học các định lí của chủ đề quan hệ song song và quan hệ vuông góc – Hình học 11
Dựa vào quy trình đã được thiết kế ở mục 3.3.1 chúng tôi tiến hành tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh trong dạy học các định lí của chủ đề quan hệ song song và quan hệ vuông góc theo con đường quy nạp phát hiện được thực hiện qua các bước sau:
Bước 1: Tạo tình huống chứa các đối tượng mang tính nhu cầu nhận thức bao gồm: các quan hệ, các quy luật chung ẩn chứa trong những trường hợp riêng lấy trong nội bộ toán hoặc trong thực tiễn.
Bước 2: Khảo sát, phát hiện định lí: Thông qua các hoạt động phát hiện: Phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa; hoạt động biến đổi đối tượng làm bộc lộ các mối liên hệ chung, các quy luật chung từ những tình huống mang những hình thức khác nhau dẫn đến mệnh đề tổng quát – định lí.
A1 A B C D D1 C1 B1
Bước 3: Chứng minh định lí: Thông qua các hoạt động biến đổi đối tượng, hoạt động điều ứng, huy động chính xác các kiến thức đã có để giải thích các quy luật, các mối liên hệ theo quy tắc lôgic.
Bước 4: Phát biểu định lí.
Bước 5: Hoạt động củng cố định lí: Hoạt động ngôn ngữ; hoạt động nhận dạng; hoạt động thể hiện.
Bước 6: Bước đầu khai thác các ứng dụng định lí.
Dưới đây, chúng tôi xét các ví dụ minh họa về việc làm sáng tỏ các bước tổ chức các tình huống dạy học các định lí:
Ví dụ 3.12. Tổ chức dạy định lí “Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (P) và d song song với đường thẳng d’ nằm trong (P) thì d song song với (P)” trong hình học không gian 11.
Bước 1: Tạo tình huống, tạo nhu cầu nhận thức thông qua: Xét các bài toán cụ thể sau:
1. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1.
a. Xét vị trí tương đối của đường thẳng AB và A1B1, AB và mặt phẳng (A1B1C1D1), giải thích vì sao?
b. Xét vị trí tương đối của đường thẳng AC và A1C1, AC và mặt phẳng (A1B1C1D1), giải thích vì sao?
Hình 3.31
2. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng MN và mặt đáy, giải thích?
N M B A D C Hình 3.32 Bước 2: Học sinh khảo sát, phát hiện.
Nhờ các kiến thức kiến thức về hình lập phương, đường trung bình của tam giác thông qua các hoạt động phát hiện học sinh nhận biết:
Trong bài toán 1:
AB song song với A1B1(do tính chất của hình lập phương). (1) AB song song với mặt phẳng (A1B1C1D1) vì :
- Mặt phẳng (ABB1A1) (A1B1C1D1) = A1B1.
- Nếu giả sử AB giao với mặt phẳng (A1B1C1D1) tại giao điểm M thì M nằm trên đường giao tuyến A1B1, điều này mâu thuẩn với (1).
Vậy AB//(A1B1C1D1).
Tương tự ta cũng có AC//A1C1 và AC//(A1B1C1D1). Trong bài toán 2:
Ta có MN song song với mặt phẳng (ABCD) vì:
- Do MN là đường trung bình của tam giác SAB nên MN//AB (2)
- Mặt phẳng (SAB) chứa MN, AB và giao với mặt phẳng (ABCD) theo giao tuyến AB.
Cho nên nếu MN và (ABCD) có điểm chung thì điểm chung ấy thuộc AB điều này mâu thuẫn với (2). Vậy MN//(ABCD).
Dựa vào kết luận của học sinh giáo viên đưa ra câu hỏi: Nếu đường thẳng d không nằm trong (P) và song song với d’ nằm trong (P) thì d có song song với (P) không?
Từ các tình huống trên yêu cầu học sinh phát biểu điều kiện để để đường thẳng d song song với mặt phẳng (P).
Bước 3: Chứng minh định lí:
Yêu cầu học sinh nhắc lại khái niệm về đường thẳng song song với mặt phẳng.
Giáo viên hướng cho học sinh thấy được việc kiểm tra số điểm chung của chúng là không thể, vì số điểm của đường thẳng và mặt phẳng là vô hạn.
Giáo viên đưa ra gợi ý: Nếu d và (P) có điểm chung thì có gì mâu thuẫn không?
