A bằng các mô hình sau - Tam giác ABC có a2 = b2 + c2

- Tam giác ABC có 1 2

AM  BC ( M là trung điểm cạnh BC) - Tam giác ABC nội tiếp đường tròn có đường kính BC - Tam giác ABC có 1 2 12 1 2

AH  AB  AC ( H là chân đường cao hạ từ A).

Dựa vào hoạt động mô hình hóa trên ta có thể giải quyết dễ dàng các bài toán chứng minh một tam giác vuông có giả thiết liên quan.

Ví dụ 1.6: Cho tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A.

Có thể định hướng cho học sinh nhận thức giả thiết của bài toán chỉ cho mối liên hệ về cạnh nên cần phải sử dụng điều kiện để tam giác vuông theo các hệ thức về cạnh. Trong bài toán này có thể hướng dẫn học sinh tính bình phương độ dài các cạnh, từ đó giúp học sinh nhận thấy BC2 = AB2 + AC2 dựa vào đây học sinh kết luận tam giác ABC vuông tại A.

Ví dụ 1.7: cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có tâm O, cạnh a và có SA = SB = SC = a. Chứng ming rằng tam giác SBD là tam giác vuông.

Tương tự bài toán trên có thể định hướng cho học sinh nhận thức giả thiết của bài toán chỉ cho mối liên hệ về cạnh nên cần phải sử dụng điều kiện để tam giác vuông theo các hệ thức về cạnh. Mặt khác trong bài toán này giả thiết còn có đề cập về đường trung tuyến của tam giác nên việc chứng minh tam giác SBD vuông có thể liên quan đến độ dài đường trung tuyến. Từ đó dẫn đến việc xác định mối liên hệ giữ độ dài đường trung tuyến SO với cạnh BD như sau: Vì SA = SB = SC = a và AB = BC = a nên ba tam giác SAC, BAC, DAC cân và bằng nhau. Do đó SO = OB = OD hay 1

2

SO BD.

Ví dụ 1.8: Cho hình chóp SABC có SA = a; SB = b; SC = c;

0

ASBBSC CSA60 . Tính khoảng từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

Hình 1.5 Những khó khăn của học sinh:

A C B S B' C'

- Xác định hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC).

- Chuyển đổi bài toán sang ngôn ngữ tọa độ. Từ những khó khăn trên GV có thể định hướng cho học sinh tính khoảng

cách thông qua tính thể tích khối chóp SABC như sau: - Ta có d(A, (SBC)) = 3 SABC

SBC

V S .

- Để tính VSABC ta tiến hành như sau:

. Trên SB, SC lần lượt lấy các điểm B’, C’ sao cho SA = SB’ = SC’, suy ra SAB’C’ là hình chóp đều nên dễ dàng ta tìm được thể tích của khối chóp SAB’C’.

. Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp ta dễ dàng tính được thể tích khối chóp SABC

Từ đó tính d(A, (SBC)).