b. Phép chứng minh gián tiếp
1.2.2.3. Hướng dẫn cho HS những tri thức phương pháp trong chứng minh
minh
Trong quá trình dạy học chứng minh, cần hướng dẫn cho học sinh những tri thức phương pháp trong chứng minh toán học.
Đó trước hết là những tri thức về các quy tắc kết luận logic nhưng ở trường phổ thông chúng chỉ được truyền thụ theo con đường không tường minh: Tập luyện cho những học sinh những hoạt động ăn khớp với những quy tắc đó.
Thứ hai, cần giúp cho học sinh hình thành những tri thức về những phương pháp suy luận, chứng minh như suy ngược (suy ngược tiến, suy ngược lùi), suy xuôi, quy nạp toán học và chứng minh bằng phản chứng, theo con đường thông báo những phương pháp đó ở những cơ hội thích hợp trong quá trình hoạt động. Đặc biệt, cần cho học sinh nắm được các tri thức sau (đương nhiên không nhất thiết phải phát biểu dưới dạng hình thức như ở đây ngay từ đầu):
+ Phép suy xuôi có sơ đồ sau: A = A0 A1 … An = B
Trong sơ đồ trên cũng như hai sơ đồ dưới đây, A là một định nghĩa, tiên đề hay một mệnh đề đúng nào đó, còn B là mệnh đề cần chứng minh.
+ Phép suy ngược có hai trường hợp: Suy ngược tiến và suy ngược lùi với các sơ đồ sau:
B = B0 B1 … Bn = A (suy ngược tiến) B = B0 B1 … Bn = A (suy ngược lùi)
Cần chú ý rằng suy ngược tiến chỉ có tính chất tìm đoán chứ không phải là một phép chứng minh như suy xuôi và suy ngược lùi.
Ví dụ 1.8:(phép suy xuôi)
Cho tam giác ABC với ba đường trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng:
Giải:
Vì AD, BE, CF là các đường trung tuyến nên:
Do đó:
.
Ví dụ 1.9 (suy ngược lùi)
Cho hai đường tròn (C): và (C’): .
Chứng minh rằng hai đường tròn ngoài nhau.
Giải:
(C): có tâm . (C’): có tâm .
Ví dụ 1.10 ( chứng minh phản chứng)
Chứng minh rằng: Nếu độ dài các cạnh của tam giác ABC thỏa mãn bất đẳng thức thì c là độ dài cạnh nhỏ nhất của tam giác ABC.
Giải:
Giả sử c không phải là cạnh nhỏ nhất của tam giác. Không mất tính tổng quát, giả sử , khi đó .(1) Theo bất đẳng thức trong tam giác ta có: nên
Do nên => =>. (2) Từ (1) và (2) suy ra .
Điều này mâu thuẩn với giả thiết.
Vậy c là cạnh nhỏ nhất của tam giác ABC.
Thứ ba, cần làm cho học sinh thấy rõ ba bộ phận cấu thành và ba yêu cầu đảm bảo chứng minh.
Một chứng minh bao gồm 3 bộ phận: + Luận đề là mệnh đề cần chứng minh;
+ Luận cứ là những tiên đề, định nghĩa, định lý đã biết;
+ Luận chứng là những phép suy luận được sử dụng trong chứng minh.
Liên hệ với ba bộ phận cấu thành của chứng minh người ta nhấn mạnh ba yêu cầu sau đây để đảm bảo chứng minh là đúng:
+ Luận đề không được đánh tráo; + Luận cứ phải đúng;
+ Luận chứng phải hợp logic.
Trong việc dạy học chứng minh, người giáo viên cần có ý thức phát hiện và sửa chữa những sai lầm vi phạm 3 yêu cầu trên của học sinh.
Thứ tư, người giáo viên còn cần hình thành ở học sinh những tri thức phương pháp về chiến lược giải toán chứng minh (có tính chất tìm đoán) theo con đường tập luyện những hoạt động ăn khớp với những tri thức này.