CHƯƠNG 1 CƠ SỞ Lí LUẬN VÀ THỰC TIỄN
2.2. MỘT SỐ NHểM THÀNH TỐ CỦA NĂNG LỰC KIẾN TẠO
2.2.2. Nhúm năng lực kiểm nghiệ m giải quyết vấn đề
a) Năng lực chuyển đổi ngụn ngữ
Khụng phải mọi bài toỏn đặt ra đều cú thể giải được một cỏch trực tiếp
mà nhiều bài toỏn cần yờu cầu người giải cần phải cú năng lực chuyển đổi
ngụn ngữ mới cú thể giải được. Cú những bài toỏn tưởng chừng như rất khú
nhưng nếu người học biết phỏt biểu bài toỏn dưới một gúc độ khỏc, theo một
ngụn ngữ khỏc thỡ lại cú thể giải quyết nhanh chúng. Trong Toỏn học núi
chung và XS - TK núi riờng thỡ việc rốn luyện cho SV khả năng chuyển đổi
ngụn ngữ là hết sức cần thiết. Một đối tượng cú thể cú nhiều phương phỏp nghiờn cứu khỏc nhau do đú ngụn ngữ của chỳng cũng khỏc nhau, tuy nhiờn nếu năng lực chuyển đổi ngụn ngữ tốt thỡ người học cú thể nắm bắt được đối
tượng này một cỏch thuận lợi.
Vớ dụ 11: (Định nghĩa xỏc suất phỏt biểu dưới nhiều ngụn ngữ khỏc nhau)
TT Tờn định nghĩa Nội dung định nghĩa
1. Định nghĩa xỏc
suất cổ điển
Xỏc suất xuất hiện biến cố A trong một phộp thử là tỷ số giữa số kết cục thuận lợi cho A và tổng số cỏc kết cục duy nhất đồng khả năng cú thể xảy ra khi thực hiện phộp thử đú.
Nếu ký hiệu P(A) là xỏc suất của biến cố A, m là số kết cục thuận lợi cho biến cố A, n là số kết cục duy nhất đồng khả năng của phộp thử, ta cú: P A( ) m n 2. Định nghĩa xỏc suất theo tần suất (Định nghĩa thống kờ)
* Tần suất xuất hiện biến cố trong n phộp thử là tỷ số giữa số phộp thử trong đú biến cố xuất hiện và tổng số phộp thử được thực hiện.
Nếu ký hiệu số phộp thử là n, số lần xuất hiện biến cố A là k thỡ tần suất xuất hiện biến cố A là f A( ) k
n
số p khụng đổi mà tần suất f xuất hiện biến cố đú trong n phộp thử sẽ hội tụ theo xỏc suất về p khi số phộp thử tăng lờn vụ hạn, tức là lim ( ) ( )
n f A p P A
3. Định nghĩa xỏc
suất hỡnh học
Cho miền đo được trong mặt phẳng (đường thẳng, khụng gian ba chiều...), một miền con S đo được của . Ta lấy ngẫu nhiờn một điểm trong miền . Xỏc suất để điểm đú (biến cố A) rơi vào miền S được xỏc định bởi P(A) = độ đo của S/ độ đo của .
Khỏi niệm "độ đo" của miền được hiểu như sau: - Nếu miền là đường cong hay đường thẳng thỡ "độ đo" của là độ dài của nú.
- Nếu miền là hỡnh phẳng hay một phần mặt cong thỡ "độ đo" của là diện tớch của nú.
- Nếu miền là hỡnh khối hay khụng gian thỡ "độ đo" của là thể tớch của nú....
4. Định nghĩa xỏc
suất theo tiờn đề
Hàm P xỏc định trờn đại số F và lấy giỏ trị trong [0; )
R được gọi là độ đo xỏc suất nếu thoả món cỏc điều kiện sau đõy:
* AFP A( )0 * P() = 1. * Nếu A A1, 2,...AnF A; iAj (i j)thỡ 1 1 ( ) n n n n P A P A
P(A) được gọi là xỏc suất của biến cố A.
