nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho HS
Khi giảng dạy nên hệ thống kiến thức cho HS những bài toán từ đơn giản đến phức tạp, đi từ dễ đến khó. Từ những bài toán thực tế mà có thể áp dụng ngay công thức đã học, đến những bài phải phân tích, tìm tòi, mở rộng kiến thức mới có thể giải quyết được vấn đề.
a) Những bài toán hình được giới thiệu trong hình học phẳng
Đối tượng HS trung bình
Ví dụ 1. Một cái cây cao 6m có bóng dài 3,2m . Tính góc hợp bởi tia
nắng vàthân cây. (hình 4)
Hướng dẫn:
Phân tích bài: Cây cao 6m , bóng dài 3,2m . Tính góc tạo bởi tia nắng và thân cây chỉ cần đưa bài toán về việc giải tam giác vuông và áp dụng trực tiếp tỉ số lượng giác của góc nhọn.
Hình 5
Kí hiệu các đỉnh như hình 5.
HS nhớ các công thức tính tỉ số lượng giác của góc nhọn:
AB 6 15 o
tanα = = = α 61 55'
BC 3, 2 8 ⇒ ≈
Ví dụ 2. Bài toán cột cờ [4].
Bài 26/SGK 88: Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc sấp xỉ 34°
và bóng trên mặt đất dài 86m . Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét).
Hướng dẫn: Để giải quyết bài toán thực tế này HS chỉ cần vẽ được
hình, đưa bài toán về tam giác vuông và áp dụng trực tiếp hệ thức lượng giác liên quan đến cạnh và góc của tam giác vuông là tìm được chiều cao cao tháp.
HS: vẽ hình
Hình 6
Áp dụng nội dung định lý trong bài: Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông này bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề.
Kí hiệu các đỉnh như hình 6. Theo hệ thức liên quan đến cạnh và góc của tam giác vuông, ta có
° °
AB = AC.tan34 = 86.tan34 ≈58(m)
Chiều cao của tháp là 58m
Hệ thống bài tập hình học thực tế trong SGK và SBT [2], [3], [14], [15].
Bài 42/SGK 96 - Bài toán cái thang. Một cái thang dài 3m người ta ghi: Để bảo đảm an toàn khi dùng thang, phải đặt thang này với mặt đất một góc có độ lớn từ 60° đến 70°. Đo góc thì khó hơn đo độ dài. Vậy hãy cho biết:
Khi dùng thang đó chân thang phải cách tường bao nhiêu mét để đảm bảo an toàn.
Bài 56/SBT 114 - Bài toán hải đăng. Từ đỉnh của một ngọn đèn cao 38m so với mặt nước biển, người ta nhìn thấy một hòn đảo dưới góc 30°so với đường nằm ngang chân đèn (hình 7). Hỏi khoảng cách từ đảo đến chân đèn ở mực nước biển bằng bao nhiêu?
Hình 7
Bài 75/SBT 118 - Bài toán quan sát. Đài quan sát ở Toronto, Ontario,
Canada cao 533m . Ở một thời điểm nào đó vào ban ngày, Mặt trời chiếu sáng thành bóng dài 1100m . Hỏi lúc đó góc tạo bởi tia sáng mặt trời và mặt đất là bao nhiêu?
Bài 74/SGK 118 - Bài toán con mèo. Một con mèo trèo ở cành cây
cao 6,5m . Để bắt con mèo xuống cần phải đặt thang sao cho đầu thang đạt độ cao đó, khi đó góc của thang với mặt đất là bao nhiêu, biết chiếc thang dài
6,7m ?
Bài 28/SGK 89. Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m .
Bài 29/SGK 89. Một khúc sông rộng khoảng 250m. Một chiếc đò
chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc bằng bao nhiêu độ.
Bài 15/SBT 104. Giữa hai toà nhà (kho và phân xưởng) của một nhà máy người ta xây dựng một bằng chuyền AB để chuyển vật liệu. Khoảng cách giữa hai tòa nhà là 10m, còn hai vòng quay của băng dây truyền đặt ở độ cao 8m và 4m so với mặt đất (hình 8). Tính độ dài băng truyền AB.
Hình 8
Bài 58/SBT 114. Để nhìn thấy đỉnh A của một vách đá dựng đứng, người ta dựng tại điểm P cách chân vách đá khoảng 45m và nhìn lên một góc
0
25 so với đường nằm ngang (hình 9). Tính độ cao của vách đá.
Hình 9
Ngoài ra còn một số bài tập tương tự sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính chiều dài; chiều cao hoặc tính góc (Bài 66; 67; 68/SBT 115-116)
Bài tự luyện
Bài 1. Một cái cây có bóng trên mặt đất dài 20m. Cho biết tia nắng qua
ngọn cây nghiêng một góc 31°so với mặt đất. Tính chiều cao của cây.
