A B∩ C Tổng quát: Giả sử
2.2.1. Khái niệm về công thức truy hồ
Công thức truy hồi dùng để xác định một dãy số {fn} lμ một công thức biểu diễn fn qua một hay nhiều số hạng đi tr−ớc của dãy, cụ thể lμ các số hạng fn−1, fn−2, . . . , fn−k với một n ≥ k nμo đó.
fn = F(fn−1, fn−2, ..., fn−k)
Ví dụ 1: fn = fn−1 −2fn−2+fn−3
Ví dụ 2: fn = nfn−1
Để xác định một dãy số cụ thể nμo đó theo một công thức truy hồi, tr−ớc tiên cần biết đ−ợc các giá trị ban đầu của dãy để lμm căn cứ tính các giá trị tiếp theo ở vế trái của công thức đó. Với những bộ giá trị ban đầu khác nhau sẽ cho ta các giá trị tiếp theo khác nhau của dãỵ Nói cách khác một dãy chỉ đ−ợc xác định một cách duy nhất theo công thức truy hồi khi đã cho tr−ớc các giá trị ban đầụ Khi đó ta nói rằng dãy nhận đ−ợc lμ một nghiệm của hệ thức truy hồị Một hệ thức truy hồi có thể có nhiều nghiệm nếu không cho tr−ớc tập hợp các giá trị ban đầụ Việc xác định các giá trị ban đầu tuỳ thuộc vμo tính chất của dãy hoặc vμo từng tình huống của bμi toán đã chọ
Ví dụ 3. Xác định dãy cho bởi hệ thức an = an−1 −an−2 biết a0 = 3, a1 = 5 (hoặc biết a0 = 2, a1 = 7).
Ví dụ 4. Tính số các hỗn độn Dn định nghĩa trong ví dụ ở 2.1.4.
Mỗi cách bỏ th− có thể đ−ợc đồng nhất với một hoán vị cấp n. Mỗi hỗn độn có thể đ−ợc đồng nhất với một hoán vị (a1, a2, . . . , an) sao cho ai = i
thể nhận n−1 giá trị khác n, với mỗi giá trị k (khác n) của an có thể xảy ra 2 khả năng:
Nếu ak = n, khi đó n−2 thμnh phần còn lại lμ một hoán vị của n−2 phần tử khác ak vμ khác an, do đó a1, a2, . . . , an có thể đồng nhất với một hỗn độn của n−2 phần tử. Số các hỗn độn loại nμy chính lμ Dn−2.
Nếu ak = n, khi đó n−1 thμnh phần (trừ an = k) lμ một hoán vị của
n−1 phần tử (khác k), hơn nữa nó lμ một hỗn độn của n−1 phần tử (trừ phần tử an). Do đó số các hỗn độn loại nμy chính lμ Dn−1.
Vậy ta có
Dn = (n−1)(Dn−1+Dn−2) Dễ thấy các giá trị ban đầu lμ D1 = 0, D2 = 1. Ví dụ: Tính n! = n∗(n−1)!.