. Định lý Euler Cho G lμ một đồ thị phẳng cóv đỉnh vμ e cạnh Gọi số miền đ−ợc giới hạn bởi các cạnh trong biểu diến phẳng của Glμr Kh
3.4.4. Một số ứng dụng bμi toán tô mμu Bμi toán lập lịch th
Bμi toán lập lịch thi
Hãy lập lịch thi trong một tr−ờng học sao cho không có sinh viên nμo thi hai môn cùng một lúc.
Để giải bμi toán nμy, ta hãy lập một đồ thị, trong đó coi các đỉnh lμ các môn thi, các cạnh sẽ đ−ợc nối từ đỉnh nọ đến đỉnh kia nếu có sinh viên thi cả hai môn đó. Nh− vậy số mμu của đồ thị chính lμ số ca thi tối thiểu có thể thiết lập. Việc lập lịch thi sẽ đồng nghĩa với việc tô mμu đồ thị nμỵ
Ví dụ: Có 7 môn thi cần xếp lịch với các môn đ−ợc đánh số từ 1 đến 7. Giả sử các cặp môn thi sau có cùng sinh viên dự thi: 1 vμ 2, 1 vμ 3, 1 vμ 4, 1 vμ 7, 2 vμ 3, 2 vμ 4, 2 vμ 5, 2 vμ 7, 3 vμ 4, 3 vμ 7, 4 vμ 5, 4 vμ 6, 5 vμ 6, 5 vμ 7, 6 vμ 7. hãy xếp lịch thi cho 7 môn thi nói trên.
Với đồ thị trên, các đỉnh sẽ đ−ợc sắp thứ tự theo sự giảm dần của bậc: 2,3,4,7,1,5,6
Đỉnh 2, 6 cùng mμu 1 (lam)
Còn các đỉnh 3,4,7,1,5 với bậc (theo thứ tự) lμ giảm dần. Đỉnh 3, 5 cùng mμu 2 (lục)
Còn các đỉnh 1,4,7 với bậc giảm dần. Đỉnh 1 mμu 3 (đỏ)
Đỉnh 4, 7 cùng mμu 4 (nâu)
Vậy đồ thị đ−ợc tô bởi 4 mầu, t−ơng ứng với việc có thể tổ chức 4 ca thi
Bμi toán phân chia tần số
Cần tối thiểu bao nhiêu kênh truyền hình biết rằng hai đμi phát sóng cách nhau một khoảng không quá độ dμi d cho tr−ớc thì không đ−ợc phát chung kênh.
Để giải bμi toán nμy, ta hãy lập một đồ thị, trong đó coi các đỉnh lμ các đμi, các cạnh sẽ đ−ợc nối từ đỉnh nọ đến đỉnh kia nếu khoảng cách giữa hai đỉnh (đμi) không quá d. Nh− vậy mμu của đồ thị chính lμ kênh có thể thiết lập. Việc phân chia kênh truyền sẽ đồng nghĩa với việc tô mμu đồ thị nμỵ
Ví dụ. Có 10 đμi phát sóng truyền hình ở vùng đồng bằng Bắc bộ, với khoảng cách giữa các đμi phát đ−ợc cho bởi bảng d−ới đâỵ Hãy phân chia
các kênh truyền sao cho hai đμi cách nhau d−ới 60km không đ−ợc phát chung kênh.
Theo bảng trên ta có đồ thị sau:
Từ đó dễ dμng phân bổ các kênh truyền cho hệ thống các đμi truyền hình khu vực đồng bằng Bắc bộ.