A B∩ C Tổng quát: Giả sử
2.3.2. Nguyên lý Dirichlet (Nguyên lý lồng chim bồ câu)
Nguyên lý xuất phát: Nếu đem nhốt nhiều hơn n con chim bồ câu vμo
n cái lồng thì luôn tồn tại một lồng nhốt nhiều hơn một con chim. (Chứng minh bằng phản chứng).
Ví dụ 1: Trong một tháng 30 ngμy một đội bóng chuyền chơi ít nhất mỗi ngμy một trận, nh−ng cả tháng chơi không quá 45 trận. Chứng tỏ rẳng có những ngμy liên tiếp đội chơi tất cả 14 trận.
Giải: Gọi ai lμ số trận đấu đội đã chơi cho đến hết ngμy thứ i, khi đó dãy a1, a2, . . . , a30 bao gồm 30 số nguyên phân biệt vμ tăng dần (vì mỗi ngμy chơi ít nhất một trận). Mặt khác 45 ≥ ai ≥ 1. Do đó dãy a1 + 14, a2 + 14, . . . , a30 + 14 cũng bao gồm 30 số nguyên d−ơng tăng ngặt, phân biệt. Xét sáu m−ơi số nguyên d−ơng a1, a2, . . . , a30, a1+ 14, a2+ 14, . . . , a30+ 14 trong đó a30 + 14 lμ số lớn nhất nh−ng cũng không quá 59, do đó có ít nhất hai số ai vμ aj + 14 bằng nhau, điều đó có nghĩa lμ từ ngμy thứ j+ 1 đến hết ngμy thứ i đội đã chơi đúng 14 trận.
Nguyên lý tổng quát: Nếu đem xếp n vật vμo k hộp thì tồn tại một hộp chứa không ít hơn n/k vật. (Chứng minh bằng phản chứng).
Ví dụ 2: Giả sử có một lô 6 chất sao cho mỗi cặp hai chất hoặc có thể trộn lẫn, hoặc không thể trộn lẫn (nếu trộn thì có phản ứng bất lợi xảy ra). Chứng tỏ trong lô đó có 3 chất có thể trộn đ−ợc lẫn nhau hoặc có 3 chất không thể trộn lẫn nhaụ
Giải: Gọi X lμ một chất trong 6 chất, khi đó trong 5 chất còn lại sẽ có không ít hơn 5/2 chất (ít nhất 3 chất) có thể trộn lẫn đ−ợc với X, hoặc sẽ có ít nhất 3 chất không thể trộn lẫn đ−ợc với X.
- Xét tr−ờng hợp thứ nhất, có Y, Z, T có thể trộn lẫn đ−ợc với X.
+ Nếu trong 3 chất nμy có hai chất có thể trộn đ−ợc với nhau thì kết hợp với X sẽ có 3 chất có thể trộn đ−ợc với nhau,
+ trái lại thí chính 3 chất Y, Z, T lμ bộ ba không thể trộn lẫn. - Xét tr−ờng hợp thứ hai, có Y, Z, T không thể trộn lẫn đ−ợc với X.
+ Nếu trong 3 chất nμy có hai chất không thể trộn lẫn đ−ợc với nhau thì kết hợp với X xé có 3 chất không thể trộn lẫn,
+ trái lại nghĩa lμ cả 3 chất Y, Z, T lμ bộ ba có thể trộn lẫn. Ví dụ 3: Ng−ời ta đánh số các đỉnh của một đa giác đều 12 cạnh bằng các số từ 1 đến 12. Chứng minh rằng luôn tồn tại ba đỉnh liên tiếp có tổng các nhãn lớn hơn 19
Giải: Gọi Si lμ tổng các nhãn của 3 đỉnh thứ i, i + 1, i + 2 với i = 1,2, ...,10 vμ S11 lμ tổng các nhãn của 3 đỉnh thứ 11,12,1; S12 lμ tổng các nhãn của 3 đỉnh thứ 12,1,2.
Khi đó nhãn của mỗi đỉnh sẽ có mặt đúng 3 lần trong các tổng kể trên. Do đó S1+S2 +. . .+S12 = 3(1 + 2 +. . .+ 12) = 234. Vì vậy, theo nguyên lý Dirichlet tổng quát sẽ tồn tại một Sk nμo đó có giá trị không nhỏ hơn 23412 = 19,5.