Trong quỏ trỡnh dạy về cỏc định nghĩa xỏc suất GV cần tập trung phõn
tớch ưu điểm và nhược điểm của từng loại định nghĩa. Chẳng hạn:
* Định nghĩa cổ điển về xỏc suất cú ưu điểm là để tớnh xỏc suất của biến cố ta
khụng cần phải tiến hành phộp thử (chỉ tiến hành giả định). Ngoài ra nếu đỏp
ứng được đầy đủ cỏc yờu cầu của định nghĩa thỡ nú cho phộp ta tỡm được một
cỏch chớnh xỏc giỏ trị của xỏc suất.
Hạn chế lớn nhất của định nghĩa cổ điển là trong thực tế nhiều khi
khụng thể biểu diễn kết quả của phộp thử dưới dạng tập hợp cỏc kết cục
duy nhất và đồng khả năng. Thụng thường thỡ tớnh đồng khả năng của cỏc
kết cục được suy ra từ tớnh đối xứng. Chẳng hạn khi tung đồng xu hay tung
xỳc xắc thỡ ta cú thể giả thiết nú đều đặn và đồng chất. Tuy nhiờn cỏc bài toỏn trong đú ta cú thể đưa ra cỏc giả thiết về tớnh đối xứng rất hiếm khi gặp
trong thực tế.
* Định nghĩa thống kờ về xỏc suất cú ưu điểm lớn là nú khụng đũi hỏi những điều kiện ỏp dụng như đối với định nghĩa cổ điển. Nú hoàn toàn dựa vào cỏc quan sỏt thực tế để làm cơ sở kết luận về xỏc suất xảy ra của một biến cố.
Tuy nhiờn định nghĩa thống kờ cũng cú nhược điểm nhiều về đặc trưng toỏn học. Nú khụng phản ỏnh được nhiều về đặc trưng của biến cố, mà tỷ số
k
n cú tớnh ổn định.
Vớ dụ 12: (Biểu diễn cụng thức Bayes theo ngụn ngữ hỡnh học)
Một hộp cú 4 sản phẩm tốt được trộn lẫn với 2 sản phẩm xấu, lấy ngẫu
nhiờn từ hộp lần lượt ra 2 sản phẩm. Biết sản phẩm lấy ra ở lần thứ hai là sản
phẩm tốt. Tỡm xỏc suất để sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất cũng là sản phẩm tốt.
Cỏch 1: (Sử dụng cụng thức Bayes đơn thuần)
Gọi A là biến cố sản phẩm lấy ra lần thứ nhõt là sản phẩm tốt.
Ta cú: ( ) ; ( / ) ; ( ) ; ( / ) 6 5 6 5 P A P B A P A P B A Áp dụng cụng thức Bayes ta được: 4 3 . ( ) ( / ) 6 5 3 ( / ) 0, 6 4 3 2 4 5 ( ) ( / ) ( ) ( / ) . . 6 5 6 5 P A P B A P A B P A P B A P A P B A
Cỏch 2: (Biểu diễn hỡnh học)
Vẽ một hỡnh vuụng cạnh 1. Chia trục hoành theo cỏc tỷ số ( ) 4; ( ) 2
6 6
P A P A
Chia trục tung theo cỏc xỏc suất cú điều kiện ( / ) 3; ( / ) 4
5 5
P B A P B A
Vựng sậm nhiều phớa trờn P(A) để chỉ P(A).P(B/A).
Vựng sậm toàn bộ để chỉ ( ) 4 3. 2 4. 2 6 5 6 5 3 P B Xỏc suất 4 3 . ( ) ( / ) 6 5 3 ( / ) 0, 6 4 3 2 4 5 ( ) ( / ) ( ) ( / ) . . 6 5 6 5 P A P B A P A B P A P B A P A P B A chớnh là tỷ số giữa vựng sậm nhiều và vựng sậm toàn bộ. O P(A) = 4/6 P(A) = 2/6 1 P(B/A) = 2/3 x y 1 P(B/A) = 4/5
Vớ dụ 13: Bưu điện dựng một mỏy tự động đọc địa chỉ trờn bỡ thư để phõn
loại theo từng khu vực gửi đi, mỏy cú khả năng đọc được 5000 bỡ thư trong một phỳt. Khả năng đọc sai 1 địa chỉ trờn bỡ thư là 0,04%.
a. Tớnh số bỡ thư trung bỡnh mỗi phỳt mỏy đọc sai.
b. Tớnh số bỡ thư tin chắc nhất trong mỗi phỳt mỏy đọc sai.
c. Tớnh xỏc suất để trong 1 phỳt mỏy đọc sai ớt nhất 3 bỡ thư.