Yêu cầu học sinh đưa ra phương án chứng minh.
Bước 4: Phát biểu định lí.
Yêu cầu học sinh phát biểu định lí.
GV nhận xét, chỉnh sửa để được định lí đúng.
Bước 5: Hoạt động củng cố định lí. Hoạt động ngôn ngữ:
- Bằng ngôn ngữ toán học hãy diễn đạt đường thẳng d song song với mặt phẳng (P).
- Nếu bỏ trường điều kiện d’ nằm trong mặt phẳng (P) thì có thể kết luận d song song với (P) được không?
Hoạt động nhận dạng:
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Đường thẳng AB song song với các mặt nào của hình lập phương.
Hoạt động thể hiện:
Cho hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong mặt phẳng. a. Gọi O và O’ lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và ABEF. Chứng minh OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE)
b. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABD và ABE. Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (CEF).
A1 A B C D D1 C1 B1
1. Yêu cầu học sinh nêu cách xác định đường viền nằm ngang của tấm bảng treo trên vách tường của lớp là song song với sàn của lớp học.
2. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là giao điểm của AD, BD. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (OMN) và mặt (ABCD).
Ví dụ 3.13.Tổ chứcdạy học định lí “ Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q)”.
Bước 1: Tạo tình huống, tạo nhu cầu nhận thức thông qua xét bài toán sau:
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 (Hình 3.36).
1. Xác định vị trí tương đối giữa mặt phẳng (ABCD) và (A1B1C1D1). 2. Xác định vi trí tương đối của các cặp đường thẳng (AC, BD); (AB, AD); (CB, CD) và mặt phẳng (A1B1C1D1).
Hình 3.33
Bước 2: Học sinh khảo sát, phát hiện định lí:
Nhờ các kiến thức kiến thức về hình lập phương thông qua các hoạt động phát hiện, tổng hợp học sinh nhận biết:
- (ABCD) song song (A1B1C1D1) (dựa vào tính chất hình lập phương). - Các cặp đường thẳng (AC, BD); (AB, AD); (CB, CD) cắt nhau và song song với mặt phẳng (A1B1C1D1).
- Mặt phẳng (ABCD) cần bao nhiêu cặp đường thẳng cắt nhau và song song với mặt phẳng (A1B1C1D1) để kết luận được mặt phẳng (ABCD) song song với mặt (A1B1C1D1).
- Nếu ta xem mặt phẳng (ABCD) là một mặt phẳng được xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau AB và AD thì mặt phẳng (ABCD) cần bao nhiêu cặp đường thẳng cắt nhau và song song với mặt (A1B1C1D1) để kết luận rằng mặt phẳng (ABCD) song song với mặt (A1B1C1D1).
Yêu cầu học sinh phát biểu điều kiện để mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).
Bước 3: Chứng minh định lí
Trước hết cần nhận xét rằng không thể kiểm tra (P) và (Q) không có điểm chung, vì số điểm của mặt phẳng là vô hạn.
Để khắc phục vấn đề trên GV đưa ra câu hỏi: Nếu chúng cắt nhau có gì mâu thuẫn không?
Yêu cầu học sinh chứng minh định lí bằng phương pháp phản chứng.
Bước 4: Phát biểu định lí.
Yêu cầu học sinh phát biểu định lí.
GV nhận xét, chỉnh sửa để được định lí đúng.
Bước 5: Hoạt động củng cố định lí: Hoạt động ngôn ngữ:
Bằng ngôn ngữ toán học hãy diễn đạt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với (Q) thì (P) song song với (Q).
- Nếu , / /( ) / /( ) P a b a b M a Q b Q thì (P)//(Q)
- Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) phân biệt và hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng (P) tương ứng song song với hai đường thẳng cắt nhau của (Q) thì (P) song song với (Q).
Nếu bỏ điều kiện a, b cắt nhau thì kết luận (P) song song (Q) có đúng không?
Hoạt động nhận dạng: Cho hình chóp SABC. Các điểm M, N, P, Q, R lần lượt lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, SC, CA, CB. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
1. Mặt phẳng (MNP) và (ABC) song song với nhau. 2. Mặt phẳng (PQR) song song với mặt phẳng (SAD). Hoạt động thể hiện:
Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ACD, ABD. Chứng minh mặt phẳng (G1G2G3) song song với mặt phẳng (BCD).
Bước 6: Bước đầu khai thác các ứng dụng định lí.
