TRỰC GIÁC VÀ DUY LÝ
NHỮNG CHUYỆN NGƯỢC ĐỜ
Người ta nhận thấy rằng, một bài tốn sẽ được giải quyết dễ dàng hơn nếu nhà nghiên cứu biết khái quát hố, nhận thức được vấn đề bao trùm bài tốn ban đầu. Như vậy, lời giải cho bài tốn ban đầu chỉ là một trường hợp cá biệt của giải pháp cho vấn đề tổng quát. Nĩi ngắn gọn, muốn nhanh chĩng giải quyết cái riêng lẻ, phải cĩ tầm nhìn chung, cách giải quyết chung. Đây chính là cái gọi là điều "nghịch lý của các nhà sáng chế".
Nhà tốn học Hungary D. Polia mà chúng ta đã viện dẫn tới nhiều lần trước đây, phát biểu về điều nghịch lý này như sau: "Chứng minh một định lý mạnh dễ hơn chứng minh định lý yếu". Theo D. Polia, định lý "yếu" là định lý được suy luận từ các định lý "mạnh". Cĩ lẽ khái niệm "nghịch lý của các nhà sáng chế" xuất hiện vào khoảng đầu thế kỷ 20, cùng thời với D. Polia, bởi vì từ đĩ tới nay người ta thường nhắc tới Polia khi nĩi về nghịch lý này.
Nhưng trước đĩ một chút, hai nhà tốn học đức P.Dirichlet và R. Dedekind cũng đã nhận xét rằng: "Thường thường, việc giải trực
tiếp những bài tốn riêng lẻ khĩ khăn hơn rất nhiều so với việc giải bài tốn tổng quát".
Thật đáng ngạc nhiên phải khơng? Hiếm ai nghĩ rằng những bài tốn cụ thể, sát sườn với những gì chúng ta quan sát thấy trong cuộc sống hàng ngày lại khĩ khăn gấp bội so với những vấn đề sâu rộng hơn, mạnh hơn và, theo cách nghĩ thơng thường, thâm thúy hơn. Rốt cục, tìm chìa khĩa cho các vấn đề trừu tượng cách biệt thực tế lại dễ hơn nhiều so với những bài tốn cụ thể đầy ắp những chi tiết.
Cơng việc của chúng tơi là cố gắng giải thích những nghịch lý, dù chúng trái khốy tới đâu chăng nữa, bằng những luận giải hợp lý. Nhưng trước khi bắt đầu, chúng tơi muốn các bạn lướt qua những chứng cứ trong lịch sử khoa học.
Cho tới trước thế kỷ V-IV trước Cơng nguyên, người cổ đại vẫn lúng túng với việc tính diện tích của một hình bất kỳ trên mặt phẳng. Những bài tốn cụ thể đĩ chỉ trở nên dễ dàng khi Evdox, một nhà tốn học cổ Hy Lạp, tìm ra phương pháp chia ơ vét kiệt mà sau này trở thành tiền đề của phép tích phân.
Chúng tơi cũng khơng muốn bỏ qua ví dụ kinh điển sau đây vì nĩ minh chứng rất tuyệt vời cho điều nghịch lý đang nĩi tới. Vào thế kỷ III trước Cơng nguyên, bạo chúa thành Siracus là Hieron ra lệnh cho một thần dân và cũng là một người bà con của mình là Archimedes, tìm cách kiểm tra xem chiếc vương miện của ơng ta cĩ bị những tay thợ bạc láu cá pha trộn các kim loại khác hay khơng. Cơng cuộc mày mị tìm lời giải cho một bài tốn hết sức riêng rẽ này chỉ chấm dứt sau khi Archimedes tìm ra định luật trứ danh về lực đẩy của nước tác động lên vật bị nhúng chìm trong nước.
Trong một thời gian dài nhà tốn học Leibniz vật lộn với cách xác định tiếp tuyến tại một điểm trên đường cong. Bài tốn này xuất phát từ nhu cầu của các cơng trình kiến trúc thời đĩ và đã qua tay nhiều người nhưng vẫn chưa cĩ lời giải. Đột nhiên, nhà bác học suy nghĩ: Tại sao khơng đi đường vịng, tức là giải một bài tốn tổng quát hơn chứa đựng bài tốn ban đầu? Cụ thể, xét một đường thẳng nối điểm đã cho trên đường cong và một điểm di động khác cũng trên đường cong này. Như thế, ta sẽ cĩ một cát tuyến. Việc xác định phương trình của một đường thẳng đi qua hai điểm đã được giải quyết từ lâu, một học sinh trung học cũng biết cách. Nhưng khi làm việc với phương trình này, chúng ta sẽ gặp trường hợp đặc biệt khi điểm di động tiến gần tới điểm cho trước, khoảng cách giữa hai điểm theo đường cong sẽ nhỏ dần và bằng khơng khi chúng trùng lên nhau. Tại đĩ cát tuyến trở thành tiếp tuyến. Đây chính là phép vi phân của Leibniz, sau này được áp dụng trong mọi ngành khoa học. Việc xác định tiếp tuyến chỉ là một bài tốn cá biệt trong vơ số những vấn đề được cơng cụ tốn học mạnh mẽ này giải quyết.