Để giải bài toỏn này đũi hỏi SV phải cú khả năng chuyển đổi ngụn ngữ
tốt, cần phải biết chuyển đổi yờu cầu dưới dạng ngụn ngữ thành yờu cầu dưới
dạng toỏn học. Núi cỏch khỏc SV phải cú khả năng chuyển đổi từ ngụn ngữ
bằng lời sang ngụn ngữ toỏn học.
Khi đú lời giải bài toỏn này như sau:
a. Gọi X là số bỡ thư mà mỏy đọc sai. Khi đú X tuõn theo phõn phối nhị thức
B(5000; 0,04%).
Yờu cầu "tớnh số bỡ thư trung bỡnh mỗi phỳt mỏy đọc sai" cần phải hiểu dưới
dạng ngụn ngữ xỏc suất chớnh là yờu cầu tớnh kỳ vọng EX.
Ta cú EX = np = 5000.0,04% = 2.
Như vậy trung bỡnh mỗi phỳt mỏy đọc sai 2 bỡ thư.
b.Yờu cầu " tớnh số bỡ thư tin chắc nhất trong mỗi phỳt mỏy đọc sai" cần hiểu
dưới ngụn ngữ của xỏc suất chớnh là yờu cầu tớnh ModX.
Áp dụng tớnh chất: np q modXnpp 2 0,9996modX 2 0,0004 Hay: 1, 0004 modX 2, 0004 modX 2
c. Ta xem X ~ P(2). Khi đú yờu cầu "tớnh xỏc suất để trong 1 phỳt mỏy đọc sai
ớt nhất 3 bỡ thư " chớnh là yờu cầu tớnh xỏc suất P X( 3).
Khi đú ta cú P X( 3) 1 P X( 3) 1 P(0 X 2) 1 52 0, 6767
e
b) Năng lực liờn tưởng
Theo Từ điển tiếng Việt thỡ liờn tưởng cú nghĩa là: “Nhõn sự vật, hiện tượng nào đú mà nghĩ đến sự vật, hiện tượng khỏc cú liờn quan” ([91]).
Trong tõm lý học, trường phỏi tiếp cận liờn tưởng vấn đề tư duy (Đ.Ghatli, D.S.Milơ, H.Spenxơ,…) cho rằng: tư duy là quỏ trỡnh thay đổi tự
do tập hợp cỏc hỡnh ảnh, là sự liờn tưởng cỏc biểu tượng. Theo cỏc nhà liờn tưởng, cú 4 loại liờn tưởng ([76]):
Liờn tưởng giống nhau, liờn tưởng tương phản, liờn tưởng gần nhau về khụng
gian và thời gian, liờn tưởng nhõn quả.
Liờn tưởng nhõn quả cú vai trũ đặc biệt quan trọng trong cỏc quỏ trỡnh trớ tuệ. Sự phỏt triển trớ tuệ là quỏ trỡnh tớch luỹ cỏc mối liờn tưởng. Sự khỏc biệt
về trỡnh độ trớ tuệ được quy về sự khỏc nhau, về số lượng cỏc mối liờn tưởng,
về tốc độ hoỏ cỏc liờn tưởng đú.
Bựi Văn Huệ chia liờn tưởng thành 4 loại: liờn tưởng gần nhau về khụng
gian và thời gian, liờn tưởng giống nhau về hỡnh thức hoặc nội dung, liờn
tưởng trỏi ngược nhau, liờn tưởng nhõn quả ([35]).
K.K.Plantụnụv xem tư duy như là một quỏ trỡnh gồm nhiều giai đoạn kế
tiếp nhau, mà hai trong số cỏc giai đoạn ấy là: xuất hiện liờn tưởng, sàng lọc liờn tưởng và hỡnh thành giả thuyết ([21]).
Theo Vũ Dương Thụy: “Trong dạy học, cần chỳ ý rốn cho học sinh kỹ năng biến đổi xuụi chiều và ngược một cỏch song song với nhau, nhằm giỳp
cho việc hỡnh thành cỏc liờn tưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hỡnh thành cỏc liờn tưởng thuận” ([46]).
