e. Phân tích một chứng minh
2.2.2.2. Tổ chức hoạt động thực hiện biện pháp a Chứng minh trực tiếp
a. Chứng minh trực tiếp
Đây là phương pháp chứng minh thường dùng nhất trong chứng minh toán học. Để thực hiện theo hướng chứng minh trực tiếp, đầu tiên giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích bài toán (phân tích đi lên hoặc đi xuống) để từ điều cần chứng minh tìm ra yếu tố xuất phát của quá trình chứng minh. Sau đó trình bày lại bài toán theo hướng tổng hợp, tức là từ yếu tố xuất phát ban đầu dựa vào quy tắc suy luận logic tìm ra được điều cần chứng minh.
Chứng minh trực tiếp là đưa ra luận cứ, dùng quy tắc suy luận để rút ra luận đề. Cơ sở của chứng minh trực tiếp là các quy tắc suy luận kết luận và suy luận bắc cầu.
Giả sử ta phải chứng minh mệnh đề A=>B là đúng, A là giả thiết, là mệnh đề đã cho là đúng, ta phải chứng minh B đúng, ta lập luận các mệnh đề mới gọi là các mệnh đề trung gian và chứng minh các mệnh đề sau đây đúng: . Tức là ta vận dụng liên tiếp các quy tắc kết luận sau:
Theo quy tắc bắc cầu, ta có:
Ví dụ : Định lý hàm cos: Cho tam giác ABC, với , ta có:
Giải:
Để hướng dẫn học sinh chứng minh bài toán theo phương pháp chứng minh trực tiếp giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh phân tích bài toán để tìm ra yếu tố xuất phát của quá trình chứng minh.
Với Y: “ Cho tam giác ABC, với ”. X: “ ”
Giáo viên hướng dẫn học sinh lập luận theo quy tắc sau:
Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh phân tích như sau: X
.
Y Theo quy tắc bắc cầu, ta có: Vậy X đã được chứng minh.
Từ đó giáo viên yêu cầu học sinh chứng minh bài toán theo hướng tổng hợp sau.
Ta có: ( quy tắc ba điểm) => (bình phương hai vế). => (tính chất tích vô hướng).
=> .
Tương tự chứng minh các đẳng thức còn lại.
Ví dụ 4: ( công thức đường trung tuyến ).
Cho tam giác ABC. Gọi là độ dài các đường trung tuyến lần lượt ứng với cạnh . Chứng minh các công thức sau đây, gọi là các công thức trung tuyến.
, .Giải: Giải:
Ta chứng minh mệnh đề Y => X . Y: “ Cho tam giác ABC, ”.
X: “”.
Giáo viên hướng dẫn học sinh lập luận theo quy tắc sau:
Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích như sau: X
Y
Từ đó giáo viên yêu cầu học sinh chứng minh bài toán theo hướng tổng hợp sau:
Ta có: =>
=> .
Gọi M là trung điểm của BC. Ta có: ( quy tắc trung điểm)
=> => => =>
=> ( điều phải chứng minh)