Là nhà tốn học nhưng đồng thời là nhà triết học, Leibniz đã từng khuyên các học trị của mình rằng sẽ rất cĩ lợi nếu "nghĩ tới một bài bài tốn tổng quát" khi bắt tay giải quyết một vấn đề cụ thể.
Chính để giải một bài tốn kinh doanh mà I. Kepler, nhà thiên văn kiêm tốn học, đã tìm ra phương pháp lấy tích phân. Người ta kể lại rằng vào năm 1613, Kepler bắt đầu chung sống với người vợ thứ hai khi ơng đã 42 tuổi. Năm đĩ, nho được mùa chưa từng thấy, giá rượu vang hạ. Là ơng chủ gia đình chăm chỉ, ơng buộc phải lo sắm thùng trữ rượu qua năm. Tới lúc bán rượu, Kepler rất ngạc nhiên khi thấy
những tay buơn rượu chỉ việc thọc xéo một cây thước nhỏ qua một lỗ ở thành thùng cho tới đáy và ngay lập tức họ biết số lượng rượu cĩ trong thùng. Kepler đâm ra nghi ngờ. Thùng khơng cĩ dạng hình trụ đều, vậy làm thế nào để tính tốn được chính xác thể tích thùng nếu chỉ căn cứ vào khoảng cách giữa hai điểm ở thành thùng? Hơn nữa, theo Kepler biết, ở vùng Rhin chẳng hạn, cách tính lượng rượu đựng trong các thùng như vậy rất phức tạp.
Nỗi hồi nghi đã thúc đẩy nhà tốn học kiêm ơng chủ rượu tìm tịi- như sau này ơng viết - "các quy tắc hình học của một cách đo lường cần thiết và tiện lợi trong làm ăn, cũng như làm sáng tỏ cơ sở của nĩ, nếu quả thực những cơ sở ấy tồn tại". Ơng đã tìm ra những "cơ sở" của phép tính và chúng đã giúp ơng rạng danh. Bài tốn riêng lẻ ban đầu đã phát triển dưới dạng tổng quát: tính thể tích khơng gian bị giới hạn bởi những mặt cong. Thế nhưng, Kepler vẫn khơng quên nhắc đến khởi điểm của phương pháp tính tốn mới mà ơng tìm ra - phép tích phân - cho nên ơng lấy đề tựa cho cuốn sách của mình là "Hình học khơng gian của những thùng rượu".
Ở đây cần nhấn mạnh rằng bài tốn ban đầu rất hạn hẹp và chỉ là một tính tốn làm ăn, dường như xa vời với khoa học. Cĩ lẽ, chỉ cĩ những thiên tài như Kepler mới nhìn thấy triển vọng khuất sau bài tốn nhỏ nhặt đĩ, phát triển nĩ thành một lý thuyết.
Chúng tơi lựa chọn các ví dụ trong tốn học chẳng qua vì muốn bạn đọc cĩ được cái nhìn rõ ràng hơn đối với "nghịch lý của các nhà phát minh". Nhưng tốn học khơng phải là lĩnh vực duy nhất. Năm 1854, nhiều nhà làm rượu ở khu vực quanh thành phố Lille, Pháp, cầu cứu L. Pasteur vì một loại bệnh kỳ lạ đang phá hoại những thùng rượu,
gây tổn hại nặng nề cho nghề rượu vang nổi tiếng của Pháp. Họ cĩ lý: Vài năm trước, ơng được phong giáo sư hĩa học. Sau vài năm miệt mài nghiên cứu, Pasteur đã khám phá ra rằng bệnh của rượu vang chỉ là một trục trặc trong quá trình lên men - một hoạt động sống của các vi sinh vật. Khơng những chỉ đích danh thủ phạm, ơng cịn trị chúng bằng cách khử trùng mà người đời sau đã lấy tên ơng để chỉ phương pháp này - pasterilization. Ngay từ hồi đĩ, nhà bác học đã viết: "Các sinh vật đĩ vơ cùng bé nhỏ (vi khuẩn) nhưng lại là nguyên nhân của nhiều bệnh khác nhau. Là những kẻ dọn vệ sinh siêng năng, chúng tham gia vào việc phân hủy và biến tất cả những sinh vật đã chết trở về với cát bụi". Như thế, đi từ một nhiệm vụ cụ thể, Pasteur đã đi tới một vấn đề rộng lớn hơn và dưới ánh sáng của thuyết lên men, ơng đã hồn thành yêu cầu của những người làm rượu vang.
Lịch sử cho thấy, để giải một bài tốn cụ thể các nhà bác học thường tìm ra những lý thuyết rộng lớn hơn, bao trùm bài tốn ban đầu. Từ ý muốn tìm hiểu con vụ của trẻ em, nhà nữ tốn học người Nga Sofia Kovalyevskaya đã xây dựng lý thuyết về sự quay của một vật thể rắn. Trong khi loay hoay tìm kiếm phương cách truyền thơng tin theo nhiều kênh, K. Shannon đã sáng lập ra lý thuyết truyền tin hiện được ứng dụng khơng chỉ trong ngành thơng tin liên lạc mà cịn trong tâm lý học, ngơn ngữ học, sinh học …
Để kết thúc phần này, chúng tơi xin dẫn lời của V.I. Lênin: "Ai bắt tay vào những vấn đề cụ thể mà khơng tính đến việc giải quyết những vấn đề chung tất yếu sẽ vấp phải những vấn đề chung đĩ trên mỗi bước đi của mình".