A B∩ C Tổng quát: Giả sử
3.3.2. Tính liên thông.
Tính liên thông trong đồ thị vô h−ớng.
Một đồ thị vô h−ớng đ−ợc gọi lμ liên thông nếu giữa mọi cặp đỉnh của đồ thị đều có một đ−ờng đị
Ví dụ. Đồ thị G liên thông, đồ thị H không liên thông.
Định lý 1. Mọi cặp đỉnh phân biệt của một đồ thị vô h−ớng liên thông luôn có một đ−ờng đi đơn.
Chứng minh. Giả sử a vμ b lμ hai đỉnh phân biệt của một đồ thị vô h−ớng G liên thông. Vì tính liên thông nên có ít nhất một đ−ờng đi từ a đến
b. Gọi α = (a, x1, x2, ..., xn−1, b) lμ đ−ờng đi ngắn nhất (độ dμi n) từ a đến b
vμ giả sử rằng nó không lμ đ−ờng đi đơn, khi đó tồn tại hai cặp đỉnh xi, xi+1
vμ xj, xj+1 (i < j) sao cho các cạnh thứ i+ 1 vμ cạnh thứ j+ 1 của đ−ờng đi trùng nhau, có nghĩa lμ xi =xj vμ xi+1 = xj+1, từ đó ta có đ−ờng đi mới từ
a đến b bằng cách bỏ đi chu trình (xi+1, ..., xj+1) lμβ = (a, ...xi, xj+1, ..., b) có độ dμi thực sự nhỏ hơn n, mâu thuẫn với giả thiết α lμ đ−ờng đi ngắn nhất từ a đến b. Vậy α lμ đ−ờng đi đơn.
thông sao cho hai đồ thị con bất kỳ trong chúng không có đỉnh chung. Mỗi đồ thị con rời nhau nh− vậy đ−ợc gọi lμ một thμnh phần liên thông của đồ thị đã chọ
Ví dụ. Đồ thị G d−ới đây lμ một đồ thị không liên thông, nó lμ hợp của 3 đồ thị con trong đó mỗi đồ thị con lμ một thμnh phần liên thông của G.
Giả sử G lμ một đồ thị có nhiều hơn 1 đỉnh. Việc xóa đi một đỉnh v của đồ thị G cùng với tất cả các cạnh liên thuộc với đỉnh ấy sẽ tạo nên một đồ thị con G1 của G vμ có thể G1 sẽ không liên thông, có nhiều thμnh phần liên thông hơn đồ thị G. Đỉnh v đó đ−ợc gọi lμ đỉnh cắt hay đỉnh khớp. Hoμn
toμn t−ơng tự, nếu loại bỏ khỏi một đồ thị G một cạnh v nμo đó sao cho đồ thị mới lμ một đồ thị có nhiều thμnh phần liên thông hơn đồ thị ban đầu thì
v đ−ợc gọi lμ một cầu hay cạnh cắt.
Ví dụ. Trong đồ thị G ở d−ới
các đỉnh b, c, e lμ các đỉnh cắt, còn các cạnh {a, b},{c, e} lμ các cầụ
Tính liên thông trong đồ thị có h−ớng.
Một đồ thị có h−ớng đ−ợc gọi lμ liên thông mạnh nếu giữa mọi cặp đỉnh
a vμ b của đồ thị đều có một đ−ờng đi từ a đến b vμ có một đ−ờng đi từ b
đến a.
Một đồ thị có h−ớng đ−ợc gọi lμ liên thông yếu nếu có đ−ờng đi giữa mọi cặp đỉnh của đồ thị vô h−ớng nền.
Ví dụ.
Kiểu đ−ờng đi, kiểu chu trình cho ta một gợi ý để xét tính đẳng cấu giữa hai đồ thị. Nếu đồ thị nμy có một chu trình đặc biệt (chẳng hạn độ dμi k) nh−ng đồ thị kia không có thì hai đồ thị không thể đẳng cấụ Mặt khác, đ−ờng đi đặc biệt có thể dùng để xây dựng ánh xạ đẳng cấu giữa hai đồ thị.
Ví dụ. Hai đồ thị d−ới đây lμ không đẳng cấu vì đồ thị bên trái không có chu trình độ dμi 3, nh−ng đồ thị bên phải có chu trình độ dμi 3.
Định lý 2. (về số đ−ờng đi giữa các đỉnh). Giả sử G = (V, E) lμ một đồ thị với ma trận kề A t−ơng ứng với thứ tự các đỉnh v1, v2, ..., vn. Số các đ−ờng đi khác nhau độ dμi p từ vi đến vj bằng aij(p) lμ phần tử ở dòng i cột j trong ma trận luỹ thừa bậc p của ma trận A (luỹ thừa theo phép nhân ma trận thông th−ờng).
Chứng minh. (Bằng quy nạp theo p).
Với p = 1 Rõ rμng theo định nghĩa ma trận kề, aij = 1 khi vμ chỉ khi có cạnh (cung) từ vi đến vj, tức lμ có đ−ờng đi độ dμi 1 từ vi đến vj.
Giả sử định lý đúng với p −1, ta sẽ chứng minh định lý đúng với p. Thật vậy, a(i,jp−1) lμ số các đ−ờng đi độ dμi p−1 từ đỉnh vi đến đỉnh vj. Mỗi đ−ờng đi độ dμi p từ đỉnh vi đến đỉnh vj sẽ đ−ợc tạo nên từ một đ−ờng đi độ dμi p− 1 từ vi đến vk với một k nμo đó vμ một cạnh (cung) từ vk đến
vj, nên theo nguyên lý cộng vμ nguyên lý nhân, số các đ−ờng đi độ dμi p từ
Ap = Ap−1A.
Ví dụ. Tìm số đ−ờng đi độ dμi 3 từ a đến d trong đồ thị có h−ớng sau đây: Ta có ma trận kề của đồ thị có h−ớng nμy lμ A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 1 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 1 1 0 ⎞ ⎟ ⎠ do đó lập ph−ơng của ma trận A lμ A3 = [a(3)ij ] = ⎛ ⎜ ⎝ 1 7 5 6 0 0 0 4 0 2 2 0 0 2 2 2 ⎞ ⎟ ⎠
Vậy số đ−ờng đi độ dμi 3 trong đồ thị có h−ớng đã cho lμ a(3)14 = 6. vμ 6 đ−ờng đi đó lμ (e1e2e8),(e1e2e9),(e1e3e8),(e1e3e9),(e4e6e8),(e4e6e9).