Về mức độ khú, dễ của bài toỏn, G.Pụlya cho rằng: “Khụng dễ dàng xột
đoỏn mức độ khú của một bài toỏn, lại càng khú hơn nữa khi xỏc lập giỏ trị
giỏo dục của nú” ([39]).
Theo G.Pụlya, thầy giỏo nờn nắm được cỏch phõn loại mức độ khú, dễ
của cỏc bài toỏn, vỡ đú là một điều cú ớch cho việc giảng dạy. ễng đó ghi nhận
cụng lao của F.Denk về sự phõn loại này. Trờn cơ sở sự phõn loại của F.Denk, G.Pụlya đú phõn loại lại như sau ([39]):
Loại thứ nhất: cỏc bài toỏn cú thể giải được bằng cỏch vận dụng trực tiếp
quy tắc mẫu hoặc tuõn theo một cỏch mỏy múc cỏc vớ dụ mẫu. Hơn nữa, quy
tắc hoặc vớ dụ mẫu cú ngay trước mắt HS (vừa mới học xong), thầy giỏo thường cho cỏc bài toỏn như thế vào cuối giờ học.
Loại thứ hai khú hơn, nú được giải tuy cũng vận dụng trực tiếp quy tắc đó được học trong lớp hoặc tuõn thủ mỏy múc vớ dụ mẫu đó được biết, tuy nhiờn HS chưa rừ ngay nờn chọn quy tắc mẫu nào hoặc vớ dụ mẫu nào, HS cần phải cú sự chọn lọc sơ bộ trong phạm vi nào đú.
Loại thứ ba cũn khú hơn nữa. Để giải được chỳng, HS cần phải kết hợp
một số quy tắc hoặc vớ dụ đó học. Bài toỏn sẽ khụng quỏ khú nếu một tổ hợp nào đú tương tự với nú (nhưng khụng phải chớnh nú) đó được thảo luận ở lớp.
Nếu tổ hợp này hoàn toàn mới, hoặc cần phải phối hợp nhiều phần của giỏo
trỡnh (cú thể rất xa nhau), thỡ bài toỏn thường là rất khú.
Cú người đó vớ, quỏ trỡnh giải một bài toỏn giống như quỏ trỡnh xõy một ngụi nhà. Đầu tiờn, phải thu thập những vật liệu cần thiết, sau đú phải kết cấu
những vật liệu rời rạc thành một cỏi toàn thể theo một mẫu thiết kế đó được
hỡnh dung trước.
Thực ra, thường trước khi xõy nhà ta đó hỡnh dung được cần đến những
vật liệu nào, cú chăng, nếu thiếu vật liệu gỡ thỡ sau đú cũng cú thể dễ dàng bổ sung cho đủ.
Trước khi giải bài toỏn, thường là chưa khẳng định được chắc chắn mỡnh sẽ dựng những kiến thức (định nghĩa, định lý, mệnh đề, quy tắc, cụng thức,...)
nào, trừ khi đú là bài toỏn đó cú thuật giải hoặc bài toỏn khỏ dễ. Sau khi giải xong bài toỏn, người giải tự hỏi mỡnh: thế mà ngay từ đầu tại sao mỡnh lại
khụng nghĩ đến định lý này nhỉ? (mặc dầu trước đú họ phải mũ mẫm, suy
nghĩ rất lõu mới biết cỏch sử dụng định lý này).
Dạy học toỏn bao gồm dạy học khỏi niệm, định lý, mệnh đề, giải bài tập toỏn… Năng lực liờn tưởng ở mỗi người một khỏc, khi đứng trước một vấn đề
nhiều định lý, mệnh đề, bài toỏn phụ, để hy vọng sẽ giỳp cho việc giải quyết
vấn đề khỏ đơn giản. Nhưng cú người khụng liờn tưởng được hay chỉ liờn
tưởng được ớt định lý, mệnh đề, bài toỏn phụ thỡ vấn đề ấy sẽ bị bế tắc ngay.
