Cơ sở triết học

Theo quan điểm nhận thức triết học của Mác-Lênin “Nhận thức đi từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn”

Tuy nhiên, do dạy học toán là dạy học các mối liên hệ, quan hệ giữa các đối tượng toán học nêu trong chương này chúng tôi chỉ đề cập một số tri thức thuộc phàm trừu triết học đóng vai trò định hướng, điều chỉnh các hoạt động nhận thức trong dạy học toán.

1.2.1.1 Tri thức về mối quan hệ phổ biến trong triết học

Tất cả các sự vật, hiện tượng trong thế giới tự nhiên điều tồn tại với muôn vàn mối liên hệ, quan hệ ràng buộc lẫn nhau, không tách rời. Trong tất cả các mối liên hệ chi phối sự tồn tại của nó có những mối liên hệ phổ biến. Mối liên hệ phổ biến tồn tại một cách khách quan, phổ biến; chúng chi phối một cách khách quan các quá trình vận động, phát triển của sự vật, hiện tượng xảy ra trong thế giới tự nhiên.

Mối liên hệ phổ biến có các tính chất: Tính khách quan, chẳng hạn như sự phụ thuộc của cơ thể sinh vật với môi trường; tính đa dạng, phong phú, nhiều vẻ, như các loại chim, cá, thú điều có mối liên hệ với nước nhưng các hình thức quan hệ là khác nhau.

1.2.1.2 Tri thức về mối liên hệ giữa cái riêng và cái chung

Theo quan điểm duy vật biện chứng cho rằng, cái riêng và cái chung đều tồn tại khách quan và giữa chúng có sự thống nhất biện chứng. Cụ thể:

- Cái chung chỉ tồn tại trong cái riêng và thông qua cái riêng, nghĩa là không có cái chung thuần túy, trừu tượng tồn tại bên ngoài cái riêng.

- Cái riêng chỉ tồn tại trong mối liên hệ với cái chung. Điều đó có nghĩa là không có cái riêng độc lập thuần túy không có cái chung với cái riêng khác.

- Cái chung là một bộ phận của cái riêng, còn cái riêng không gia nhập hết vào trong cái chung. Cái riêng thì phong phú hơn cái chung vì ngoài những đặc điểm gia nhập vào cái chung, cái riêng còn có đặc điểm riêng biệt mà chỉ cái riêng có.

- Cái chung là sâu sắc hơn cái riêng vì nó phản ánh những thuộc tính, những mặt, những mối liên hệ bên trong, tất nhiên, ổn định, phổ biến tồn tại trong cái riêng cùng loại. Cái chung gắn liên hệ với bản chất, quy định sự tồn tại và phát triển của sự vật, hiện tượng.

Trong dạy học toán nhiều khi để phát hiện một tri thức mới (khái niệm mới, định lí mới,...) người ta khảo sát những tính chất có mặt trong những trường hợp riêng. Sau đó, mở rộng các tập hợp đối tượng có ngoại diên rộng hơn để phát hiện tri thức mới.

Ví dụ 1.9: Để hình thành định lí về 3 đường vuông góc trong không gian, chúng ta có thể xét hai trường hợp như sau:

Trường hợp 1: Cho đường thẳng a thuộc mặt phẳng (P) và b là đường thẳng không thuộc (P) và không vuông góc với (P). Gọi b’ là hình chiếu của b trên mặt phẳng (P). Chứng minh rằng nếu a vuông góc với b thì cũng vuông góc với b’.

Trường hợp 2: Cho đường thẳng a thuộc mặt phẳng (P) và b là đường thẳng không thuộc (P) và không vuông góc với (P). Gọi b’ là hình chiếu của b trên mặt phẳng (P). Chứng minh rằng nếu a vuông góc với b’ thì cũng vuông góc với b.

Tổng quát từ hai trường hợp trên chúng ta đưa ra định lí về 3 đường thẳng vuông góc trong không gian.

