c. Rèn luyện các quy tắc kết luận logic
2.2.4.2. Tổ chức hoạt động thực hiện biện pháp
a) Chuyển đổi ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ vectơ.
Trong dạy học phần véctơ, để chứng minh một số tính chất, định lý, bài toán bằng phương pháp sử dụng ngôn ngữ véctơ thì giáo viên cần giúp học sinh chuyển đổi ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ véctơ và ngược lại.
Chẳng hạn, có thể hướng dẫn HS một số chuyển đổi như sau: T NGÔN NGỮ HÌNH HỌC TỔNG NGÔN NGỮ VÉC TƠ
T HỢP
1 Điểm A trùng với điểm B hoặc , với O tùy ý. 2 Điểm M là trung điểm của
đoạn thẳng AB.
+ hoặc
hoặc, với O tuỳ ý hoặc, với O tùy ý.
3
Hai điểm M và M1 đối xứng nhau qua trung điểm I của đoạn thẳng AB.
+ .
4
AM là trung tuyến của tam giác ABC.
+.
5
Đường thẳng AB song song với đường thẳng CD hoặc cùng thuộc một đường thẳng. + với hoặc . 6 Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD. + . 7
Ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng.
+ hoặc
với , điểm O bất kỳ. 8
Điểm G là trọng tâm tam giác ABC.
+ hoặc , với O tùy ý 9 Tam giác ABC là tam giác
nhọn. 10
Tam giác ABC là tam giác tù.
giác ABC.
12
Điểm H là trực tâm tam giác ABC.
+
hoặc với O là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 13 Tam giác ABC và tam giác
A'B'C' có cùng trọng tâm. hoặc . 14 Bốn điểm A, B, C, D nằm trên đường tròn. với AB cắt CD. 15 Tứ giác ABCD là hình bình hành. và A, B, C không thẳng hàng hoặchoặc , với O tùy ý.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có trực tâm là H, trong tâm G, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh ba điểm O, G, H thẳng hàng.
Giải:
Dịch giả thiết bài toán sang ngôn ngữ vectơ .
Ngôn ngữ hình học Ngôn ngữ vectơ
H là trực tâm của tam giác ABC và O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
G là trọng tâm của tam giác ABC
( M là tùy ý)
Ta có thể chọn M trùng O. Việc lựa chọn này là dựa vào phân tích kết luận bài toán.
Dịch kết luận bài toán sang ngôn ngữ vectơ
Ngôn ngữ hình học Ngôn ngữ vectơ
Ba điểm O, G, H thẳng hàng Có số m: Lời giải:
Vì H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ta có:
(1).
G là trọng tâm tam giác ABC nên (2)
Từ (1) (2) suy ra .
Vậy ba điểm O, G, H thẳng hàng ( chuyển sang ngôn ngữ hình học)
Ví dụ 2: Cho tam giác ABO. Các điểm C, D, E lần lượt nằm trên đường thẳng AB, BO, OA sao cho . Chứng minh ba điểm C, D, E thẳng hàng.
(hình vẽ)
Ngôn ngữ hình học Ngôn ngữ vectơ Các điểm C, D, E lần lượt nằm trên
đường thẳng AB, BO, OA sao cho .
Dịch kết luận bài toán sang ngôn ngữ vec tơ.
Ngôn ngữ hình học Ngôn ngữ vectơ
Ba điểm C, D, E thẳng hàng Có số m:
Giải:
GV: Yêu cầu học sinh chọn vectơ cơ sở HS: Chọn cặp vectơ làm vectơ cơ sở.
GV: Yêu cầu học sinh phân tích làm cặp vec tơ cơ sở. HS: Ta có: Nên => . (1) (2).
GV: yêu cầu học sinh từ (1) (2) suy ra được gì? HS: suy ra . Vậy ba điểm C, D, E thẳng hàng.
Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh DC chọn điểm E sao cho và trên cạnh DB chọn điểm F sao cho . Chứng minh ba điểm A, F, E thẳng hàng.
Ngôn ngữ hình học Ngôn ngữ vectơ ABCD là hình bình hành
E thuộc cạnh DC: F thuộc cạnh DB:
Chuyển kết luận bài toán sang ngôn ngữ vectơ.
Ngôn ngữ hình học Ngôn ngữ vectơ
A, E, F thẳng hàng Có số k sao cho
Giải:
GV: Yêu cầu học sinh chọn vectơ cơ sở. HS: Chọn hai vectơ làm vectơ cơ sở.
