A B∩ C Tổng quát: Giả sử
2.3.3.Hệ đại diện phân biệt
Giả sử S1, S2, ...Sm lμ một họ các tập con của tập S. Một bộ có thứ tự (x1, x2, ..., xm) các phần tử của S đ−ợc gọi lμ một hệ đại diện phân biệt (HĐDPB) của họ nμy nếu xi ∈ Si vμ xi = xj (i = j) vμ xi đ−ợc gọi lμ đại diện của Si.
Nếu một họ các tập con tồn tại một HĐDPB thi mọi hợp của k tập hợp bất kỳ trong họ phải có ít nhất k phần tử (vì luôn tìm đ−ợc k đại diện khác nhau của k tập đó). Từ đó ta rút ra đ−ợc một điều kiện đủ để một họ không có hệ đại diện phân biệt lμ tồn tại một họ con k tập của họ mμ hợp của chúng có ít hơn k phần tử.
Định lý 1 (Hall). Giả sử các tập con S1, S2, ..., Sm thoả mãn điều kiện
N(Si1 ∪Si2 ∪ ...∪Sik) ≥k (1)
với mọi k sao cho m ≥ k ≥ 1; m ≥ ik ≥ ... ≥ i2 ≥ i1 ≥ 1 vμ mỗi tập con nμy chứa ít nhất t phần tử, khi đó
(i) Nếu m ≥ t thì họ đang xét có ít nhất t! HĐDPB.
(ii) Nếu t > m thì họ đang xét có ít nhất (t−t!m)! HĐDPB. Chứng minh. Quy nạp theo m.
Với m = 1, nghĩa lμ chỉ có 1 tập con vμ tập nμy chứa ít nhất t phần tử. Rõ rμng mỗi phần tử lμ một HĐDPB, do đó có ít nhất t= (tt!
−1)! HĐDPB. Giả sử định lý đúng cho mọi họ ít hơn m tập, ta sẽ chứng minh định lý đúng cho họ có m tập con.
- Xét tr−ờng hợp N(Si1 ∪Si2 ∪...∪Sik) = k.
Việc xét sự tồn tại của một HĐDPB vμ tìm cách xây dựng một HĐDPB có nhiều ứng dụng trong thực tế. Sau đây lμ hai ví dụ:
Ví dụ 1. Bμi toán giao việc:
Có m ng−ời đ−ợc giao n công việc. Giả sử ng−ời thứ i thực hiện đ−ợc tập Si các công việc trong tập n công việc nói trên. Hỏi có thể phân công mỗi ng−ời một việc trong số n các công việc đã cho hay không?
Rõ rμng bμi toán dẫn đến việc xét sự tồn tại của một HĐDPB của họ Si
các tập vμ việc chỉ ra một HĐDPB chính lμ một ph−ơng án phân công công việc cho m ng−ờị
Ví dụ 2. Trò ghép đôi:
Giả sử trong lớp có m chμng trai vμ chμng trai thứ i −ng một tập Si các cô gáị Hỏi có thể ghép cho mỗi chμng một cô mμ chμng nμo cũng vừa ý hay không?
Bμi tập
1. Cho (xi, yi), (i = 1,2,3,4,5) lμ một tập hợp gồm 5 điểm khác nhau có các toạ độ nguyên trên mặt phẳng toạ độ xOy. Chứng tỏ rằng điểm giữa của đoạn thẳng nối ít nhất một trong các cặp điểm nμy có toạ độ nguyên. 2. Cho (xi, yi, zi), (i = 1,2,3,4,5,6,7,8,9) lμ một tập hợp gồm 9 điểm khác nhau có các toạ độ nguyên trong không gian Oxyz. Chứng tỏ rằng điểm giữa của đoạn thẳng nối ít nhất một trong các cặp điểm nμy có toạ độ nguyên.
Từ bμi nμy ta có thể tổng quát hoá: Trong không gian n chiều cho 2n+1 điểm có toạ độ nguyên. Chứng tỏ rằng điểm giữa của đoạn thẳng nối ít nhất một trong các cặp điểm nμy có toạ độ nguyên.
3. Một bữa tiệc có ít nhất 2 ng−ờị Chứng minh rằng có hai ng−ời có số ng−ời quen bằng nhaụ
4. Một phòng máy tính có 16 chiếc, mỗi máy nối trực tiếp hoặc không nối với các máy khác. Chứng tỏ rằng có ít nhất 2 máy mμ số các máy khác nối với chúng lμ bằng nhaụ
5. Khi kiểm tra một danh mục gồm 115 chi tiết, ng−ời ta phân ra thμnh hai loại “tốt” hoặc “không tốt”. Có 60 chi tiết đ−ợc đánh giá lμ tốt. Chứng minh rằng có ít nhất hai chi tiết đ−ợc đánh giá lμ tốt có số thứ tự cách nhau đúng 4 đơn vị. Hãy sửa lại các dữ kiện sao cho bμi toán không đúng nữạ
6. Chứng tỏ rằng trong dãy 10 (hay m) số nguyên d−ơng bất kỳ tồn tại một hay nhiều số hạng liên tiếp có tổng chia hết cho 10 (hay m).
7. Một lớp có 25 sinh viên đ−ợc cử đi thực tập tại 3 tỉnh Thanh hoá, Nghệ an, Hμ tĩnh. Chứng tỏ rằng có một tỉnh có ít nhất 9 sinh viên đến thực tập.
8. 16 cầu thủ bóng rổ có số áo của họ đ−ợc đánh số từ 1 đến 16, đứng thμnh một vòng tròn theo thứ tự bất kỳ. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một nhóm 3 cầu thủ đứng liền nhau có tổng các số áo ít nhất lμ 26.
9. Một h−ớng dẫn viên du lịch thực hiện nhiệm vụ của mình trong 75 ngμỵ Mỗi ngμy anh ta nhận h−ớng dẫn ít nhất 1 tua nh−ng toμn bộ anh ta có không quá 125 tuạ Chứng tỏ rằng có những ngμy liên tiếp anh ta nhận h−ớng dẫn đúng 24 tuạ Nếu thay số 24 bởi một trong các số 2,13,25,30 thì khẳng định trên còn đúng không?
10. Một nhóm thợ gồm Hùng có thể đảm nhận các việc gò, hμn, rèn; Dũng có thể đảm nhận các việc hμn, rèn, mã giũa; Chính có thể đảm nhận các việc rèn, mạ, gò; Trung có thể đảm nhận các việc rèn, giũa, đánh bóng, sơn; Lan có thể đảm nhận các việc sơn, đánh bóng, mạ, giũa; Vân có thể đảm nhận các việc sơn, đánh bóng, gò. Một công việc cần thực hiện các khâu rèn, giũa, mạ, đánh bóng, sơn. Hỏi có ít nhất bao nhiêu cách phân công công việc mμ mỗi ng−ời chỉ thực hiện một công đoạn. Hãy chỉ ra hai cách phân công (nếu có).
2.4. Các bμi toán liệt kê