Nhiều khi để chứng minh một mệnh đề nào đó trong trường hợp cụ thể chúng ta tìm cách chứng minh với trường hợp tổng quát rồi sau đó đặc biệt hóa.

Ví dụ 1.10: Cho tam giác ABC, M là điểm tùy ý thuộc BC. Đặt AM = d, BM = m, CM = n. Chứng minh mb2 + nc2 = ad2 + amn (Định lí Stewart)

n d m B C A M Áp dụng định hàm số cosin, ta có:   m2 2d2 2 cos AMB c md      m2 2d2 2 cos AMC b nd    Do AMBAMC 1800 . Suy ra cos AMB  =cos AMC 

 2 2 2 2 2 2 2 2 m d c m d b md nd      Hình1.6 (m + n)d2 +(m + n)mn = mb2 + nc2

Thay m + n = a ta được: mb2 + nc2 = ad2 + amn.

Khi M là trung điểm của cạnh BC, áp dụng công thức Stewart ta được công thức tính độ dài đường trung tuyến ma của tam giác ABC, tương tự khi M là chân đường phân giác của tam giác ABC.

1.2.1.3 Tri thức về mối quan hệ nhân quả

Nguyên nhân sinh ra kết quả. Vì vậy, nguyên nhân bao giờ cũng có trước kết quả. Tuy nhiên, không phải mọi mối quan hệ nối tiếp nào cũng là mối quan hệ nhân quả. Chỉ những mối liên hệ trước và sau về mặt thời gian có mối quan hệ sản sinh mới là mối liên hệ nhân quả.

Trong hiện thực khách quan, mối liên hệ nhân quả biểu hiện rất phức tạp, một kết quả có thể do nhiều nguyên nhân khác nhau và ngược lại một nguyên nhân có thể có nhiều kết quả khác nhau.

Trong toán học, tư duy, nội dung, kiến thức có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Sự xuất hiện một nội dung mới nào đó có tiền đề là các nội dung đã biết và có thể nội dung mới đó sẽ giải thích căn nguyên của sự tồn tại của các kiến thức cũ đã biết.

Trong dạy học toán người ta thường vận dụng mối quan hệ nhân quả vào hoạt động nhận thức toán học theo phương thức sau: (theo [29,tr.55,57]):

A C

B

O

H K

Phương thức 1: Xác định tri thức cội nguồn liên quan tới đối tượng nghiêm cứu để phát hiện đúng cách huy động kiến thức hay các nhóm kiến thức đã có để giải quyết tình huống mới, nhận thức đối tượng mới.

Ví dụ 1.11: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng 1 2 12 12 1 2

OH OA OB OC

Hình 1.7

Đây là một bài toán được phát triển từ một bài toán trong hình học phẳng: Cho tam giác ABC vuông tại A và H là chân đường cao hạ từ A. Chứng minh rằng 1 2 12 12

AH  AB  AC .

Từ việc phân tích nguồn gốc, bản chất của bài toán chúng ta có thể đưa ra hướng chứng minh sau:

Ta có: ( ) OA OB OA OBC OA BC OA OC          ( ) BC OH BC AOH BC AH BC OA         

Tương tự ta chứng minh được CABH và ABCH nên H là trực tâm của tam giác ABC.

Gọi K là giao điểm của AH và BC.

1 2 12 1 2

OH OA OK (1)

Trong tam giác vuông OBC với đường cao OK ta có:

1 2 12 1 2

OK OB OC (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra 1 2 12 12 12

OH OA OB OC

Phương thức 2: dạy học khái niệm, định lí, quy tắc theo hướng tăng

cường khả năng vận dụng để từ đó tạo tiềm năng hoạt động huy động kiến thức cho học sinh.

Theo phương thức này cần tiến hành dạy hoạt động khái niệm, định lí, quy tắc theo quy trình sau:

Hình thành  củng cốphát hiện các dạng toán ứng dụngquy trình giải toán từng dạngcác bài toán gốc vận dụng quy trìnhcác bài toán nâng cao.

