Giả sử có một việc đ−ợc tách thμnh k công đoạn. Công đoạn 1 có thể thực hiện đ−ợc bằng n1 cách; công đoạn 2 có thể thực hiện đ−ợc bằng n2
cách;...; công đoạn k có thể thực hiện đ−ợc bằng nk cách. Khi đó sẽ có
n1ìn2ì. . .ìnk cách thực hiện công việc nói trên.
Ví dụ 1: Từ Hμ tĩnh đến Hμ nội cần phải đi qua Vinh. Biết rằng từ Hμ tĩnh đi Vinh có 2 ph−ơng án: xe máy hoặc ô tô. Từ Vinh đi Hμ nội có 3 ph−ơng án: xe máy hoặc ô tô hoặc tμu hoả. Hỏi có bao nhiêu ph−ơng án đi từ Hμ tĩnh đến Hμ nộị
Giải: áp dụng trực tiếp nguyên lý nhân ta có số ph−ơng án đi từ Hμ tĩnh đến Hμ nội bằng 2ì3 = 6.
Nguyên lý nhân còn đ−ợc phát biểu d−ới dạng: Giả sử (a1, a2, . . . , ak) lμ một bộ sắp thứ tự k thμnh phần, trong đó thμnh phần ai có thể nhận
ni giá trị (i = 1,2..., k). Khi đó số các bộ khác nhau (a1, a2, . . . , ak) lμ
n1ìn2ì. . .ìnk.
Ví dụ 2: Đếm số các b−ớc lặp: Giá trị của k sau khi đoạn ch−ơng trình Pascal sau đây đ−ợc thực hiện lμ bao nhiêủ
n1:= 10; n2:=20; n3:=30; k:=0; for h:=1 to n1 do for i:=1 to n2 do for j:=1 to n3 do k:=k+1;
Giải: Vì ban đầu k = 0 nên giá trị cuối cùng của k sau 3 vòng lặp sẽ lμ số lần thực hiện lệnh k := k + 1. Mỗi lần thực hiện lệnh k := k + 1 t−ơng ứng một-một với một bộ giá trị (h, i, j). Tuy nhiên số các giá trị mμ
h có thể nhận lμ 10, số các giá trị mμ i có thể nhận lμ 20 vμ số các giá trị mμ j có thể nhận lμ 30, nên theo nguyên lý nhân ta có số các bộ (h, i, j) lμ 10ì20ì30 = 6000. Vậy giá trị cuối cùng của k lμ 6000.
Một chỉnh hợp lặp chập k của n lμ bộ sắp thứ tự k thμnh phần có giá trị thuộc tập n phần tử.
Bμi toán1: Số các chỉnh hợp lặp chập k của n.
Có bao nhiêu bộ sắp thứ tự k thμnh phần có giá trị thuộc tập n phần tử (Có bao nhiêu chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử?).
Có bao nhiêu cách xếp k vật vμo n hộp? Có bao nhiêu cách tô k vật bởi n mμủ
Có bao nhiêu ánh xạ (hμm) từ một tập có k phần tử vμo một tập có n
phần tử?
Có bao nhiêu phần tử của luỹ thừa đề-các bậc k của một tập có n phần tử?
Đáp số: Fnk =nk.
Một chỉnh hợp (không lặp) chập k của n lμbộ sắp thứ tự k phần tử thuộc tập n phần tử.
Có bao nhiêu cách xếp k vật vμo trong n hộp sao cho mỗi hộp chứa không quá 1 đồ vật? (hai vật khác nhau đ−ợc xếp vμo hai hộp khác nhau).
Có bao nhiêu đơn ánh từ tập có k phần tử vμo tập có n phần tử? (điều kiện k < n).
Có bao nhiêu bộ sắp thứ tự k phần tử của một tập n phần tử? (Có bao nhiêu chỉnh hợp chập k của n?)
Đáp số: Akn = n(n−1). . .(n−k + 1).
Một hoán vị của tập hợp có n phần tử lμ một cách sắp theo một thứ tự nμo đó tập n phần tử. Ta th−ờng gọi tắt lμ hoán vị cấp n hay một phép thế cấp n.
Bμi toán 3: Số các hoán vị cấp n.
Có bao nhiêu song ánh từ tập n phần tử lên tập n phần tử Có bao nhiêu hoán vị của tập n phần tử
Đáp số: n! = n(n−1). . .2.1.
Bμi toán 4:
Có bao nhiêu cách khác nhau để xếp đặt không hạn chế k vật vμo trong
n hộp sao cho hai cách xếp đặt đ−ợc coi lμ giống nhau khi trong mỗi hộp đều chứa cùng một dãy các vật.
Đáp số: [n]k = n(n+ 1)(n+ 2). . .(n+k −1)
Bμi toán 5: Tổ hợp
Một tổ hợp chập k của n phần tử lμ một tập con k phần tử của tập hợp
n phần tử. Vì ý nghĩa thực tế của các phần tử của tập hợp không đóng vai trò quan trọng, mμ quan trọng lμ các số l−ợng k vμ n, do đó ta th−ờng nói một cách ngắn gọn tổ hợp chập k của n thay cho cụm từ tổ hợp chập k của
n phần tử.
Số các tổ hợp chập k của n lμ Cnk = k!(nn−!k)!.
Ví dụ: Mỗi một ban cán sự lớp gồm 3 ng−ời của một lớp có 52 sinh viên lμ một tổ hợp chập 3 của 52. Giả sử khả năng tham gia ban cán sự của mỗi thμnh viên trong lớp lμ nh− nhaụ Khi đó số các khả năng để chọn ra một ban cán sự lớp (không phân biệt chứ danh lớp tr−ởng, lớp phó học tập vμ lớp phó đời sống) lμ C523 . Tuy nhiên nếu ta phân biệt các chức danh lớp tr−ởng, lớp phó học tập vμ lớp phó đời sống thì số các khả năng để chọn ra một ban cán sự lớp lμ A352, tăng lên 3! = 6 lần so với số các tổ hợp chập 3 của 52.