-Yêu cầu học sinh nêu cách xác định trần và sàn của lớp học là hai mặt phẳng song song.
- Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD và các đường thẳng AB, DC cắt nhau tại điểm K. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, SC, SD.
1. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.
2. Chứng minh mặt phẳng (MNPQ) song song với mặt phẳng (ABCD).
Ví dụ 3.14. Tổ chức dạy định lí “Nếu đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy”.
Bước 1: Tạo tình huống, tạo nhu cầu nhận thức thông qua: Tình huống từ SGK:
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1.
A1 A B C D D1 C1 B1
b. Nhận xét về góc giữa: AA1 và cặp đường thẳng cắt nhau B1D1, AA1; BB1 và cặp đường thẳng cắt nhau B1A1, B1C1; CC1 và cặp đường thẳng cắt nhau B1C1, B1D1; DD1 và cặp đường thẳng cắt nhau D1A1, D1C1.
Hình 3.34
Bước 2: Học sinh khảo sát, phát hiện định lí:
Nhờ các kiến thức kiến thức về hình lập phương, góc giữa hai đường thẳng trong không gian, khái niệm về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, tích vô hướng của hai vectơ thông qua các hoạt động phát hiện, tổng hợp học sinh nhận biết:
- Các đường thẳng AA1, BB1, CC1, DD1 đều vuông góc với mặt phẳng (A1B1C1D1).
- AA1 vuông góc B1D1, A1C1 . - BB1 vuông góc B1A1, B1C1. - CC1 vuông góc B1C1, B1D1. - DD1 vuông góc D1A1, D1C1.
Từ các tình huống trên GV nêu câu hỏi: Nêu điều kiện để đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).
Bước 3: Chứng minh định lí Xuất phát từ tình huống thực tiễn:
Cho một tấm nhôm hình chữ nhật gấp đôi đặt trên tấm nhôm thứ hai theo phương vuông góc như hình vẽ (hình 3.31). Gọi d’ là giao tuyến của hai mặt được gấp đôi của tấm nhôm thứ nhất và a, b lần lượt là giao tuyến của hai mặt gấp đôi của tấm nhôm thứ nhất với tấm nhôm thứ hai và c là một đường
d' d b a c c'
thẳng bất kì nằm trên tấm nhôm thứ hai. Một thanh sắt mô tả cho đường thẳng d xuyên qua tấm nhôm thứ hai và song song với giao tuyến d’.
Hình 3.35
Hãy xác định góc giữa c và đường thẳng d’ từ đó suy ra góc giữa c và đường thẳng d trong các trường hợp sau:
1. c song song với a. 2. c song song với b.
3. c không song song với a và b. Dựa vào các kiến thức đã học về góc giữa hai đường thẳng trong không gian học dễ dàng xác định được góc giữa c và d ở trường hợp 1, 2 là 900.
Ở trường hợp 3 giáo viên hướng dẫn học sinh trên tấm nhôm thứ 2 dựng đường thẳng đi qua giao điểm của a, b và song song với c. Từ đó dựa vào trực giác giúp học sinh phán đoán góc (c, d) bằng 900.
Từ các tình huống trên GV nêu ra các câu hỏi cho:
- Để khẳng định d(P). (P) ta cần xác định những điều kiện gì?
Yêu cầu học sinh nhận thức: d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).
- Với giả thuyết cho rằng đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P). Yêu cầu học sinh chứng minh rằng d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).
Từ đó dẫn đến việc để chứng minh d vuông góc với c ta chỉ cần chứng minh d vuông góc với c trong các trường hợp: c song song với a; c song song với b và c không song song với a và b.
Bước 4: Phát biểu định lí.
Yêu cầu học sinh phát biểu định lí.
GV nhận xét, chỉnh sửa để được định lí đúng.
Bước 5: Hoạt động củng cố định lí: Hoạt động ngôn ngữ:
- Bằng ngôn ngữ toán học hãy diễn đạt điều kiện để đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).
- Nếu bỏ điều kiện a, b cắt nhau thì định lí còn đúng không?
Hoạt động nhận dạng: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với mặt đáy. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau?
a. BC(SAC) b. CD(SAD) c. AC(SBD) d. BD(SAC)
Hình 3.36
Hoạt động thể hiện: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB, SC. Chứng minh SC(AMN).
Bước 6: Bước đầu khai thác các ứng dụng định lí.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với mặt đáy, gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.
a. Chứng minh rằng AH(SBC). b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). B A D C S