Bài 2. Đền Taj Mahal nổi tiếng ở Ấn Độ được xây dựng bởi Hoàng đế
Shah Jahan cho người vợ của mình là Mumtaz Malal, khi bà qua đời. Công việc xây dựng từ đầu năm 1631 và hoàn thành năm 1653, Taj Malal nói chung được coi là hình mẫu tuyệt vời nhất của Kiến trúc Môgôn, một phong cách tổng hợp các yếu tố của các phong cách Kiến Trúc Ba Tư, Thổ Nhĩ Kỳ, Ấn Độ và Hồi giáo. Nó được xếp vào danh sách các Địa điểm Di sản Thế giới của UNESCO năm 1983. Bằng hình vẽ dưới đây em hãy tính chiều cao chính diện của ngôi đền. Biết góc nhọn bằng 49°.
Đối tượng HS Khá - Giỏi
Bài toán thông thường sử dụng qua hai đến ba bước trung gian mới ra được kết quả hoặc bài toán đưa ra có nhiều hướng giải quyết.
Ví dụ 3. Một người đứng cách nơi thả khinh khí cầu 800m nhìn thấy nó
với một góc nghiêng 38°
. Tính độ cao của khinh khí cầu cho biết khoảng cách từ mặt đất lên mắt người đó là 1,5m.
Hướng dẫn.
Phân tích đề: Tính chiều cao của khinh khí cầu là khoảng cách của khinh khí cầu xuống mặt đất.
Hình 10
Độ cao của khinh khí cầu là: h = AD = AB + BD Xét tam giác ABC vuông tại B:
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. AB = BC.tan38 = 800.tan38 = 625(m)° °
Độ cao của khinh khí cầu: h = 560,17 +1,5 = 626,5(m)
Ví dụ 4. Bài toán vệ tinh [14]
Bài 12/SBT 104. Hai vệ tinh đang bay ở vị trí A và B cùng cách mặt
đất 230km có nhìn thấy nhau hay không nếu khoảng cách giữa chúng theo đường thẳng là 2200km ? Biết rằng bán kính R của Trái Đất gần bằng
6370km và hai vệ tinh nhìn thấy nhau nếu OH > R (hình 11)
Hình 11
Hướng dẫn: Đề bài toán nếu không phân tích kĩ sẽ dẫn đến không giải
tròn đến B là khoảng cách từ vệ tinh đến mặt đất. Khoảng cách giữa hai vệ tinh là AB = 2200(km)
Sau khi đã nắm được các yếu tố của bài toán thì việc giải trở nên đơn giản.
Vì A, B cùng cách mặt đất 230km nên tam giác OAB cân tại O.
Mặt khác khoảng cách AB bằng 2200km nên HB=1100km (OH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của ∆OAB )
Lại có bán kính trái đất gần bằng 6370km,
Khi đó: OB = R+230 = 6370+230 = 6670.
Áp dụng định Lý Pi- ta-go cho tam giác vuông OBH vuông tại H
2 2 2 2
OH = OB - HB = 6670 -1100 = 6579(km) > R Hai vệ tinh sẽ nhìn thấy nhau.
Hệ thống bài tập hình học thực tế trong SGK và SBT [2], [3], [14], [15].
Bài 40/SGK 95. Tính chiều cao của cây (làm tròn đến đề-xi-mét)
(hình 12)
Hình 12
Bài 79/SBT 119. (Bài toán tàu ngầm) Tàu ngầm đang ở trên mặt biển
bỗng đột ngột lặn xuống theo phương tạo với mặt nước biển một góc 21°
(hình 13).
a) Nếu tàu chuyển động theo phương lặn xuống được 300m thì nó ở độ sâu bao nhiêu? Khi đó khoảng cách phương nằm ngang so với nơi xuất phát bằng bao nhiêu?
b) Tàu phải chạy bao nhiêu mét để đạt độ sâu 1000m?
Hình 13
Bài 32/SGK 89. Một con thuyền với vận tốc 2km/h vượt qua khúc sông nước chảy mạnh mất 5 phút. Biết rằng đường đi của con thuyền tạo với bờ một góc 70°. Từ đó có thể tính chiều rộng của khúc sông chưa? Nếu có thể hãy tính kết quả và làm tròn.
Bài 38/SGK 95. Hai chiếc thuyền A và B được minh họa như trong
hình 14. Tính khoảng cách giữa chúng.
