Ta biết chứng minh trực tiếp là phương pháp chứng minh thường hay sử dụng. Tuy nhiên đôi khi một số bài toán việc sử dụng phương pháp
chứng minh trực tiếp gặp khó khăn do ta không thể suy ra được tính chân thực của mệnh đề để cần chứng minh X. Trong trường hợp này giáo viên có thể hướng dẫn học sinh chứng minh phản chứng, tìm cách bác bỏ tính chân thực của mệnh đề phủ định của X để suy ra tính chân thực của mệnh đề X.
Giả sử ta phải chứng minh mệnh đề A=>B là đúng, A là giả thiết, là mệnh đề đã cho là đúng, ta phải chứng minh B đúng
Giả thiết phản chứng là , ta suy ra , điều này mâu thuẩn với giả thiết A hoặc mâu thuẩn với mệnh đề đúng đã biết. Vậy B đúng.
Ví dụ 1: Một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất một góc nhỏ hơn .
Giải:
Ta cần chứng minh mệnh đề A=>B là đúng. A: “ Tam giác ABC không phải là tam giác đều”. B: “ Tam giác ABC có ít nhất một góc nhỏ hơn ”.
Giáo viên hướng dẫn cho học sinh chứng minh bằng cách phản chứng như sau:Phủ định lại mệnh đề kết luận B.
: “Giả sử tất cả các góc của tam giác ABC đều lớn hơn bằng ”. Trường hợp 1:
. Suy ra tam giác ABC đều ( trái với giả thuyết).
Trường hợp 2: . Suy ra . (Vô lý tổng ba góc trong một tam giác bằng . Trường hợp 3: có một góc bằng , hai góc còn lại lớn hơn . Suy ra tổng ba góc lớn hơn , vô lý.
Trường hợp 4: Có hai góc bằng , một góc lớn hơn . Suy ra tổng ba góc lớn hơn , vô lý.
Trong các trường hợp trên mâu thuẩn với mệnh đề đúng đã biết. Mệnh đề đúng đã biết là: “ Tổng ba góc trong một tam giác bằng ”. Vậy bài toán đã chứng minh xong.
Ví dụ 2: ( Định lý trang 22 sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 10). Cho hai vectơ không cùng phương và . Khi đó mọi vectơ đều có thể biểu thị được một cách duy nhất qua hai vectơ và , nghĩa là có duy nhất cặp số m và n sao cho .
Chứng minh:
Ta cần chứng minh mệnh đề A => B đúng. A: “ và là hai vectơ không cùng phương”. B: “ ”.
Từ một điểm O nào đó, ta vẽ các vectơ .
Nếu điểm X nằm trên đường thẳng OA thì ta có số m sao cho . Vậy ta có ( lúc này là n=0).
Nếu điểm X nằm trên đường thẳng OB thì ta có ( lúc này m=0).
Nếu điểm X không nằm trên OA và OB thì ta có thể lấy điểm A’ trên OA và điểm B’ trên OB sao cho OA’XB’ là hình bình hành. Khi đó ta có , và do đó có các số m, n sao cho , hay .
Bây giờ ta chứng minh m, n duy nhất bằng cách chứng minh phản chứng. : “m, n không duy nhất, ta có ”.
Giả sử m, n không duy nhất thì có hai số m’, n’ sao cho
=> .
Nếu thì , suy ra và là hai vectơ cùng phương, trái với giả thiết, vậy m=m’.
Nếu thì , suy ra và là hai vectơ cùng phương, trái với giả thiết, vậy n=n’.
Trong hai trường hợp trên ta suy ra mâu thuẩn với giả thiết A. Vậy m, n là duy nhất.
Định lý đã được chứng minh.