A B∩ C Tổng quát: Giả sử
3.2.1. Các hình thức biểu diễn:
Biểu diễn hình học đ−ợc sử dụng cho cả các đồ thị vô h−ớng vμcó h−ớng, cho cả đơn đồ thị, đa đồ thị vμ giả đồ thị. Biểu diễn hình học lμ biểu diễn
trong đó tập các đỉnh đ−ợc biểu thị bởi các điểm trên mặt phẳng, tập các cạnh (cung) đ−ợc biểu diễn bởi các đoạn đ−ờng cong (kèm theo mũi tên định h−ớng) nối hai đỉnh. Biểu diễn hình học cho ta hình ảnh trực quan về đồ thị, tuy nhiên để giải các bμi toán về đồ thị trong tr−ờng hợp số cạnh vμ số đỉnh nhiều thì biểu diễn nμy không phát huy đ−ợc tác dụng. Đặc biệt ta không thể sử dụng máy tính để tính toán hoặc l−u trữ bởi biểu diễn nμỵ Các ví dụ về biểu diễn hình học đã đ−ợc trình bμy trong mục tr−ớc.
Danh sách kề (đối với đơn đồ thị) của một đơn đồ thị vô h−ớng (có h−ớng) lμ một bảng, trong đó bao gồm 2 cột. Cột thứ nhất lμ danh sách các đỉnh của đơn đồ thị vμ trên mỗi dòng, ở cột thứ hai lμ danh sách các đỉnh kề với cạnh (đỉnh cuối của cung) nhận đỉnh cùng dòng trong cột thứ nhất lμm đỉnh kề (đỉnh đầu). Để l−u trữ trên máy tính đồ thị bởi danh sách kề, ta l−u trữ các đỉnh, cạnh (cung) bởi cấu trúc danh sách liên kết nh− sau :
Trong kiểu biểu diễn nμy ta cần sử dụng m+n đơn vị bộ nhớ (m lμ số các đỉnh, n lμ số các cạnh).
Đối với các đồ thị có số cạnh ít (th−a) ta có thể sử dụng danh sách cạnh để biểu diễn vμ l−u trữ. Danh sách cạnh (cung) của một đồ thị vô h−ớng (có h−ớng) lμ danh sách gồm 2 cột vμ n dòng. Trên mỗi dòng, một đỉnh (đỉnh đầu) đ−ợc ghi ở cột thứ nhất vμ đỉnh kia (đỉnh cuối) của cạnh (cung) đ−ợc ghi ở cột thứ haị
Trong kiểu biểu diễn nμy ta cần 2n đơn vị bộ nhớ (n lμ số cạnh của đồ thị).
Giả sử G = (V, E) lμ đơn đồ thị vô h−ớng (có h−ớng) vμ tập các đỉnh V
đã đ−ợc sắp thứ tự theo một thứ tự cố định bất kỳ: V ={v1, v2, ..., vm}. Ma trận kề của đồ thị G lμ ma trận các số nguyên A = [aij] trong đó aij lμ số các cạnh (cung) nối từ đỉnh thứ i đến đỉnh thứ j.
Các tính chất đặc tr−ng của ma trận kề:
• Ma trận kề của một đồ thị vô h−ớng lμ ma trận đối xứng. • Ma trận kề của một đơn đồ thị lμ ma trận 0-1.
• Tổng các số trên dòng i của ma trận kề bằng bậc (bậc ra) của đỉnh thứ i
• Tổng các số trên cột j của ma trận kề bằng bậc (bậc vμo) của đỉnh thứ j. Nếu Ap = [a(ijp)] lμluỹ thừa bậc p (theo phép nhân ma trận thông th−ờng) của ma trận A thì a(ijp) lμ số các đ−ờng đi độ dμi p từ đỉnh thứ i đến đỉnh thứ
j.
Biểu diễn đồ thị bởi ma trận kề có −u điểm lμ dễ dμng nhận thấy có cạnh nối giữa hai đỉnh i vμ j hay không. Tuy nhiên nh−ợc điểm lớn nhất lμ khi đồ thị có nhiều đỉnh nh−ng ít cạnh thì gây lãng phí bộ nhớ vì luôn luôn phải sử dụng m2 đơn vị bộ nhớ trong đó m lμ số đỉnh của đồ thị.
Ví dụ. Cho đồ thị G = (V, E) trong đó V = {1,2,3,4,5,6} vμ E đ−ợc diểu diễn bởi các đoạn nối các cạnh nh− hình vẽ.
Khi đó ma trận kề A của đồ thị G lμ A = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 1 2 0 1 0 1 0 2 0 1 0 2 2 0 1 0 0 0 0 1 0 3 1 1 1 0 3 0 1 0 0 0 1 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
Ma trận liên thuộc (liên kết đối với đa đồ thị có h−ớng).
Giả sử G = (V, E) lμ một đồ thị vô h−ớng (đa đồ thị có h−ớng) với tập có m đỉnh V vμtập có n cạnh (cung) E lμcác tập đã đ−ợc sắp thứ tự cố định.
Ma trận liên thuộc (liên kết) của đồ thị G lμ ma trận A = [aij] cỡ m ìn
trong đó
aij =
⎧ ⎨ ⎩
1 nếu vi lμ đỉnh kề (đỉnh đầu) của cạnh ej
0 nếu vi không lμ đỉnh kề (đỉnh đầu, đỉnh cuối) của cạnh ej
−1 nếu vi lμ đỉnh cuối của cạnh ej
Nh− vậy, đối với đồ thị vô h−ớng các phần tử của ma trận liên thuộc chỉ có thể lμ 0 hoặc 1, trong khi đó với các đa đồ thị có h−ớng các phần tử của ma trận liên thuộc có giá trị lμ 1, 0 hoặc -1.
Các đặc tr−ng đối với ma trận liên thuộc
• Trên mỗi cột có ít nhất một vị trí có giá trị 1 vμ có nhiều nhất hai vị trí có giá trị 1.
• Cột chỉ có một giá trị 1 t−ơng ứng với một khuyên.
• Trên mỗi dòng có thể không chứa số 1 nμo nh−ng cĩng có thể chứa nhiều số 1.
Các đặc tr−ng đối với ma trận liên kết:
• Trên mỗi cột có đúng một giá trị 1 vμ một giá trị -1.
• Trên mỗi dòng số các giá trị 1 chỉ bậc ra vμ số các giá trị -1 chỉ bậc vμo tại đỉnh t−ơng ứng.