Hình 14
Bài 39/SGK 95. Tìm khoảng cách giữa hai cọc để căng dây vợt qua khu vực trong hình 15
Bài 78/SBT 118. (Bài toán chiếu xạ chữa bệnh) Một khối u của một
bệnh nhân cách mặt da 5,7cm được chiếu bởi một chùm tia gamma. Để tránh tổn thương mô, bác sĩ đặt nguồn tia cách khối u (trên mặt da) 8,3cm (hình 16).
a) Hỏi góc tạo bởi chùm tia tới với mặt da?
b) Chùm tia phải đi một đoạn dài bao nhiêu để đến được khối u.
Hình 16
Bài 88/SBT 121. (Bài toán máy bay hạ cánh) Điểm hạ cánh của một
máy bay trực thăng ở giữa hai người quan sát A và B. Biết khoảng cách giữa hai người là 300m, góc nâng để nhìn thấy máy bay tại vị trí A là 40 và vị trí °
B là 30°(hình 17)
Hình 17
Bài 68/SGK 95. Máy kéo nông nghiệp có hai bánh sau to hơn hai bánh
trước. Khi bơm căng bánh xe sau có đường kính là 1,672m và bánh xe trước có đường kính là 88cm. Hỏi bánh sau lăn được 10 vòng thì bánh trước lăn được mấy vòng.
Bài tự luyện:
Bài 1. Một máy bay đang bay ở độ cao 10km. Khi máy bay hạ cánh xuống mặt đất, đường bay của máy bay hạ cánh xuống mặt đất, đường đi của máy bay tạo một góc nghiêng so với mặt đất.
a) Nếu phi công muốn tạo góc nghiêng 3° thì cách sân bay bao nhiêu kilômét phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh
b) Nếu cách sân bay 300km máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng bằng bao nhiêu?
Bài 2. Một bức tượng mỹ thuật có chiều cao 4m. Một người đang đứng
cách chân tượng 5m và mắt người ấy cách mặt đất 1,5m. Hỏi người đó nhìn toàn bộ bức tượng dưới góc bao nhiêu? ("góc nhìn", làm tròn đến độ ).
b) Những bài toán hình được giới thiệu trong hình học trực quan
Đối tượng HS trung bình:
Bài toán được đưa ra đơn giản, học sinh cần nắm được các kiến thức cơ bản, công thức tính. Bài toán thực tế chỉ gồm 1 loại hình được đề cập đến.
Ví dụ 5. Công ty sữa Ông Thọ chuyên sản xuất các hộp sữa hình trụ có
thể tích 508, 68cm3, trong đó chiều cao hộp là 8cm. Tính bán kính đáy của hộp sữa đó. (Lấy π ≈3,14)
Hướng dẫn
HS nhớ được công thức tính thể tích hình trụ: V = πR h2
Hình 18
Gọi r là bán kính hộp sữa Ông Thọ mà công ty đó sản xuất ( điều kiện r > 0) Ta có V = πr h2 r = V = 508, 68 = 4, 5(tm)
π.h 3,14.8
⇒
Vậy chiều cao của hộp sữa là: 4, 5(cm)
Ví dụ 6.
Bài 29/SGK 120. Cối xay gió của Đôn-ki-hô-tê (Từ tác phẩm của Xéc-
van-téc (Cervantèss)). Phần trên của cối xay gió có dạng một hình nón (hình 19). Chiều cao của nón là 42cm, thể tích của nón là 17600cm3. Em hãy giúp Đôn-ki-hô-tê tính bán kính đáy của hình nón (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)
Hướng dẫn: HS quy bài toán về dạng toán học thuần túy
Hình 19 Nhớ lại công thức tính thể tích hình nón 2 1 3V 3.17600 V = πr h r = = 20(cm) 3 ⇒ π.h π.42 ≈ Bán kính đáy của nón là 20cm.
Hệ thống bài tập hình học thực tế trong SGK và SBT [2], [3], [14], [15].
Bài 11/SGK 112. Người ta nhấn chìm hoàn toàn một lượng đá nhỏ vào
1 lọ thủy tinh có nước hình trụ. Diện tích đáy lọ thủy tinh là 12,8cm2. Nước
trong lọ dâng lên 8,5mm. Hỏi thể tích của tượng đá là bao nhiêu.
Bài 13/SGK 113. Một tấm kim loại được khoan thủng lỗ (lỗ khoan dạng hình trụ), tấm kim loại dày 2 cm, đáy của nó là hình vuông cạnh là 5cm. Đường kính của mũi khoan làm 8mm. Hỏi thể tích phần còn lại của tấm kim loại là bao nhiêu.
Bài 14/SGK 113. Đường ống nối hai bể cá trong một thủy cung ở miền nam nước Pháp có dạng một hình trụ, độ dài của đường ống là 30m. Dung tích của đường ống nói trên là 1800000 lít. Tính diện tích đáy của đường ống.