1.2.1.4 Tri thức về mối liên hệ giữ hình thức và nội dung

Khái niệm nội dung dùng để chỉ toàn bộ các yếu tố làm cơ sở cấu thành nên sự vật; còn khái niệm hình thức dùng để chỉ phương thức kết hợp các yếu tố đó tạo nên sự tồn tại của sự vật.

Nội dung và hình thức là hai phương diện cấu thành nên mỗi sự vật: Không có sự vật nào tồn tại mà chỉ có nội dung mà không có hình thức nhất định.

Cùng một nội dung nhưng có thể có những phương thức kết hợp khác nhau; ngược lại, các nội dung khác nhau nhưng có thể có sự đồng dạng về phương thức kết hợp giữa chúng.

Mối quan hệ giữa hình thức và nội dung là mối quan hệ biện chứng. Trong đó nội dung quyết định hình thức, hình thức tác động trở lại nội dung. Giữa nội dung và hình thức không phải luôn luôn có sự thống nhất. Thông thường, quá trình biến đổi, phát triển của một sự vật được bắt đầu từ sự biến

hợp giữa nội dung và hình thức. Khi đó sẽ xuất hiện nhu cầu thay đổi hình thức tạo nên sự phù hợp mới.

Theo [25,tr.43-47], việc vận dụng tri thức cùng một nội dung có thể thể hiện theo nhiều hình thức khác nhau trong việc bồi dưỡng hoạt động nhận thức cho học sinh được thực hiện theo các phương thức sau:

Phương thức 1: Bằng cách khác nhau lựa chọn hình thức thích hợp với

một nội dung thuận lợi cho việc huy động kiến thức trong tiến trình hoạt động biến đổi đối tượng, hoạt động điều ứng, hoạt động phát hiện kiến thức mới.

Ví dụ 1.12: Xét hoạt động chứng minh định lí “Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng thuộc mặt phẳng (P) thì d vuông góc với mặt (P)”.

Đối tượng hoạt động nhận thức trong tình huống này là: Phương pháp chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).

- Nếu xem việc chứng minh d vuông góc với (P) là việc xác định góc giữa d và một đường thẳng c bất kì bằng 900 thì ta định hướng cho học sinh như sau: Xác định góc giữa d và c ở ba trường hợp (c song song với a; c song song với b; c không song song với a và b) đều là 900, từ đó suy ra d vuông góc với mọi c bất kì thuộc mặt phẳng (P) nên theo định nghĩa ta kết luận d vuông góc với mặt phẳng (P).

- Nếu xem việc chứng minh d vuông góc với (P) là việc xác định góc giữa d và một đường thẳng c bất kì sao cho tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của chúng bằng 0, thì ta định hướng cho học sinh như sau: Giả sử m

,

n

, ,p u 

lần lượt là các vectơ chỉ phương của a, b, c ,d nên theo giả thiết ta có

p xm  yn

; .m u 0

; .n u 0

. Khi đó .u p  u xm(   yn)x u m. .   y u n. . 0 Vậy d vuông góc với c bất kì nằm trong (P) nghĩa là d vuông góc với mặt phẳng (P).

Phương thức 2: Phát hiện mâu thuẫn do hình thức không phù hợp với

nội dung thúc đẩy hoạt động tư duy, tạo đối tượng cho các hoạt động phát hiện, hoạt động biến đổi đối tượng và hoạt động điều ứng.

Phương thức 3: GV hướng dẫn HS hoạt động khắc phục những sai lầm

do không hiểu bản chất nội dung mà chỉ quan tâm đến hình thức.

Phương thức 4: Luyên tập cho HS biến đổi các đối tượng bằng cách

chuyển hóa hình thức của các đối tượng cho phù hợp với nội dung để phát hiện cách huy động kiến thức đúng đắn trong hoạt động nhận thức.