Sau khi giải xong một bài toán, giáo viên nên hướng dẫn học sinh phân tích lại giả thuyết, kết luận của bài toán. Từ đó có thể tìm ra được những cách khác nhau để khái quát hóa bài toán và có được những bài toán khái quát hơn.
Thông qua việc học sinh vận dụng những kiến thức về vectơ để chứng minh một số tính chất trong hình học, tính chất của trung điểm đoạn thẳng, của trọng tâm tam giác…,giáo viên cần tận dụng những cơ hội để cho học sinh được rèn luyện về phân tích, tổng hợp, khái quát hóa…
Ví dụ 1: chẳng hạn giúp học sinh khái quát những sự kiện sau đây. Trung điểm O của đoạn thẳng AB:
Trọng tâm G của tam giác ABC: Tâm O của hình bình hành ABCD: .
Trung điểm O của đoạn thẳng nối các trung điểm của hai đường chéo hoặc của hai cạnh đối diện của tứ giác ABCD: .
Thật ra bài toán trên là những trường hợp cụ thể của tính chất chung về hệ trọng tâm của một hệ n điểm trong mặt phẳng.
Ví dụ 2: Ta có thể khái quát những sự kiện trên theo hướng sau: + Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB, với mọi điểm O ta có
+ Điểm G là trọng tâm tam giác ABC, với mọi điểm O bất kỳ ta có
+ Điểm G là trọng tâm tứ giác ABCD, với mọi điểm O bất kỳ ta có .
Từ các trường hợp riêng lẻ trên, ta tìm được công thức chung là bài toán tổng quát sau: Điểm G là trọng tâm của hệ n điểm A1, A2, ... , An với mọi điểm O ta có :.
Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB = a. Tìm tập hợp điểm M thỏa .(1)
Giáo viên hướng dẫn học sinh vận kiến thức quy tắc ba điểm, quy tắc trung điểm để giải.
Gọi I là trung điểm của AB. Lúc đó ta có . Dùng quy tắc trung điểm thế vào (1) ta có .
Suy ra M thuộc đường tròn tâm I bán kính a/2.
Bài toán khái quát 1:
Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp điểm M thỏa: , a>0.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có: .
Tập hợp điểm M thuộc đường tròn tâm G bán kính a/3.
Bài toán khái quát 2:
Cho đoạn thẳng AB. Tìm tập hợp điểm M thỏa: . Với m, n là hai số thực bất kỳ, . a là số thực dương không đổi.
Với bài toán khái quát 1 thì gọi I là trung điểm của AB, còn đối với bài toán này gọi I điểm thỏa: .
Dùng quy tắc ba điểm thế vào (1), ta có: .
Tập hợp điểm M thuộc đường tròn tâm I bán kính .
d.Tương tự hóa
Sau khi học xong một dạng toán, giáo viên hướng dẫn cho học sinh xây dựng những bài toán cùng dạng và giải các bài toán này với cách giải tương tự đã biết. Việc giải các bài toán cùng dạng sẽ giúp cho học sinh rèn luyện kỹ năng, kỹ sảo trong giải toán. Khi đó đứng trước một bài toán, học sinh sẽ xác định được bài toán thuộc dạng nào và sử dụng cách giải phù hợp để giải bài toán đã cho.
Ví dụ: Cho hình vuông ABCD.
a) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Chứng minh rằng .
b) Gọi P, Q tương ứng trên cạnh BC, CD sao cho Chứng minh rằng: . Dựa vào tính chất của tích vô hướng của hai vectơ
Phương pháp ta phân tích các vectơ theo các vectơ chứa các cạnh của hình vuông hay các cạnh của đường chéo hình vuông.
Lúc đó ta có ( quy tắc trung điểm và quy tắc hình bình hành).
Và . . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Tuy nhiên giáo viên có thể hướng dẫn học sinh phân tích lại bài toán dựa vào giả thuyết bài toán. Từ đó hướng dẫn học sinh giải các bài toán tương tự.
Nếu thay ABCD là hình chữ nhật hay hình thang vuông ta có các bài toán tương tự sau.
Bài toán tương tự 1:
Cho hình chữ nhật ABCD có:
a) . Gọi K là trung điểm của AD. Chứng minh rằng BK vuông góc AC. b) . Gọi K là trung điểm của AD, L trên tia DC sao cho Chứng minh BK vuông góc AL.
Giải:
a) Phân tích vectơ theo các vectơ chứa các cạnh hình chữ nhật. ( Quy tắc trung đểm và quy tắc hình bình hành).
.
b)
.
Bài toán tương tự 2:
Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AB = h, cạnh đáy AD = a, BC = b. Tìm điều kiện a, b, h để:
a) AC vuông góc BD. b) , I là trung điểm CD.
Bài toán tương tự 3
Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB = 2a, AD = a, BC = 4a. Gọi I là trung điểm của CD, J là điểm di động trên cạnh BC. Tính BJ sao cho AJ và BI vuông góc với nhau.
Bài toán tương tự 4:
Cho hình vuông ABCD, M là điểm trên cạnh AC sao cho . Gọi N là trung điểm của DC. Chứng minh tam giác BMN là tam giác vuông cân.
Ví dụ 2: Giả sử HS đã giải được bài toán: "Cho hai tam giác ABC và tam giác A1B1C1 thoả mãn điều kiện . CMR: Hai tam giác có cùng trọng tâm". Bằng cách phân tích như sau:
(với G là trọng tâm của tam giác ABC).
Bằng cách tương tự cho HS giải bài toán: "Cho hai tứ giác có cùng trọng tâm". Có thể đặt vấn đề gợi mở để phân tích véctơ tương tự như đối với trường hợp tam giác:
, .
Như vậy, khi sử dụng phép tương tự có thể chuyển từ cách giải bài toán đã biết đến một bài toán mới như đã trình bày ở trên là một ví dụ, ngoài ra sự tương tự có thể gặp nhiều khi nghiên cứu hình học véctơ. Khi đó những bài toán từ hình học phẳng có thể chia nhỏ từng bước về hình học véctơ để giải quyết.