Bài 28/SGK 120. Một cái xô bằng inox có dạng hình nón cụt đựng hóa chất, có kích thước cho ở hình 101 (đơn vị cm)
a) Tính diện tích xung quanh của xô
b) Khi xô chứa đầy hóa chất thì dung tích của nó bằng bao nhiêu.
Bài 4/SBT 163: Đường đi của con kiến
Thành bên trong của một lọ thủy tinh dạng hình trụ có một giọt mật cách miệng lọ 3cm. Bên ngoài thành lọ có một con kiến đậu ở điểm đối diện
với giọt mật qua tâm đường tròn (song song với đường tròn đáy - xem hình 20). Hãy chỉ ra đường đi ngắn nhất của con kiến đến đúng giọt mật, biết rằng chiều cao của cái lọ là 20cm và đường kính đường tròn đáy là 10cm (lấy
π 3,14≈ )
Hình 20
Bài 34/SGK 125. Khinh khí cầu của nhà Mông-gôn-fi-ê (Montgolfier) Ngày 4-6-1783, anh em nhà Mông-gôn-fi-ê (Người Pháp) phát minh ra khinh khí cầu dùng không khí nóng. Coi khinh khí cầu này là hình cầu có đường kính là 11m. Hãy tính diện tích mặt khinh khí cầu đó (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Bài tự luyện:
Bài 1. Một bể cá cảnh có dạng là một phần của mặt cầu có đường kính là 20cm (hình 21) cần có bao nhiêu lít nước để thay biết lượng nước đổ vào
bằng 2
3 thể tích của hình cầu
Hình 21
Bài 2. Vào dịp sinh nhật của mẹ, Khải muốn làm cho mẹ một chiếc mũ sinh nhật có dạng hình nón được làm từ bìa cứng có đường kính đáy là 40cm,
độ dài đường cao là 25cm. Tính diện tích phần bìa cứng để làm mũ nói trên
(bỏ qua mép gấp và π 3,14≈ )
Đối tượng HS khá giỏi:
Hệ thống những bài toán thực tế có dữ kiện phức tạp. Phần hình được
cấu tạo từ 2 hình trở lên, hoặc bài toán nhiều dữ kiện đòi hỏi phải phân tích kĩ đề bài tìm hướng GQVĐ.
Ví dụ 7. (Phát triển bài toán ở ví dụ 6)
Công ty sữa Ông Thọ chuyên sản xuất các hộp sữa hình trụ có thể tích
508, 68cm3, trong đó chiều cao hộp là 8cm. Hỏi nếu công ty cần xuất xưởng
lô hàng 3500 hộp sữa thì cần tốn bao nhiêu tiền để thiết kế bao bì xung quanh
vỏ hộp sữa? Biết rằng chi phí thiết kế bao bì là 25 đồng/ cm2
. Lấy π ≈ 3,14.
Hướng dẫn:
Với tư duy như ở ví dụ 5, ở ví dụ 7 HS cần phải đi tính: diện tích xung quanh của 1 hộp sữa → chi phí thiết kế bao bì cho 1 hộp sữa → chi phí thiết kế bao bì cho 3500 hộp sữa.
Diện tích xung quanh của một hộp sữa là:
S = 2πrh = 2.3,14.4, 5.8 = 226, 08 (cm )2
xq
Chi phí thiết kế bao bì cho một hộp sữa là: 226, 08.25 = 5652 (đồng) Chi phí thiết kế bao bì cho 3500 hộp sữa là: 5652.3500 = 19 782 000 (đồng)
Ví dụ 8.
Bài 38/173 SBT. Một khối gỗ dạng hình trụ đứng, bán kính đường tròn
đáy là r(cm) (cm), chiều cao 2r(cm), người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu
(hình 109). Diện tích toàn bộ khối gỗ là:
Hướng dẫn:
Xác định được diện tích toàn bộ khối gỗ bằng diện tích xung quanh của trụ có chiều cao là 2r (cm), bán kính đường tròn đáy là r (cm) và diện tích mặt cầu có bán kính r (cm).
Nhớ công thức tính diện tích xung trụ: Sxq = 2πrh; S = 4πrc 2
Diện tích khối gỗ là: 2 2 2
S = 2π.r.2r + 4πr = 8πr (cm ) Chọn C
Hệ thống bài tập hình học thực tế trong SGK và SBT [2], [3], [14], [15].
Bài 33/SBT 171. Một quả bóng hình cầu bên trong một hình lập phương.
a) Tính tỉ số diện tích toàn phần của hình lập phương với diện tích mặt cầu.
b) Nếu diện tích mặt cầu là 7 (π cm2) thì diện tích toàn phần của hình lập phương là bao nhiêu?
c) Nếu bán kính hình cầu là 4cm thì thể tích phần trống (trong hình