GV: Yêu cầu học sinh phân tích theo hai vectơ cơ sở. HS: Ta có Từ => => (1). Từ => => => => (2).
HS: Từ (1) và (2) suy ra hay ba điểm A, E, F thẳng hàng.
Ví dụ 4: (Định lý Menelauyt). Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt chia các đoạn thẳng AB, BC, CA theo các tỉ số lần lượt là m, n, p ( đều khác 1). Chứng minh rằng: M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi m.n.p = 1. Giải:
Cách 1: (Dùng phương pháp vectơ)
Giáo viên: Hướng dẫn học sinh chọn vectơ cơ sở
Học sinh: Chọn 2 vectơ làm vectơ cơ sở. Mọi vectơ trong bài toán đều phân tích theo hai vectơ cơ sở này.
Giáo viên: Các điểm M, N, P lần lượt chia AB, BC, CA theo các tỉ số lần lượt là m, n, p ( khác 1) tương đương với các đẳng thức vectơ nào?
Học sinh:
Giáo viên: Để chứng minh M, N, P thẳng hàng ta cần chứng minh điều gì?
Học sinh: Chỉ ra số thực k khác 0 sao cho hay Với điểm O bất kì và tỉ số thực t ta có: .
Và ta có: (1)
Từ hai đẳng thức cuối của (1) ta có:
Thay vào đẳng thức đầu của (1) nên ta có:
Điều kiện để ba điểm M, N, P thẳng hàng là:
. Cách 2: Dùng hình học tổng hợp.
Chứng minh: .
Trường hợp 1: Giả sử trong ba điểm M, N, P có đúng hai điểm thuộc cạnh của tam giác, giả sử N và P.
Phần thuận: M, N, P thẳng hàng ta chứng minh : . (2) Kẽ , ta có (3)
(4)
Từ (3) và (4) nhân vế theo vế ta được suy ra
Phần đảo: Giả sử M, P nằm trên hai cạnh của AB và AC, N nằm trên phần kéo dài của BC. Gọi N’ là giao điểm của MP và BC suy ra N’ nằm trên phần kéo dài của BC.
N’, M, P thẳng hàng nên ta có (1) suy ra (5) Từ (2) và (5) ta suy ra N trùng N’
Nên M, N, P thẳng hàng.
Trường hợp 2: M, N, P đều nằm trên phần kéo dài của ba cạnh tam giác ABC chứng minh tương tự.
b) Chuyển đổi ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ tọa độ.
Việc chứng minh bài toán hình học khó áp dụng cho tính chất hình học thuần túy, hoặc tính toán quá phức tạp thông thường ta chuyển đổi ngôn ngữ bài toán hình học tổng hợp sang bài toán tọa độ để giải quyết.
Ví dụ 1:Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi. Gọi H, K lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC. Tìm quỹ tích điểm A, biết rằng trung điểm K của HG thuộc đường thẳng BC.
Giải: Với bài toán trên việc giải quyết trực tiếp bằng cách hình học phẳng quá khó khăn và phức tạp nên giáo viên hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán trên bằng phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục Oxy với O là trung điểm BC và trục Ox là đường thẳng BC.
Đặt
Khi đó . Gọi .
là trực tâm của tam giác ABC nên ta có: => =>
Ta có G là trọng tâm của tam giác ABC nên . K là trung điểm HG nên .
K thuộc đường thẳng BC nên là hai vectơ cùng phương. .
Suy ra:
=> .
Vậy quỹ tích điểm A là hypebol bỏ hai điểm B, C.
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng cho đường tròn (O;R) và một điểm A cố định. I là điểm di động trên (O). Đường tròn tâm I luôn đi qua A. Chứng minh trục đẳng phương của hai đường tròn (O) và (I) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Chọn hệ trục tọa độ (Oxy) như hình vẽ. Trục Oy là đường thẳng OA Gọi
Phương trình đường tròn tâm O bán kính R có dạng: .
Gọi => và
Đường tròn tâm (I): Hay .
Suy ra trục đẳng phương của hai đường tròn (O) và (I) là (d):
Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d) là: .
Vậy trục đẳng phương của hai đường tròn (O) và (I) luôn tiếp xúc với đường tròn cố định tâm A bán kính .