Vớ dụ 14: Sau khi học xong về lý thuyết mẫu, GV đó giới thiệu cho SV biết
cỏch tớnh cỏc đặc trưng của mẫu như: phương sai mẫu 2
S , phương sai mẫu hiệu
chỉnh 2
S
, độ lệch mẫu S, độ lệch mẫu hiệu chỉnh S
và đưa ra cỏc vớ dụ giải mẫu;
khi đú SV cú thể dễ dàng giải được cỏc bài toỏn tương tự. Chẳng hạn:
a) Lấy ngẫu nhiờn 100 thanh niờn ở một tỉnh đem đo chiều cao và thu được
bảng số liệu sau: Chiều cao
(cm) 154 -158 158 -162 162 - 166 166 - 170 170 - 174 174 - 178 178 - 182 Số thanh niờn 10 14 26 28 12 8 2 Tớnh x,S ,S ,S,S 2 2 .
b) Điều tra doanh số hàng thỏng của 100 hộ kinh doanh ta cú bảng số liệu: X (triệu) 10,1 10,2 10,4 10,5 10,7 10,8 10,9 11 11,3 11,4
Số hộ 2 3 8 13 25 20 12 10 6 1
Tớnh x,S ,S ,S,S
2
2 .
Việc giải cỏc bài toỏn trờn là khụng khú vỡ SV đó cú cỏc bài giải mẫu, sự liờn tưởng ở đõy chỉ dừng lại ở mức độ nhớ lại cỏc cụng thức vừa học xong, sau đú "bắt chước theo" là cú thể giải được ngay.
Vớ dụ 15: Một lụ hàng gồm 100 sản phẩm, trong đú cú 90 sản phẩm tốt.
Kiểm tra ngẫu nhiờn liờn tiếp khụng hoàn lại 5 sản phẩm. Nếu cú ớt nhất 1
phế phẩm trong 5 sản phẩm kiểm tra thỡ khụng nhận lụ hàng. Tớnh xỏc suất để nhận lụ hàng.
Đối với bài toỏn này SV cần phải đọc kỹ yờu cầu của đề bài để cú thể
liờn tưởng đến việc mỡnh cần sử dụng những cụng thức tớnh xỏc suất nào đó học?. Yờu cầu " Nếu cú ớt nhất 1 phế phẩm trong 5 sản phẩm kiểm tra thỡ khụng nhận lụ hàng " cú nghĩa là cả 5 sản phẩm lấy ra để kiểm tra đều phải là chớnh phẩm (sản phẩm tốt). Như vậy, đõy là bài toỏn cú điều kiện kốm theo, từ đú SV cú thể liờn tưởng đến cụng thức xỏc suất cú điều kiện đó được học.
Mặt khỏc, vỡ cả 5 sản phẩm lấy ra để kiểm tra đều phải là chớnh phẩm nờn phải cú tớnh đồng thời, điều này sẽ khiến SV liờn tưởng đến cụng thức nhõn
xỏc suất. Do đú bài toỏn cú thể được giải quyết nhờ sử dụng cụng thức nhõn
xỏc suất.
Gọi Ai = {Sản phẩm kiểm tra thứ i là tốt}; i = 1, 2, 3, 4, 5.
A = {nhận lụ hàng}. Khi đú A = A1.A2.A3.A4.A5.
Ta cú P(A) = P(A1). P(A2/A1).P(A3/A1.A2).P(A4/A1.A2.A3).P(A5/A1.A2.A3.A4) = 90 89 88 87 86 0, 58375
100 99 98 97 96 .
Sự liờn tưởng của mỗi người đều khụng giống nhau, đối với người cú nền
tảng tri thức tốt thỡ sự liờn tưởng bao giờ cũng tốt hơn; do đú đứng trước một
bài toỏn họ cú thể liờn tưởng đến nhiều cụng cụ khỏc nhau để giải quyết nú.
Vỡ vậy họ cú cơ hội để so sỏnh ưu điểm, nhược điểm của từng cỏch giải, nhận
thấy được tớnh ưu việt của chỳng, từ đú cú thể đỳc rỳt thờm nhiều kinh
nghiệm quý bỏu. Cũn đối với người học cú NL học tập trung bỡnh thỡ việc giải được một bài toỏn theo một cỏch duy nhất cũng đó là một sự khú khăn.
Vớ dụ 16: Cú bao nhiờu số tự nhiờn gồm 6 chữ số đụi một khỏc nhau (chữ số đầu tiờn phải khỏc 0), trong đú cú mặt chữ số 0 nhưng khụng cú mặt chữ số 1.
Đối với SV cú khả năng liờn tưởng tốt thỡ việc giải bài toỏn này khụng quỏ khú khăn và cú thể giải theo nhiều cỏch khỏc nhau; chẳng hạn: